人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.若点P在点Q的北偏东44°55'方向上,则点Q在点P的 (　　)
A.东偏北45°10'方向上
B.北偏东45°50'方向上
C.南偏西44°55'方向上
D.西偏南44°50'方向上
2.设在相距10 n mile的A,B两小岛上的两个观测站,同时发现一船只C.若在A望C和B成60°的视角,在B望C和A成75°的视角,则船只C与最近小岛的距离为 (　　)
A.5 n mile　 B.5 n mile
C.5 n mile D.5 n mile
3.如图L6-4-5,为测塔AB的高度,某人在与塔底A在同一水平线上的C点测得∠ACB=45°,再沿AC向前行走20(-1)米到达D点,测得∠ADB=30°,则塔高为 (　　)
图L6-4-5
A.40米 B.20米
C.40米 D.20米
4.如图L6-4-6,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平线,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是 (　　)
图L6-4-6
A.30° B.45°
C.60° D.75°
5.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 (　　)
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
6.如图L6-4-7所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°方向,距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)方向的C处,且cos θ=.已知A,C之间的距离为10海里,则该货船的速度大小为 (　　)
图L6-4-7
A.4 海里/小时 B.3 海里/小时
C.2 海里/小时 D.4 海里/小时
7.如图L6-4-8,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是 (　　)
图L6-4-8
A.240(-1) m
B.180(-1) m
C.120(-1) m
D.30(+1) m
8.要测量底部不能到达的某电视塔的高度,在电视塔底部所在水平面上选择甲、乙两观测点,在甲、乙两观测点测得电视塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500米,则电视塔在这次测量中的高度是 (　　)
A.100米
B.400米
C.200米
D.500米
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在△ABC中,A=105°,B=30°,则在C点望A,B的视角为　　　　.
10.如图L6-4-9,为测量塔的高度,在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为θ,由C向塔前进30米后到达点D,测得塔顶的仰角为2θ,再由D向塔前进10米后到达点E,测得塔顶的仰角为4θ,则塔高为　　　　米.
图L6-4-9
11.我舰在岛A南偏西50°方向相距12 n mile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以10 n mile/h的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度大小为　　　　.
12.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°,乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°,量得AB=AC=10 m,若树根部为C(A,B,C在同一水平面上),则∠ACB=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10米(如图L6-4-10所示),旗杆底部与第一排在同一水平面上,若国歌播放的时间约为50秒,那么升旗手应以约多大的速度匀速升旗
图L6-4-10
14.(10分)如图L6-4-11,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度大小;
(2)求sin α的值.
图L6-4-11
15.(5分)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图L6-4-12所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为　　　　.
图L6-4-12
16.(15分)在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两市相距20 km,C,D两市相距34 km,C市在B,D两市之间,如图L6-4-13所示.某时刻C市感到地表震动,8 s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动,若震波在地表传播的速度为每秒1.5 km,求震中A到B,C,D三市的距离.
图L6-4-13
参考答案与解析
1.C　[解析] 如图所示,易知点Q在点P的南偏西44°55'方向上.故选C.
2.C　[解析] 结合题意作图如图,由B>A得BC3.D　[解析] 在Rt△ABC中,设AB=x米,则由∠ACB=45°可知AC=x米.在Rt△ABD中,因为AD=x+20(-1)米,∠ADB=30°,所以=tan 30°,即=,解得x=20.则塔高为20米,故选D.
4.B　[解析] 作AE⊥CD于点E,则AD2=602+202=4000,AC2=602+(50-20)2=4500.在△CAD中,由余弦定理得cos∠CAD==,故∠CAD=45°.故选B.
5.B　[解析] 根据条件可知在△ABC中,AB=20,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠C=45°,则由正弦定理得=,所以BC==10.故选B.
6.A　[解析] 因为cos θ=,0°<θ<45°,所以sin θ=,所以cos(45°-θ)=×+×=.在△ABC中,BC2=(20)2+102-2×20×10×=340,所以BC=2,故该货船的速度大小为=4(海里/小时).
7.C　[解析] 由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60 m,∴AC=120 m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,故由正弦定理,得=,∴BC===120(-1)(m).
8.D　[解析] 由题意作图如图,其中AS为塔高,设为h米,甲、乙分别在B,C处,则∠ABS=45°,∠ACS=30°,BC=500,∠ABC=120°,所以在△ABS中,AB=AS=h,在△ACS中,AC=h.在△ABC中,因为AB=h,AC=h,BC=500,∠ABC=120°,所以由余弦定理得(h)2=5002+h2-2×500×h×cos 120°,所以h=500,故选D.
9.45°　[解析] 在C点望A,B的视角为∠ACB=180°-105°-30°=45°.
10.15　[解析] 由题意,∵∠CPD=∠EDP-∠DCP=2θ-θ=θ,∴PD=CD=30,∵∠DPE=∠AEP-∠EDP=4θ-2θ=2θ,∴PE=DE=10.在△PDE中,由余弦定理的推论得cos 2θ== =,∴2θ=,∴4θ=.∵sin 4θ=,∴PA=PE·sin 4θ=10×=15,故塔高为15米.
11.14 n mile/h　[解析] 设我舰的速度大小为v n mile/h,在C处追上敌舰,则由题意知在△ABC中,AC=10×2=20,AB=12,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=784,所以BC=28,所以v==14.
12.30°　[解析] 如图所示,在Rt△ACD中,∵AC=10 m,∠DAC=45°,∴DC=10 m,在Rt△DCB中,∵∠DBC=30°,∴BC=10m.
在△ABC中,cos∠ACB==,∴∠ACB=30°.
13.解:由题意知在△BCD中,∠BDC=30°+15°=45°,∠CBD=60°-30°=30°,CD=10米,
故由正弦定理得=,所以BC==20(米).
在Rt△ABC中, AB=BCsin 60°=20×=30(米),
所以升旗速度约为=0.6(米/秒),
即升旗手应以约0.6米/秒的速度匀速升旗.
14.解:(1)依题意知∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10,∠BCA=α.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos 120°=196,得BC=14,
所以渔船甲的速度大小为7 n mile/h.
(2)在△ABC中,AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α,
所以由正弦定理得=,所以sin α===.
15.80　[解析] 在△ACD中,∵∠ACD=15°,∠ADC=150°,∴∠DAC=15°,∴AC===40(+).在△BCD中,∵∠BDC=15°,∠BCD=135°,∴∠DBC=30°,由正弦定理得=,∴BC===160 sin15°=40(-).在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1600(8+4)+1600(8-4)+2×1600(+)×(-)×=1600×16+1600×4=1600×20,∴AB=80,故A,B两点间的距离为80.
16.解:在△ABC中,由题意知AB-AC=1.5×8=12.在△ACD中,由题意知AD-AC=1.5×20=30.
设AC=x,x>0,则AB=12+x,AD=30+x.
在△ABC中,cos∠ACB===.
在△ACD中,cos∠ACD===.
∵B,C,D在一条直线上,∴=-,即=,
解得x=,∴AB=,AD=.
故震中A到B,C,D三市的距离分别为 km, km, km.