人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册
6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,c=2,则A= (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,则AC= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,c=2,A+C=,则b= (　　)
A. B.6
C.7 D.8
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.7.5
5.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,且3a=b=12,则c的值可能为 (　　)
A.4 B.8
C.6 D.2
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是 (　　)
A.- B.-
C.- D.-
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC为 (　　)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=1,则角B的大小为 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则角C的大小为　　　　.
10.在△ABC中,若a=3,b=4,c=6,则bccos A+cacos B+abcos C的值为　　　　.
11.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=　　　　.
12.在△ABC中,已知a为最大边,若a2三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)在△ABC中,已知A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.
14.(10分)已知A,B,C为△ABC的三个内角,其所对的边分别为a,b,c,且2cos2+cos A=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,b=2,求c的值.
15.(5分)在圆内接四边形ABCD中,AB=136,BC=80,CD=150,DA=102,则圆的直径为 (　　)
A.170 B.180
C.8 D.前三个答案都不对
16.(15分)在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,求AC边上的中线长.
参考答案与解析
1.C　[解析] ∵a=,b=3,c=2,∴由余弦定理的推论得cos A===,又由A∈(0°,180°),得A=60°,故选C.
2.A　[解析] 由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2AC·BC·cos C,即13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A.
3.A　[解析] ∵A+C=,∴B=π-(A+C)=.∵a=3,c=2,∴由余弦定理可得b===.故选A.
4.A　[解析] 由题意及余弦定理的推论,得b·+a·=c2,解得c=1 ,则△ABC的周长为a+b+c=5,故选A.
5.AB　[解析] 由3a=b=12,得a=4,b=4,利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8.
6.C　[解析] 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A===-.
7.D　[解析] 将cos A=,cos B=代入已知等式,得=2a·-,所以=,解得a=b或c2-a2+b2=0,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.
8.B　[解析] ∵+=1,∴=1,∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),∴cb+c2+a2+ab=ab+b2+bc+ac,∴c2+a2-b2=ac,故cos B===,∵B∈(0°,180°),∴B=60°,故选B.
9.120°　[解析] 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C,∴cos C=-,∴C=120°.
10.　[解析] 原式=bc·+ca·+ab·=++=++=.
11.4　[解析] 因为b+c=7,所以c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,化简得15b=60,解得b=4.
12.60°0,则cos A=>0,∴A<90°,又a为最大边,∴A>60°.故角A的取值范围是60°13.解:在△ABC中,∵A+C=2B,A+B+C=180°,∴B=60°.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=82-2×15-2×15×=19,∴b=.
14.解:(1)∵cos A=2cos2-1,∴2cos2=cos A+1,
又2cos2+cos A=0,∴2cos A+1=0,∴cos A=-,∴A=120°.
(2)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A ,
∵a=2,b=2,cos A=-,
∴(2)2=22+c2-2×2×c×,
化简得c2+2c-8=0,解得c=2或c=-4(舍去).
15.A　[解析] ∵1502+802=1362+1022,即CD2+BC2=AB2+DA2,∴在△BCD和△ABD中,由余弦定理得BD2=BC2+DC2-2BC·DCcos∠BCD=BA2+DA2-2BA·DAcos∠BAD,∴BC·DCcos∠BCD=BA·DAcos∠BAD,又∠BAD+∠BCD=π,∴cos∠BAD=-cos∠BCD,∴cos∠BAD=cos∠BCD=0,即∠BAD=∠BCD=,∴圆的直径为BD,BD==170.故选A.
16.解:方法一:由条件知cos A===,
设AC边上的中线长为x,则由余弦定理,得x2=+AB2-2··AB·cos A=42+92-2×4×9×=49,∴x=7.
故AC边上的中线长为7.
方法二:设AC的中点为M,连接BM,
则=(+),
∴||2=(++2·)=(92+72+2||||cos∠ABC).
在△ABC中,由余弦定理得2||||cos∠ABC=||2+||2-||2=92+72-82,
∴||2=×(92+72+92+72-82)=49,
∴BM=7,即AC边上的中线长为7.