《向量加法运算及其几何意义》
教学设计
关传平
河南省濮阳市第一高级中学
2.2.1向量加法运算及其几何意义
教学内容和内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第二章《平面向量》第二节《平面向量的线性运算》的第一课时，内容是向量加法运算及其几何意义。
向量是数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的桥梁。向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力两个物理模型为背景引入的，主要内容是向量加法的三角形法则和平行四边形法则。教科书从几何角度具体给出了通过两个法则作两个向量和的方法，介绍了向量加法满足的运算率，最后举例说明生活中有向量，生活中用向量。向量加法运算是学生对向量运算体系所进行的第一次探索和尝试，学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
因此，本节的教学重点是掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算率。
教学目标和目标分析
（一)教学目标
1.掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算律。
2.理解向量加法及其几何意义。
3.通过类比、观察、归纳等方法提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（二）教学目标分析
1.用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量时，体会在平面内任取一点O的依据，它体现了向量起点的任意性，用平行四边形法则作图时强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连。
2.通过对向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其几何意义。
3.从位移的合成、力的合成总结出向量加法法则；从向量的大小与方向探究出向量加法性质；从实数加法的运算律类比向量加法的运算律。
三．教学问题诊断分析
本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑惑和困难：
1.对三角形法则的理解，尤其是方向相反的两个向量的加法 。
2.在实际生活中，抽象、识别出向量加法的模型。
为此在教学中，让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。通过对应用题的讨论，拉近学生与抽象数学知识之间的距离，激发他们的兴趣，增强他们学习数学的动力。
因此，本节的教学难点是：理解向量加法及其几何意义。
教法分析
伟大的教育家叶圣陶先生说过“教师之谓教，不在全盘授予，而在相机诱导”。本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法。
1.设置情景，激发学生解决问题的欲望。
2.提供交流探究机会，引导学生独立思考，有效调动学生思维，在开放的活动中获取知识。
3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念。
4.让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程。
五、教学过程设计
根据学生现有的的认知水平和规律，结合本节课的内容特点，分以下五个环节展开教学： 创设情境、引入课题；独思共议、总结法则；合作交流、探究性质；典例分析、深化认识；课堂小结、拓展延伸。
1、创设情境 引入课题
情景：原来从浙江的嘉兴到宁波的慈溪，需先从嘉兴到杭州，再从杭州到慈溪，现在建好了杭州湾跨海大桥，可以从嘉兴直接到达慈溪。
这两种方式的位移是一样的。 然后将图片中的问题抽象出来，也就是从点O到点A再到点B的两次位移效果与从点O直接到点B的位移效果是一样的，因为位移也是向量，从而引出向量的加法。
2、独思共议，总结法则
（1）通过现实生活中塔吊工作的情形,引出位移的合成，体现出“首尾相接”的两个向量如何进行相加，从而得出向量加法的三角形法则，也即是 。
（2）有两辆汽车牵引一辆大卡车，牵绳间有夹角，如果只用一辆汽车来牵引，而产生的效果跟原来相同，试求这辆车的牵引力的大小和方向。通过力的合成体现了“共起点”的两个向量如何相加，引出向量加法的平行四边形法则。
【设计意图】 从学生熟悉的物理知识入手，采用探究的方式，把探究新知的权利交给学生，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动中来，而且在探究的过程中学生对向量加法的认识逐步由感性上升到理性，顺利得出向量加法法则，为突破重点奠定基础。
3、合作交流，探究性质
（1）两个向量的和是一个向量还是一个数？
（2）
（3）
（4）当两非零向量共线时呢？
解析：尤其是当两向量共线的特殊情况，让学生总结，规律如下：
【设计意图】熟练两个法则的作图技能，让学生开展小组合作、自主探究，特别是向量共线时，通过研究向量的方向以及模之间的关系，培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质，使他们在轻松愉快的氛围中突破难点，在过程中收获自信，体验成功！通过学生展示讲解，锻炼学生的组织能力和语言表达能力。通过教师点拨，强化重、难点，形成规律，加深理解。
４、典例分析，深化认识
【设计意图】通过“类比”的方法引入向量的加法运算律，是符合建构主义的认识的．同时，对于结论的验证使学生进一步认识的数学的严谨之美，也欣赏到了两个法则的和谐统一之美．由特殊到一般，让学生通过练习归纳向量加法的三角形法则的推广-----多边形法则。然后生活中有向量，生活中用向量，通过对应用题的讨论，拉近了学生和抽象的数学知识之间的距离，激发了他们学习的兴趣，同时增强了他们学习好数学的动力．
5、课堂小结，拓展延伸
（1）让学生自己从所学的数学知识、数学思想方法两个方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力。
【设计意图】学生在回顾、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构合理化。
（2）布置作业：必做题：教材84页3、4和91页1．2．3．
选做题：求证：在三角形ABC中，若平面内一点G满足，则G为三角形ABC的重心。
【设计意图】在布置作业环节中，一组必做题，一组选做题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．
（3）板书设计
最后：教育的艺术不仅在于传授知识，更在于唤醒、激发、鼓舞学生，尊重学生，给他们一双翅膀，让他们自由飞翔！
二0一四年三月十七日
课件21张PPT。2.2.1向量加法运算及其几何意义
濮阳市第一高级中学 关传平（一）、复习引入： 1、什么叫向量？ 2、什么叫平行向量（共线向量）？ 3、什么叫相等向量？既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示.方向相同或相反的非零向量叫平行向量.（规定：零向量与任何一个向量平行）长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.X1X2XABb1、向量加法的三角形法则两向量首尾相连，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点.[引例2]有两辆汽车牵引一辆大卡车，他们的牵引力分别是F1=3000N，F2=2000N，牵绳间的夹角θ=600。如果只用一辆汽车来牵引，而产生的效果跟原来相同，试求这辆车的牵引力F的大小和方向。2.向量加法的平行四边形法则C作法:BD（1）将向量平移到同一起点 （2）和向量即以它们作为邻边的平行四边形的共起点的对角线所对应的向量。3、探究 (1)两个向量的和是一个向量还是一个数？ (2)零向量和任一向量 a 的和是什么? (3)当向量 a 与 b 不共线时，则 向量 a ＋ b , a , b 它们 的方向如何？且|a+b|与|a|+|b|大小如何？
(4)当两非零向量共线时呢？ 如图, 用向量加法的三角形法则作出（1）（2）BCBC例1:向量加法的运算律交换律：结合律： 例2. O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,求下列向量:
(1)OA1+OA3(2)A2A3+A6A5(3)OA1+A6A5 A1A2A3A4A5A6O (4) A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6 思考：在(4)的基础上你能得到更为一般的结论吗？境外.swf推广2：例题3: 在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h,渡船要垂直地渡过长江,求渡船的航向.东在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h,渡船要垂直地渡过长江,求渡船的航向.答 : 渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30o .知识：1、平行四边形法则：起点相同 适用于不共线向量的加法 2、三角形法则：首尾相接 适用于任意向量的加法3、交换律 结合律小结：思想 ：1、类比的方法 2、分类讨论思想
3、数形结合思想作 业：(一）必做题：1、教材第84页3、4
2、教材第91页1、2、3
（二）选做题：
求证：在三角形ABC中，若平面内一点G满足 ,则G为三角形ABC的重心。
谢 谢！
