人教版高中数学必修第二册6.4.1-6.4.2综合同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册6.4.1-6.4.2综合同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某质点,为使质点保持平衡,再加上一个力F4,则F4= (　　)
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
2.一质点在平面上的三个力F1,F2,F3的作用下处于平衡状态,已知F1,F2成90°角,且F1,F2的大小分别为2 N和4 N,则F3的大小为 (　　)
A.6 N B.2 N
C.2 N D.2 N
3.一条河的宽度为d,一只船从A处出发到河正对岸的B处,船速为v1,水速为v2,则船实际行驶速度的大小为 (　　)
A.(v1-v2)2 B.|v1|2-|v2|2
C. D.
4.一只鹰正沿与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,若鹰在地面上的影子的速度大小是40 m/s,则鹰的飞行速度大小为 (　　)
A.m/s B.m/s
C.m/s D.m/s
5.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),若A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为 (　　)
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
6.在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AB=1,AD=DC=2,则·= (　　)
A.2 B.-2
C.3 D.6
7.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(-2,0),(0,2),(1,3),(2,4),则A,B,C,D构成的图形为 (　　)
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.线段
8.如图L6-4-1,O为△ABC的外心,AB=4,AC=2,∠BAC为钝角,M是边BC的中点,则·的值为 (　　)
图L6-4-1
A.4 B.5
C.6 D.7
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,若||=,则·=　　　　.
10.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向向前行进60 m,若纤绳与行进方向的夹角为30°,纤夫对船施加的拉力大小为50 N,则纤夫对船所做的功为　　　　J.
11.在水流速度大小为4 km/h的河流中,有一艘船正沿与水流垂直的方向航行,速度大小为8 km/h,则船自身航行速度的大小为　　　　km/h.
12.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则(+)·=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)如图L6-4-2,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=AC.试用向量方法证明四边形DEBF是平行四边形.
图L6-4-2
14.(10分)在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图L6-4-3),当重物平衡时,分别求两根绳子拉力的大小.
图L6-4-3
15.(5分)已知四边形ABCD中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,P为线段AC上任意一点,则·的取值范围是　　　　.
16.(15分)如图L6-4-4所示,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
图L6-4-4
参考答案与解析
1.D　[解析] 由物理知识知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).
2.C　[解析] 由题意知F3=-(F1+F2),所以|F3|2=(F1+F2)2=++2F1·F2=4+16=20,所以|F3|=2 N.故选C.
3.D　[解析] 如图所示,可得船实际行驶速度的大小为.故选D.
4.C　[解析] 如图,表示鹰在地面上的影子的速度,表示鹰的飞行速度,由题意知||=40 m/s,且∠CAB=30°,则||= m/s.故选C.
5.A　[解析] F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设终点为B(x,y),则(x-1,y-1)=(8,0),所以所以所以终点坐标为(9,1).
6.A　[解析] ·=(+)·(+)=·+·+·+·=0+4-2+0=2,故选A.
7.D　[解析] ∵=(2,2),=(1,1),=(3,3),∴=2,=3,∴与共线, 与共线,∴A,B,C,D四点共线,故A,B,C,D构成的图形是线段.
8.B　[解析] 作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.因为O为△ABC的外心,所以D为AB的中点,E为AC的中点,而M为BC的中点,故=(+),所以·=(+)·=(·+·)=(||·||·cos∠BAO+||·||·cos∠CAO)=(||·||+||·||)=||2+||2=5.
9.-　[解析] 由||=,可知∠ACB=60°,故·=-·=-||||cos∠ACB=-.
10.1500　[解析] 所做的功W=60×50×cos 30°=1500(J).
11.4　[解析] 如图,代表水流速度,代表船自身航行的速度,而代表船实际航行的速度,所以有||=||====4(km/h),所以船自身航行速度的大小为4 km/h.
12.-　[解析] 如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1).∵E,F分别为BC,CD的中点,∴E2,,F(1,1),∴+=3,,=(-2,1),∴(+)·=3×(-2)+×1=-.
13.证明:设=a,=b,
则=a+b,=-=-a=b-a,
=-=b-=b-a,
所以=,且D,E,F,B四点不共线,
所以四边形DEBF是平行四边形.
14.解:如图所示,两根绳子的拉力分别为,,拉力之和为+=,且||=||=300 N,
∠AOC=30°,∠BOC=60°.
在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°,
则∠OAC=90°,从而||=||·cos 30°=150(N),
||=||=||·sin 30°=150(N).
答:与铅垂线成30°角的绳子的拉力大小是150N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力大小是150 N.
15.　[解析] 以A为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则由AB=2,AC=4,∠BAC=60°,得B(2,0),C(2,2).因为P为线段AC上任意一点,所以设=λ=(2λ,2λ),λ∈[0,1],所以·=(2-2λ,-2λ)·(2-2λ,2-2λ)=16λ2-20λ+4=16λ-2-,又λ∈[0,1],所以-≤·≤4.故答案为-,4.
16.解:(1)设=a,=b,
则=+=+=+(-)=+=a+b,
∴||2==a+b2=a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,故AD=.
(2)设∠DAC=θ,则θ为向量与的夹角.
∵cos θ====
=0,
∴θ=90°,即∠DAC=90°.