人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
《2.4.1平面向量数量积的
物理背景及其含义》
教学设计
洛阳外国语学校
马娜娜
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E-mail: lymana@sina.com
2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计
一、教材分析
1.地位与作用
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
2.学情分析
学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。
二、教学目标
1.知识与技能
⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；
⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业
术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。
2.过程与方法
本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。
3.情感态度与价值观
通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。
三、教学重难点
重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的垂直关系。
难点：平面向量数量积概念与运算律的理解，平面向量数量积的应用。
四、教学准备
实物投影仪，多媒体课件，数学专业术语词汇表。
五、教学基本流程
六、教学过程（三三式）
（Ⅰ）第一段
提出问题
问题1：物理中力对物体所做的功是什么？
功是力与力的方向上位移的乘积.
问题2：给出图示，如何计算“功”？
【设计意图】由学生所熟悉的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。
2.引入新课
既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量，在数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用来替代，这就是平面向量的数量积，从而引入本节课——2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。
3.出示目标
⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
⑵掌握平面向量数量积的性质，会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角；
⑶掌握平面向量数量积的运算律。
【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。
（Ⅱ）第二段
概念明晰
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（inner product/dot product）（或内积），记作，即
问题3：向量的夹角的范围；
问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？
【设计意图】引导学生分析定义中的要点内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。
之后利用课件向学生介绍投影（projection）的内容.
在方向上的投影为，在方向上的投影为.
问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是否可能为零呢？
学生分为两大组分别完成例1中的任务一与任务二：
例1：计算以及在方向上的投影（为与的夹角）.
0°
30°
90°
120°
180°
投影
数量积
0°
60°
90°
150°
180°
投影
数量积
当时，；当时，；当时，.
问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积与在方向上的投影有什么关系吗？
数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积.
【设计意图】通过例1,一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方面让学生通过自己的动手动脑总结归纳出问题6的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”的数学本质.
探究数量积的性质与运算律
教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学
生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。
问题7：① ②当与同向时，=？ 当与反向时，=？
③ 或 ④ ⑤（什么时候取等号？）
问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？
①；②；③.
的证明较为简单，学生可以完成；对于②，若按照数量积的定义展开会出现困难
教师给学生提示，可以结合数量积的定义及向量的数乘运算对和两种情况下分别证明；③的证明有难度，由师生共同完成。
问题9：⑴与相等吗？⑵如果，那么或，对吗？
⑶如果，，那么能得出吗？为什么？
【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完成。问题9的设置让学生体会向量的数量积与实数乘法运算的区别，强化对数量积的理解。
3. 运用所学，解决问题
活动一（自主探究）：学生自主学习课本105页，例2、例3、例4
问题10：⑴例2研究后补充两题：①；②.
⑵例3后给出变式题：已知，，，求与的夹角？
【设计意图】使学生体会解题中运算律的作用，学会如何应用数量积解决夹角问题与垂直问题。
活动二（合作探究）：
已知向量夹角为且则_________
解：
即
夹角为45°
解得，（舍去）
【设计意图】小组合作探究题能激发学生钻研探索的欲望，提高学生的合作意识，让学生有更多的机会论及自己的思想，学会如何应用数量积解决向量的模的问题。
（Ⅲ）第三段
课堂练习
基础练习：课本106页 1、2、3题 (1,2题进行口答，3题由学生在黑板上作图)
综合练习：
⑴向量的夹角为60°，则___________ 答案：
⑵在中，若则的形状为___________ 答案：直角三角形
课堂小结
⑴学生谈收获
⑵教师总结：本节课共学习三个内容①平面向量数量积的定义与物理意义、几何意义；②平面向量数量积的性质；③平面向量数量积的运算律。在学习新知的过程中还渗透着数学思想方法的学习，如数形结合，类比等。
布置作业
课本108页 2、3、6题
思考题：已知向量与夹角为45°，当向量与夹角为锐角
时，求实数的取值范围.
【设计意图】课堂练习中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此先让学生练习课后题目，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了使学生所学知识得到拓展，我又安排了两道综合题目，难度适中，供学生练习。课堂作业选用课后习题中的三道题，进而通过作业的批改发现学生还存在的问题，进行针对性解决，再给出一道思考题，供学生课下研究讨论。
板书设计：
课件23张PPT。 洛阳外国语学校
马娜娜人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修42.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
Physical Background & Meaning of
the Dot Product of Vectors 问题：物理中力（Force）对物体所
做的功（Work）是什么？学习目标(Learning?Objectives )：1.理解平面向量数量积的概念及几何意义；2.掌握向量数量积的性质，会用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角；3.掌握向量数量积的运
算律.记作叫做与数量积(Dot Product)的概念：已知两个非零向量与，我们把数量的数量积(Dot Product)，即
为 与 的夹角 We take the componentof that lies alongside . where the shadow lies . Like shining a light to see 投影（Projection）： 叫做向量 在
方向上的投影. 叫做向量 在
方向上的投影.什么时候为正（Positive），
什么时候为负（Negative）？Task 1Task 2投影与数量积的结果都是数量.投影与数量积与的乘积. 数量积
几何意义数量积的性质（Property）1.当与反向时，3.或4.5.探究：什么情况下取等号？数量积的运算律1.2.3.已知向量和实数，则2.O3. 数量积
性质与运算律1.或，对吗？，对吗？或例2.我们知道，对任意恒有对任意向量是否也有类似的结论？自主探究：例3.已知与的夹角为60°，求解：自主探究： =-72例4.何值时，向量互相垂直？与即即当时，自主探究： 已知且不共线.与为解：已知向量夹角为且则即夹角为45°解得（舍去）合作探究 （Groupwork）：练习（Quiz Yourself）：Part 1课本Who reacts fast?直角三角形练习（Quiz Yourself）：Part 21.向量的夹角为60°，则2.在中，若则的形状为____________=_______课堂小结（summary）：Share your gains!1.数量积的概念，几何意义及物理意义；
2.数量积的性质；
3.数量积的运算律；
4.类比、数形结合的数学思想方法.作业（homework）：课本P 108 T 2、3、6思考题：已知向量与夹角为45°，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围.Thank you!
