人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理 第3课时 正弦定理和余弦定理的综合问题 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理
第3课时 正弦定理和余弦定理的综合问题 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.在△ABC中,若=,则角C的大小为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.已知锐角三角形ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为 (　　)
A.60°或120° B.120°
C.60° D.30°
3.在△ABC中,若A=60°,b=1,△ABC的面积S=,则= (　　)
A. B.
C. D.3
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为 (　　)
A.5 B.4
C.5 D.6
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ccos C=bcos A+acos B,则角C的大小为 (　　)
A. B.
C. D.
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2+2ab=a2+b2+6,C=,则△ABC的面积是 (　　)
A.3 B.
C. D.3
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ccos B+bcos C=asin A,△ABC的面积S=(b2+a2-c2),则B= (　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c= (　　)
A. B.
C. D.6
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形的面积S=220,则a的值为　　　　.
10.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,则=　　　　.
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　.
12.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S△ABC=,则b的值为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-ab-2b2=0.
(1)若B=,求角A,C的大小;
(2)若C=,c=14,求S△ABC.
14.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+bcos A=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,△ABC的周长为3+2,求△ABC的面积.
15.(5分)已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　.
16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
参考答案与解析
1.B　[解析] ∵==,∴cos C=sin C,∴C=45°,故选B.
2.C　[解析] ∵S△ABC=BC·CA·sin C=3,∴sin C=,又C∈(0°,90°),∴C=60°.
3.A　[解析] ∵S==bcsin A=×1×c×,∴c=4,∴a2=b2+c2-2bccos A=12+42-2×1×4×=13,得a=,∴==.
4.C　[解析] 根据三角形的面积公式得,×1×c×sin 45°=2,所以c=4,则b2=a2+c2-2accos B=25,即b=5.设△ABC外接圆的半径为R,则直径为2R,由正弦定理得2R===5,故选C.
5.D　[解析] 由题意及正弦定理得,2sin Ccos C=sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C,∵sin C≠0,∴cos C=,∴C=.故选D.
6.C　[解析] 由c2+2ab=a2+b2+6,可得c2=a2+b2-2ab+6,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab,∴a2+b2-2ab+6=a2+b2+ab,∴ab=2,则S△ABC=absin C=,故选C.
7.D　[解析] 由正弦定理及ccos B+bcos C=asin A,得sin Ccos B+sin Bcos C=sin2A,即sin(C+B)=sin2A,即sin A=sin2A,所以sin A=1,因为0°8.A　[解析] 由2cos2-cos 2C=1,可得2cos2-1-cos 2C=0,则有cos 2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A,得4b=3a①,又a-b=1②,
联立①②得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13,则c=.
9.49　[解析] 由bcsin A=220得c=55,所以a2=b2+c2-2bccos A=2401,所以a=49.
10.-　[解析] 由条件得==,∴sin A=sin C.同理可得sin B=sin C,∴==-.
11.　[解析] 因为cos A=,cos C=,且A,C为三角形的内角,所以sin A=,sin C=,则sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,又因为=,所以b==.
12.　[解析] 由=,得=,所以a=c①,由S△ABC=acsin B=且sin B=得ac=5②,联立①②得a=5,c=2.由sin B=且B为锐角知cos B=,故由余弦定理得b2=25+4-2×5×2×=14,所以b=.
13.解:(1)由a2-ab-2b2=0结合正弦定理得sin2A-sin Asin B-2sin2B=0,
又B=,所以上式化简并整理得2sin2A-sin A-1=0,
于是sin A=1或sin A=-(舍去).
因为0又A+B+C=π,所以C=π--=.
(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
即142=a2+b2-2abcos,所以a2+b2+ab=196①.
由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,
因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b②,
联立①②解得b=2,a=4,
所以S△ABC=absin C=14.
14.解:(1)由已知及正弦定理得
(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0,
即(sin Acos B+sin Bcos A)+2sin Ccos B=0,
即sin(A+B)+2sin Ccos B=0,
∵sin(A+B)=sin C,且sin C≠0,
∴cos B=-,又0(2)由余弦定理,得9=a2+c2-2accos B,
∴a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9.
∵a+b+c=3+2,b=3,∴a+c=2,
∴ac=3,∴S△ABC=acsin B=×3×=.
15.　　[解析] 由题意得AC==5,所以sin∠BAC==,cos∠BAC==.在△ABD中,由正弦定理得=,而AB=4,∠ADB=,所以BD=.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.
16.解:(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又sin B≠0,所以tan A=.
由于0(2)方法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,
而a=,b=2,A=,
所以7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0,
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsin A=.
方法二:由正弦定理,得=,
即=,从而sin B=.
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sinB+=sin Bcos +cos Bsin =,
所以△ABC的面积为absin C=.