人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册
6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,则b= (　　)
A.5 B.10
C. D.5
2.在△ABC中,若a=3,b=5,sin A=,则sin B= (　　)
A. B.
C. D.1
3.(多选题)在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则角B的大小可能为 (　　)
A.60° B.30°
C.120° D.150°
4.在△ABC中,若a=4,b=4,A=,则B= (　　)
A. B.
C. D.
5.在锐角三角形ABC中,sin A和cos B的大小关系是 (　　)
A.sin A=cos B B.sin AC.sin A>cos B D.不能确定
6.在△ABC中,若a=4,b=,5cos(B+C)+3=0,则角B的大小为 (　　)
A. B.
C. D.
7.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin Asin B+bcos2A=a ,则= (　　)
A.2 B.2
C. D.
8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在△ABC中,已知a=2,b=2,A=60°,则B=　　　　.
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=,b=1,c=,则B=　　　　,△ABC的面积S=　　　　.
11.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是　　　　.
12.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则的值为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=10,A=45°,C=30°,求a,b和角B.
14.(10分)在△ABC中,已知a=3,b=2,B=2A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
15.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=8,(5b-3c)cos A=24cos C,则△ABC外接圆的面积为　　　　.
16.(15分)已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,求bc的取值范围.
参考答案与解析
1.B　[解析] 由正弦定理得=,则b===10.
2.B　[解析] 在△ABC中,由正弦定理得=,所以sin B===.
3.AC　[解析] 由正弦定理可知=,∴sin B===,∵B∈(0°,180°),且B>A,∴B=60°或120°.
4.A　[解析] 由正弦定理可得= ,∴sin B===,∵a=4>b=4,∴A>B ,∴B=.故选A.
5.C　[解析] 在锐角三角形ABC中,易知A+B>90°,所以A>90°-B,所以sin A>sin(90°-B)=cos B.故选C.
6.A　[解析] 由5cos(B+C)+3=0得cos(B+C)=-,∴cos A=,∴A∈0,,∴sin A=.由正弦定理得=,即=,∴sin B=.∵a>b,∴A>B,又A∈0,,∴B为锐角,∴B=.
7.D　[解析] ∵asin Asin B+bcos2A=a,∴根据正弦定理,得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A,又sin2A+cos2A=1,∴sin B=sin A,∴b=a,可得=.故选D.
8.B　[解析] 由题意知sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∵sin B+sin A(sin C-cos C)=0,∴sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,又sin C≠0,∴cos A=-sin A,∴tan A=-1,∴A= .由正弦定理可得=,∵a=2,c=,∴sin C=== ,又a>c,∴C=,故选B.
9.30°　[解析] 由正弦定理得=,则sin B=b×=2×=.∵0°10.　　[解析] 由正弦定理可得sin B===1,因为B∈(0,π),所以B=.因为A=π--=,所以根据三角形面积公式得S=bcsin A=×1××=.
11.直角三角形　[解析] 由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知sin A=,sin B=,sin C=,其中R为△ABC外接圆的半径,所以-=,即a2-b2=c2,故b2+c2=a2,所以△ABC是直角三角形.
12.　[解析] 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,即49=25+AC2-2×5×AC×cos 120°,整理得AC2+5AC-24=0,解得AC=3或AC=-8(舍去),再由正弦定理可得==.
13.解:∵=,∴a===10.
B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°.
∵=,
∴b===20sin 75°=20×=5(+).
14.解:(1)因为a=3,b=2,B=2A,
所以在△ABC中,由正弦定理得=,
所以=,故cos A=.
(2)由(1)知cos A=,所以sin A==.
因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=,
所以sin B==.
在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,
所以c==5.
15.25π　[解析] 因为a=8,所以(5b-3c)cos A=3acos C,由正弦定理得(5sin B-3sin C)cos A=3sin Acos C,所以5sin Bcos A=3sin Ccos A+3sin Acos C=3sin(C+A)=3sin B,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以cos A=,又A∈(0,π),所以sin A=.因为△ABC外接圆的直径2R==10,所以半径R=5,所以△ABC外接圆的面积S=πR2=25π.
16.解:(1)∵acos C+asin C-b-c=0,
∴sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin C,
即sin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin C,
化简得sin A-cos A=1,∴sinA-=.
∵A∈0,,∴A-∈-,,∴A-=,即A=.
(2)设△ABC外接圆的半径为R,则2R===2.
由正弦定理,得bc=2Rsin B·2Rsin C=4sin B·sin-B=2sin2B-+1.
∵△ABC是锐角三角形,∴B∈,,
∴sin2B-∈,1,∴bc∈(2,3],
∴bc的取值范围是(2,3].