3.2.1单调性与最大（小）值全题型 最新同步训练（含解析）

3.2.1 单调性与最大（小）值 （全题型同步训练）
高一数学必修一人教A版（2019）
考试范围：单调性与最大（小）值 ；考试时间：90分钟；命题人：中学考试与预测组
一．选择题（共8小题）
1．下列四个函数中，在（0，+∞）上是增函数的是（　　）
A．f（x）＝﹣ B．f（x）＝x2﹣3x C．f（x）＝3﹣x D．f （x）＝﹣|x|
2．函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（　　）
A．m＞ B．m＜ C．m＞﹣ D．m＜﹣
3．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知直线x＝a（a＞0）与函数，g（x）＝﹣x2的图象分别交于点A，B，则|AB|的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
5．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（　　）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
6．函数f（x）＝+3x的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
7．当s≥0时，函数的最大值为（　　）
A． B． C．0 D．1
8．已知函数f（x）＝x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．函数在区间（b，+∞）上单调递增，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞﹣2 B．b＞﹣1 C．b≥﹣1 D．a＜﹣2
（多选）10．已知函数，则（　　）
A．f（3）＝9
B．f（x）＝2x2﹣3x（x≥1）
C．f（x）的最小值为﹣1
D．f（x）的图象与x轴有1个交点
（多选）11．下列说法正确的是（　　）
A．若存在x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在R上单调递增
B．函数f（x）＝在定义域内单调递减
C．函数f（x）＝x2﹣2x+3的单调递增区间是[1，+∞）
D．不等式x2﹣2x+1≥0的解集是R
（多选）12．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列命题中正确的是（　　）
A．f（﹣3.9）＝f（4.1）
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）的最小值为0
D．方程有无数个根
三．填空题（共4小题）
13．能说明“若函数f（x）在[0，2]上的最大值为f（0），则函数f（x）在[0，2]上单调递减”为假命题的一个函数是 　 　．
14．函数f（x）＝的单调增区间是　 　．
15．已知f（x）＝2x+1，g（x）＝x|x﹣2|，若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2都有成立，则t的最大值为 　 　．
16．已知函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M+m等于 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．已知函数f（x）＝x2﹣2x（x∈[2，5]）．
（1）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（2）求函数f（x）在x∈[2，5]上的最大值和最小值．
18．已知函数，满足条件．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，并求f（x）在x∈[﹣1，1]上的最值．
19．已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a．
（1）求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）若f（1）＝﹣4，求函数在x∈（1，+∞）上的最小值．
20．已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0，b∈R）在区间[2，4]上的最小值为1，最大值为9．
（1）求a，b的值；
（2）设，求g（x）的值域．
21．已知函数f（x）＝3x+2
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）求f（x）在[﹣3，﹣2]上的最大值和最小值．
22．已知函数．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若f（x）的最小值为m，求m+a的最小值．
3.2.1 单调性与最大（小）值 （全题型同步训练）高一数学必修一人教A版（2019）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列四个函数中，在（0，+∞）上是增函数的是（　　）
A．f（x）＝﹣ B．f（x）＝x2﹣3x C．f（x）＝3﹣x D．f （x）＝﹣|x|
【答案】A
【分析】根据常见函数的性质判断函数的单调性即可．
【解答】解：对于A：函数在（0，+∞）递增，符合题意；
对于B：函数的对称轴是x＝，在（0，）递减，不合题意；
对于C：函数在R递减，不合题意；
对于D：函数在（0，+∞）递减，不合题意；
故选：A．
2．函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（　　）
A．m＞ B．m＜ C．m＞﹣ D．m＜﹣
【答案】B
【分析】根据题意，由一次函数的性质可得2m﹣1＜0，解可得m＜，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数，
则有2m﹣1＜0，解可得m＜，
故选：B．
3．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知有，即可求取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，且满足，
所以，
解得．
故选：D．
4．已知直线x＝a（a＞0）与函数，g（x）＝﹣x2的图象分别交于点A，B，则|AB|的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【分析】求解距离的表达式，利用基本不等式求解函数的最小值即可．
【解答】解：直线x＝a（a＞0）与函数，g（x）＝﹣x2的图象分别交于点A，B，
则|AB|＝+a2＝≥＝12，当且仅当a＝2时，取等号．
所以|AB|的最小值为12．
故选：C．
5．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（　　）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
【答案】A
【分析】由题意，利用函数的奇偶性和单调性的性质可得﹣＜2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．
【解答】解：∵偶函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，
则由f（2x﹣1）＜f（），
∴﹣＜2x﹣1＜，解得 ＜x＜，
故选：A．
6．函数f（x）＝+3x的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】令，则将问题转化为求g（t）＝﹣t2+t+的最大值．
【解答】解：令，则，
所以函数f（x）的最大值即为函数g（t）＝﹣t2+t+的最大值，
又因为g（t）＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+，
所以当时，g（t）取得最大值．
故选：C．
7．当s≥0时，函数的最大值为（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】由已知求得s的范围，令g（s）＝s2（1﹣s），利用导数求最值，即可求得原函数的最大值．
【解答】解：由题意，0≤s≤1，
则＝，
令g（s）＝s2（1﹣s），则g′（s）＝2s（1﹣s）﹣s2＝﹣3s2+2s＝﹣s（3s﹣2），
则当s∈（0，）时，g′（s）＞0，g（s）单调递增，当s∈（，1）时，g′（s）＜0，g（s）单调递减，
∴，得函数的最大值为．
故选：A．
8．已知函数f（x）＝x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】排除法：取a＝﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a＝1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．
【解答】解：取a＝﹣时，f（x）＝﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a＝﹣时，A＝（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a＝1时，f（x）＝x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a＝1，A＝ ，不合题意，排除C，
故选：A．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．函数在区间（b，+∞）上单调递增，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞﹣2 B．b＞﹣1 C．b≥﹣1 D．a＜﹣2
【答案】AC
【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝2﹣，由函数图象平移的规律可得a、b的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，＝＝2﹣，
可以由函数y＝﹣的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到，
若函数在区间（b，+∞）上单调递增，必有﹣（2+a）＜0且b≥﹣1，
解可得：a＞﹣2且b≥﹣1，
故选：AC．
（多选）10．已知函数，则（　　）
A．f（3）＝9
B．f（x）＝2x2﹣3x（x≥1）
C．f（x）的最小值为﹣1
D．f（x）的图象与x轴有1个交点
【答案】ABCD
【分析】利用换元法求出f（x）的解析式，然后逐一判断即可．
【解答】解：令，得，则x＝（t﹣1）2，
得，t≥1，
故f（x）＝2x2﹣3x，x∈[1，+∞），故B正确；
f（3）＝9，A正确；
，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增，
f（x）min＝f（1）＝﹣1，f（x）的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．
故选：ABCD．
（多选）11．下列说法正确的是（　　）
A．若存在x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在R上单调递增
B．函数f（x）＝在定义域内单调递减
C．函数f（x）＝x2﹣2x+3的单调递增区间是[1，+∞）
D．不等式x2﹣2x+1≥0的解集是R
【答案】CD
【分析】由函数单调性的定义、具体函数的单调性、一元二次不等式的解法相关知识逐项辨析即可．
【解答】解：对于A，由函数单调性的定义，对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在R上单调递增，不能使用存在量词“存在”，故选项A错误；
对于B，函数在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递减，而不是定义域内单调递减，故选项B错误；
对于C，二次函数f（x）＝x2﹣2x+3的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝1，单调递增区间是[1，+∞），故选项C正确；
对于D，不等式x2﹣2x+1≥0对应的二次函数为y＝x2﹣2x+1，Δ＝0，其图象是开口向上，与x轴有一个公共点的抛物线，当x∈R时，y≥0，即不等式x2﹣2x+1≥0的解集为R，故选项D正确．
故选：CD．
（多选）12．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列命题中正确的是（　　）
A．f（﹣3.9）＝f（4.1）
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）的最小值为0
D．方程有无数个根
【答案】ACD
【分析】根据[x]的意义，画出f（x）的图象，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】解：根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f（x）＝x﹣[x]的解析式：
当﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1，则f（x）＝x+1；
当0≤x＜1时，[x]＝0，则f（x）＝x；
当1≤x＜2时，[x]＝1，则f（x）＝x﹣1；
当2≤x＜3时，[x]＝2，则f（x）＝x﹣2；
画函数f（x）＝x﹣[x]的图象如图所示：
A：根据定义可知，f（﹣3.9）＝﹣3.9﹣（﹣4）＝0.1，f（4.1）＝4.1﹣4＝0.1，即f（﹣3.9）＝f（4.1），所以A正确；
B：从图象可知，函数f（x）＝x﹣[x]最高点处取不到，所以B错误；
C：函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；
D：从图象可知y＝f（x）与y＝的图象有无数个交点，即f（x）＝有无数个根，所以D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题）
13．能说明“若函数f（x）在[0，2]上的最大值为f（0），则函数f（x）在[0，2]上单调递减”为假命题的一个函数是 　f（x）＝（x﹣1）（答案不唯一）　．
【答案】f（x）＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
【分析】由已知结合基本初等函数的性质即可判断．
【解答】解：例如函数f（x）＝（x﹣1）2在[0，2]上先减后增，在x＝0处取得最大值f（0）．
故答案为：f（x）＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
14．函数f（x）＝的单调增区间是　[2，+∞）　．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求函数f（x）的定义域，求f′（x），解f′（x）＞0，结合定义域即可求出函数f（x）的单调增区间．
【解答】解：解x2﹣3x+2≥0，得x≤1，或x≥2；
f′（x），解f′（x）＞0得x＞；
∴f（x）的单调增区间为[2，+∞）．
故答案为[2，+∞）．
15．已知f（x）＝2x+1，g（x）＝x|x﹣2|，若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2都有成立，则t的最大值为 　3　．
【答案】3．
【分析】由条件，结合函数的单调性的定义可得函数y＝g（x）﹣4x在[0，t]上为减函数，化简，结合二次函数性质可求t的最大值．
【解答】解：因为f（x）＝2x+1，
所以不等式可化为，
故，
由已知可得函数y＝g（x）﹣4x在[0，t]上为减函数，又g（x）＝x|x﹣2|，
所以y＝x（|x﹣2|﹣4）在[0，t]上为减函数，
设h（x）＝x（|x﹣2|﹣4），
则，
函数h（x）在（0，2）上单调递减，在[2，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
所以t的最大值为3．
故答案为：3．
16．已知函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M+m等于 　4　．
【答案】4．
【分析】利用分式函数的性质进行化简，然后判断函数f（x）关于（0，2）对称，利用函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝＝2+，
则函数f（x）关于（0，2）对称，
则最大值和最小值也关于（0，2）对称，
＝2，即M+m＝4．
故答案为：4．
四．解答题（共6小题）
17．已知函数f（x）＝x2﹣2x（x∈[2，5]）．
（1）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（2）求函数f（x）在x∈[2，5]上的最大值和最小值．
【答案】（1）f（x）在[2，5]上为增函数，证明见解析；
（2）最大值为15，最小值为0．
【分析】（1）根据题意，设2≤x1＜x2≤5，利用作差法分析可得结论；
（2）根据题意，由f（x）的单调性，分析可得f（x）在[2，5]上的最小值为f（2）、最大值为f（5），计算可得答案．
【解答】解：（1）f（x）在[2，5]上为增函数，
证明：设2≤x1＜x2≤5，
f（x1）﹣f（x2）＝（﹣2x1）﹣（﹣2x2）＝（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2），
又由2≤x1＜x2≤5，则x1+x2﹣2＞0，x1﹣x2＜0，
则有f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[2，5]上为增函数，
（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）在[2，5]上为增函数，
则f（x）在[2，5]上的最小值为f（2）＝4﹣4＝0，最大值为f（5）＝25﹣10＝15；
故函数f（x）在x∈[2，5]上的最大值为15，最小值为0．
18．已知函数，满足条件．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，并求f（x）在x∈[﹣1，1]上的最值．
【答案】（1）；
（2）最小值为1，最大值为．
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得解可得a、b的值，即可得函数的解析式；
（2）根据题意，先用作差法证明函数的单调性，由此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数，满足条件．
所以解得
所以；
（2）根据题意，由（1）的结论：，
设﹣1≤x1＜x2≤1，
则
＝，
因为x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增；
所以．
19．已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a．
（1）求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）若f（1）＝﹣4，求函数在x∈（1，+∞）上的最小值．
【答案】（1）当a＝﹣1时，原不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当a＞﹣1时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜﹣1}；当a＜﹣1时，原不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜a}．
（2）2．
【分析】（1 ）利用一元二次不等式的解法及对参数a分类讨论即可求解；
（2 ）根据已知条件及基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）由f（x）＞0，可得x2+（1﹣a）x﹣a＞0，即（x﹣a）（x+1）＞0，
当a＝﹣1时，不等式（x+1）2＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；
当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＞a或x＜﹣1}；
当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜a}；
综上：当a＝﹣1时，原不等式的解集为{x|x≠﹣1}；
当a＞﹣1时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜﹣1}；
当a＜﹣1时，原不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜a}．
（2）由f（1）＝﹣4，得f（1）＝1+1﹣a﹣a＝2﹣2a＝﹣4，解得a＝3，
所以f（x）＝x2﹣2x﹣3，因为x＞1，所以x﹣1＞0，
则，当且仅当，即x＝2时，等号成立，
所以当x＝2时，函数在x∈（1，+∞）上的最小值为2．
20．已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0，b∈R）在区间[2，4]上的最小值为1，最大值为9．
（1）求a，b的值；
（2）设，求g（x）的值域．
【答案】（1）a＝1，b＝0；
（2）（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．
【分析】（1）由二次函数的性质可知f（x）在[2，4]上单调递增，从而可得，求解即可；
（2）由题意可得，利用导数可得函数g（x）的单调性，从而作出g（x）的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）的图象开口向上，对称轴x＝1，
故函数f（x）在[2，4]上单调递增，
所以f（x）min＝f（2）＝1+b＝1，
当f（x）max＝f（4）＝16a﹣8a+1+b＝8a+b+1＝9，
所以a＝1，b＝0；
（2）由（1）得f（x）＝x2﹣2x+1，
所以，
易知，
当x＜﹣1或x＞1，g′（x）＞0，当﹣1＜x＜0或0＜x＜1，g′（x）＜0，
即g（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）单调递增，在（﹣1，0），（0，1）单调递减．
作出g（x）的图象，如图所示：
又g（﹣1）＝﹣4，g（1）＝0，
故g（x）的值域为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．
21．已知函数f（x）＝3x+2
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）求f（x）在[﹣3，﹣2]上的最大值和最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用单调性的定义证明．（2）利用函数的单调性求函数的最值．
【解答】解：（1）任设两个变量x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝3x1+2﹣（3x2+2）＝3（x1﹣x2），
因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在R上是增函数．
（2）因为f（x）在R上是增函数，所以函数的最大值为f（﹣2）＝﹣2×3+2＝﹣4．
最小值为f（﹣3）＝﹣3×3+2＝﹣7．
22．已知函数．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若f（x）的最小值为m，求m+a的最小值．
【答案】（1）[﹣，]．
（2）6．
【分析】（1）当a＝1时，f（x）≤6等价于|x+1|+|x﹣|≤6，再分类讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）≤6等价于|x+1|+|x﹣|≤6，
当x≤﹣1时，﹣1﹣x+﹣x≤6，则﹣≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜时，x+1+﹣x≤6，则﹣1＜x＜，
当x≥时，x+1+x﹣≤6，则≤x≤，
综上所述，不等式f（x）≤6的解集为[﹣，]．
（2）∵函数．
f（x）＝|x+a|+|x﹣|≥|x+a﹣（x﹣）|＝+a，
当且仅当（x+a）（x﹣）≤0等号成立，
∴f（x）min＝+a＝m，
∴a+m＝+2a＝+2（a+1）﹣2≥2﹣2＝6，
当且仅当，即a＝时，等号成立，
故m+a的最小值为6．