人教版高中数学必修第二册6.4平面向量的应用 同步测试滚动训练（含解析）

人教版高中数学必修第二册
6.4平面向量的应用 同步测试滚动训练
(时间:45分钟　分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于 (　　)
A.4 B.4
C.4 D.4
2.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=∶4∶,则角C的大小为 (　　)
A.150° B.120°
C.60° D.30°
3.在△ABC中,“cos Asin B”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知两个大小相等的力F1,F2作用于同一质点,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为 (　　)
A.40 N B.10 N
C.20 N D.40 N
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC的形状为 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
6.在△ABC中,若AB=3,BC=,AC=4,则△ABC的面积是 (　　)
A.3 B.
C.3 D.
7.在某海岸A处,发现北偏东30°方向,距离A处1海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西60°方向,距离A处海里的C处的缉私船奉命以5海里/小时的速度追截走私船,此时,走私船正以5海里/小时的速度从B处沿北偏东30°方向逃窜,则缉私船能最快追上走私船的行驶方向是 (　　)
A.北偏东30° B.北偏东45°
C.北偏东60° D.正东
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,=,AH为BC边上的高,则AH长度的取值范围为 (　　)
A.[4,6] B.(0,6]
C.(0,4] D.,6
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在△ABC中,若a=4,b=5,c=6,则=　　　　.
10.若锐角三角形ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC=　　　　.
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=　　　　.
12.在△ABC中,若2= , AB=4,AD=AC=3,则BC=　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共40分)
13.(10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,cos C=-.
(1)求角A的大小;
(2)设M为BC的中点,求AM的长.
14.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(A+B)=csin.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积为,周长为8,求b.
15.(15分)某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形,设其顶点分别为A,B,C,已知AB=2AC,且BC=4 m.
(1)若cos C=,求△ABC的周长.
(2)根据某客户的需求,△ABC的面积至少为6 m2,那么该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户的需求 请说明理由.
参考答案与解析
1.C　[解析] 易知A=45°,故由=得b===4.
2.A　[解析] 因为sin A∶sin B∶sin C=∶4∶,所以a∶b∶c=∶4∶.设a=k,b=4k,c=k,k>0,则cos C===-=-,因为C∈(0°,180°),所以C=150°.故选A.
3.C　[解析] ∵余弦函数y=cos x在区间(0,π)上单调递减,且0B,∴a>b,由正弦定理可得sin A>sin B.反之也成立.因此,“cos Asin B”的充分必要条件.故选C.
4.B　[解析] 如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知当F1,F2的夹角为90°时,|F|=|F1|=20 N,∴|F1|=|F2|=10 N.当F1,F2的夹角为120°时,以F1,F2为邻边的平行四边形为菱形,此时|F|=|F1|=10 N.
5.B　[解析] 因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A,所以sin A=1,得A=,所以△ABC是直角三角形.
6.A　[解析] 由余弦定理的推论得cos A==,又A∈(0,π),所以A=,故△ABC的面积为·AB·AC·sin A=3.故选A.
7.C　[解析] 如图,设缉私船在D处追上走私船,所用时间为t小时,则CD=5t,BD=5t,由题意可知∠CAD=90°,AC=,AB=1,∴AD=5t+1.在△ACD中,由勾股定理可得(5t+1)2+3=75t2,解得t=或t=-(舍),∴AD=3,故tan∠DCA==,∴∠DCA=60°,∴∠NCD=60°,则缉私船能最快追上走私船的行驶方向是北偏东60°,故选C.
8.B　[解析] ∵=,∴(c-b)sin(A+C)=(c-a)(sin A+sin C),由正弦定理得(c-b)b=(c-a)(a+c),化简得b2+c2-a2=bc,∴cos A===.由余弦定理得a2=48=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时等号成立,且bc>0,∴09.1　[解析] ===cos A=×=1.
10.7　[解析] 由已知得△ABC的面积为AB·AC·sin A=20sin A=10,所以sin A=,因为A∈0,,所以A=.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=49,所以BC=7.
11.2　[解析] ∵B=2A,a=1,b=,∴由正弦定理得=,即===,∴cos A=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即1=3+c2-3c,解得c=2或c=1(经检验不符合题意,舍去),则c=2.
12.　[解析] 由2=,得D是BC上靠近点B的三等分点,设BD=x(x>0),则DC=2x.在△ADC中,由余弦定理的推论可得cos C===.在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos C===.故=,可得x=,∴BC=3x=.
13.解:(1)∵cos C=-,且0°由正弦定理得=,
即=,∴sin A=,∵C=120°,∴A为锐角,∴A=30°.
(2)∵A=30°,C=120°,∴B=30°,∴b=a=2,
∴在△AMC中,由余弦定理得AM2=AC2+CM2-2AC·CM·cos C=4+1-2×2×1×-=7,∴AM=.
14.解:(1)由三角形内角和定理及诱导公式,得bsin C=ccos,
结合正弦定理,得sin B=cos,
由0<<及二倍角公式,得sin=,
即=,故B=.
(2)由题意得acsin B=,从而ac=4,
所以由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=(a+c)2-12,
又a+b+c=8,所以b2=(8-b)2-12,解得b=.
15.解:(1)因为cos C=,所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·,
所以3AC2+2AC-16=0,故AC=2 m,所以AB=4 m,则△ABC的周长为10 m.
(2)设AC=x m,则AB=2x m,
由余弦定理得cos A==,因为A∈(0,π),
所以sin A=,
故S△ABC=·2x·x·=
=≤,当且仅当x=时,等号成立.
因为>6,故该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户的需求.