《正弦函数、余弦函数的周期性》教学设计
三门峡市第一高级中学 赵建平
1．教学任务分析
（1）从实际生活的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与正弦函数，的图象比较，抽象概括出周期函数的定义．让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程．
（2）运用周期函数的定义，结合诱导公式（一）研究正弦函数，的周期性，通过类比的方法，让学生自己动手研究余弦函数，的周期性，体会知识形成的过程．
（3） 通过例题的教学，学生的练习、讨论、归纳出函数与(其中的周期公式，并用此公式解决正弦型、余弦型函数的周期，让学生形成系统的认识．
（4）通过本节课的学习，使学生能够初步对周期函数的定义形成认知，完善函数性质，并能够利用周期函数的定义解决简单的函数周期问题．
2．教学重点与难点：
重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.
难点：对周期函数的理解及运用定义求函数的周期.
3．教学基本流程
?4．教学情景设计
问 题
设计意图
师生活动
1．生活中有哪些周期性变化规律的例子？
创设情境，让学生感受周期现象丰富的实际背景，激发学生的学习兴趣，拉近了数学与现实的距离．
教师先展示一些周期性变化规律的例子，然后由学生举出生活中的周期性变化规律的例子．
2．复习回顾诱导公式（一）和正弦函数的图象．
引导学生回顾旧知为本课做好准备.
师生共同回顾．
3．正弦函数的图象有什么特征？
通过动画演示让学生直观感知正弦函数图象周期性变化规律.
教师引导学生回答问题．
4．正弦函数图象的这种周期性的变化规律如何用数学语言表示？
通过对正弦函数的图象观察、分析，结合诱导公式，构建出周期性变化规律，主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力，并进一步渗透数形结合思想方法．
教师提示学生注意观察图象上的每一点向右平移个单位，横、纵坐标的变化规律．并将此规律推广到一般函数．
5．把具有周期性变化规律的函数
叫做周期函数，请同学们尝试着给周期函数下一个定义．
把发现定义的主动权交给了学生，在突出重点的同时培养了学生思维的深刻性与创造性，为学生的可持续发展奠定了基础。
学生分组讨论，小组代表汇报讨论结果．
6．请同学们仔细读定义并找出其中的关键词．
教给学生学习定义时首先应把握住定义中的关键词，抓定义的本质，实现对定义的正确理解．
学生回答教师提出的问题．
7．教师强调并解释定义中的关键词，加深学生对关键词的理解．
8.判断题：
1.因为，所以是的周期.
2．因为，所以的周期是．
3．若定义在R上的函数是周期函数，且周期为,试问、、是它的周期吗？由此你能归纳出什么结论？
帮助学生正确理解概念，防止学生以偏概全，通过具体的实例，从学生易错点出发，让学生认识到概念的本质以及关键词在定义中的含义，培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质．
学生回答对错的同时，解释理由．教师进行点评，引导学生结合定义分析．学生谈体会：
周期的定义是对定义域中的每一个值来说的；周期T是自变量x的增加值；周期函数的周期不唯一．
9．给出最小正周期的定义．
10． (为常数)是周期函数吗？最小正周期是多少？
让学生体会周期函数不一定存在最小正周期，形成对最小正周期的准确理解．
学生根据定义判断出是周期函数，教师提问学生周期是什么？最小正周期是什么？学生总结出周期函数不一定有最小正周期．
11．正弦函数的周期是多少？最小正周期是多少？
从具体的问题入手，检验学生对周期函数、最小正周期概念的理解．同时完善新知．
教师引导学生紧扣周期函数的定义，结合诱导公式（一）探究正弦函数的周期性．
12．同学们用同样的方法研究一下余弦函数的周期性．
培养学生类比思想．
学生独立完成，教师补充完善．
13.例1．求下列函数的最小正周期．
1．，；
2．，；
3．，．
紧扣周期函数的定义，形成求正弦型、余弦型函数的周期的方法.
师生共同完成1、2．第3个题由学生口答，教师板书．以规范总结解题步骤，为学生解答例2提供参考．
14.例2、求下列函数的周期.
第一组：
1．，；
2．， ；
第二组：
1．，；
2．，；
使学生在解题过程中寻找规律，归纳周期公式．
分组练习，教师引导学生在解题过程中注意归纳周期和表达式中的哪些量有关，各组之间相互交流讨论，小组代表展示研究成果
15.学生归纳出函数与(其中的周期公式为.
使学生产生对正弦型、余弦型函数的周期性的系统的认识，也为下一节的学习奠定基础．
教师进行点评,并对学生的研究成果给予肯定和赞扬．
16．练习
1.下列函数中周期为的是（ ）
A. B.
C. D.
2．求下列函数的周期.
（1），；
（2），；
（3），;
( 4 ) , ．
3．函数， （的最小正周期为．求的值．
及时巩固周期公式
学生口答，教师进行点评．
17．小结
通过小结，使学生对所学知识系统化、条理化，便于学生记忆．
学生回忆、归纳、总结．
18. 必做题：习题1.4 A 组 第3、10题
选作题：
1.函数的最小正周期为（ ）
A. B. C.2 D.
2.设函数是定义在上周期为的偶函数，当时，. 试求的值.
课后作业分必做题和选做题，必做题是对课堂学习的反馈，选做题是对课堂学习的延伸与拓展．
5．几点说明
1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难，为了突破这个难点，借助了多媒体动画演示来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．
2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，对周期T是自变量的增加值理解有偏差，为了突破这个难点，设计了二道判断题让学生思考，引导学生逐步形成正确的认知结构。
3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１的前2问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由个别学生口答，教师板书完成第3问，再由师生共同点评．
4.预计学生在归纳周期公式时有一定的困难，所以采用了小组讨论的方式归纳周期公式。
课件25张PPT。三门峡市一高欢迎您！正弦函数、余弦函数周期性 三门峡市第一高级中学
赵建平人教A版 必修四请同学们，举出能够体现周期性变化规律的实例。复习回顾1．诱导公式(一)：复习回顾2．正弦函数的图象x函数值自变量一般函数 f(x) 若满足：自变量由定义域内任意 x 增加到 x + T ( T 为非零常数)函数值相等, 由任意值 x 增加到相等，即：即：f ( x+T ) = f ( x )新课讲解 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．1、周期函数的定义思考1：
观察等式 是否成立？如果成立，能不能说 是
y = sinx 的周期？1．等式 f(x+T)=f(x) 对定义域中每个 x 值都成立． 说明新课讲解 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．1、周期函数的定义说明思考2：
对于 来说，以下说法是否正确？ 2．周期 T 是自变量 x 的增加值． 提示：新课讲解 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．1、周期函数的定义思考3: 若函数f(x)是定义在R上的周期函数，其周期为T，试问2T 是它的周期吗？3T 呢？……所以2T是函数f(x)的周期．所以3T是函数f(x)的周期．分析：因为函数f(x) 是周期函数，且T为周期．所以对定义域中的每一个x，都有f(x)=f(x+T)．用x+T替换上式中的x，得f(x+T)= f(x+2T)．所以 f(x)=f(x+T) = f(x+2T) = f(x+3T)． 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．1、周期函数的定义3．周期函数的周期不唯一，若T是定义在R上的周期函数f(x)的一个周期,则kT (k∈Z且k≠0) 都是f(x)的周期．1．等式 f(x+T)=f(x) 对定义域中每个 x 值都成立． 2．周期 T 是自变量 x 的增加值． 新课讲解新课讲解2、最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数 f(x) 的最小正周期．2．书中提到的周期，若无特别说明，是指最小正周期．1．周期函数不一定有最小正周期．说明思考4：
函数 f(x)=a ( a是常数）是周期函数吗?它的最小正周期是多少？新课讲解3、正弦函数的周期性其最小正周期是 ．新课讲解4、余弦函数的周期性其最小正周期是 ．典例分析例1．求下列函数的周期．典例分析解：设函数的周期为T．即：例1．求下列函数的周期．典例分析解：设函数的周期为T．即：例1．求下列函数的周期．典例分析例1．求下列函数的周期．典例分析例2．求下列函数的周期．第一组：第二组：1．下列函数中周期为 的是（ )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.Ｄ课堂练习课堂练习2．求下列函数的周期．课堂练习3.函数 的最小正周期是
，求 的值．归纳小结1．对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义
域中每一个值x，都有f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做周
期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．2．正弦函数和余弦函数都是周期函数， 都
是它们的周期。最小正周期是 ．3．函数 及函数
（其中 为常数,且 )的周期是 ．P46习题1.4 A组第3、10题必作：选作：作业2. f(x)是定义在R上的周期为 的偶函数，当 时，
f(x)=sinx．试求 的值．1.函数 的最小正周期为（ ）．A.B.D.C.谢谢指导！
