4.4对数函数全题型 最新同步训练（含解析）

4.4 对数函数（全题型最新同步训练）
高中数学必修1人教A版（2019）
一．选择题（共9小题）
1．若函数y＝logax+a2﹣3a+2为对数函数，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|y＝ln（4﹣x2）}，则（ UA）∩B＝（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2）
C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
3．已知f（x）＝2+log3x，x∈ [，9]，则f（x）的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．0
4．已知函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝logcx，④y＝logdx的大致图象如图所示，则（　　）
A．a+c＜b+a B．a+d＜b+c C．b+c＜a+d D．b+d＜a+c
5．已知函数f（x）＝|lgx|，f（a）＝f（b），a＜b，则a+2023b的取值范围是（　　）
A． B．（2023，+∞） C．（2024，+∞） D．（0，+∞）
6．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，若实数a满足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），则a的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．2
7．已知a＝log35，b＝log57，，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
8．若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）
9．已知函数f（x）＝m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（2，+∞）
二．多选题（共5小题）
（多选）10．若3﹣x﹣3﹣y＜log3x﹣log3y，则（　　）
A．ex﹣y＜1 B．ex﹣y＞1
C．ln（x﹣y+1）＞0 D．ln（x﹣y+1）＜0
（多选）11．已知函数f（x）＝ln（2x+1）﹣ln（2x﹣1），则（　　）
A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为减函数 D．f（x）为奇函数
（多选）12．下列说法正确的是（　　）
A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]
B．函数f（x）＝loga（2x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，1）
C．函数f（x）＝x2﹣2|x|+5的单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）
D．的最大值为
（多选）13．已知函数f（x）＝log2（x+6）+log2（4﹣x），则（　　）
A．f（x）的定义域是（﹣6，4）
B．f（x）有最大值
C．不等式f（x）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
D．f（x）在[0，4]上单调递增
（多选）14．已知实数a，b，c满足2a＝3b＝18c＜1，则下列说法正确的有（　　）
A．3a＞2b B．b＜2c C． D．
三．填空题（共4小题）
15．不等式lg（x﹣1）＜1的解集是　 　．（用区间表示）
16．若函数y＝log2（x2﹣2ax+a）的值域为R，则实数a的取值范围是 　 　．
17．已知常数a＞0且a≠1，无论a取何值，函数y＝loga（3x﹣5）﹣4的图像恒过一个定点，则此定点为 　 　．
18．已知曲线y＝lgx上的相异两点A，B到直线x＝1的距离相等，则点A，B的纵坐标之和的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
19．已知函数y＝log3（ax+b）的图像过点A（2，1）和B（5，2）．
（1）求此函数的表达式并注明定义域；
（2）已知函数y＝log3（t+），若两个函数图像在区间[1，2）上有公共点，求t的最小值．
20．已知函数f（x）＝（log2x﹣2）（log4x﹣）．
（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．
21．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）＝（﹣x+1）
（1）求f（3）+f（﹣1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x
（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函数M（x）＝的最大值．
（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
4.4 对数函数（全题型最新同步训练）高中数学必修1人教A版（2019）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．若函数y＝logax+a2﹣3a+2为对数函数，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题意利用对数函数的定义，求得a的值．
【解答】解：∵函数为对数函数，∴a2﹣3a+2＝0，则a＝1（舍去）或a＝2，
故选：B．
2．已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|y＝ln（4﹣x2）}，则（ UA）∩B＝（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2）
C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
【答案】B
【分析】利用分式不等式以及对数函数的性质求出集合A，B，再求出集合A的补集，然后根据交集的定义即可求解．
【解答】解：由已知可得集合A＝{x|x＞4或x＜﹣1}，
则 UA＝{x|﹣1≤x≤4}，
令4﹣x2＞0，解得﹣2＜x＜2，所以集合B＝{x|﹣2＜x＜2}，
所以（ UA）∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2），
故选：B．
3．已知f（x）＝2+log3x，x∈[，9]，则f（x）的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．0
【答案】A
【分析】先分析函数f（x）＝2+log3x在区间[，9]上的单调性，进而可得到f（x）的最小值点，代入可得答案．
【解答】解：∵函数y＝log3x在区间[，9]上为增函数，
∴函数f（x）＝2+log3x在区间[，9]上为增函数，
∴当x＝时，f（x）的最小值为2﹣4＝﹣2，
故选：A．
4．已知函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝logcx，④y＝logdx的大致图象如图所示，则（　　）
A．a+c＜b+a B．a+d＜b+c C．b+c＜a+d D．b+d＜a+c
【答案】A
【分析】由对数函数的图象及性质，结合不等式的性质求解即可．
【解答】解：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，
则a+b＞a+c，b+d＞a+c，
即选项A正确，选项D错误；
又a+d与b+c的大小不确定，
即选项B、C错误，
故选：A．
5．已知函数f（x）＝|lgx|，f（a）＝f（b），a＜b，则a+2023b的取值范围是（　　）
A． B．（2023，+∞） C．（2024，+∞） D．（0，+∞）
【答案】C
【分析】由题意，可得ab＝1，代入a+2023b中，得到a+2023b＝+2023b，再由对勾函数的性质求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝|lgx|，f（a）＝f（b），∴|lga|＝|lgb|，
又∵a＜b，∴﹣lga＝lgb，∴lgab＝0，∴ab＝1，
∴0＜a＜1＜b，
故a+2023b＝+2023b，
∵y＝+2023b在（1，+∞）上单调递增，
∴+2023b＞1+2023＝2024，
故a+2023b的取值范围是（2024，+∞），
故选：C．
6．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，若实数a满足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），则a的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），等价为f（log2a）+f（﹣log2a）≤2f（1），
即2f（log2a）≤2f（1），
即f（log2a）≤f（1），
即f（|log2a|）≤f（1），
∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴|log2a|≤1，
即﹣1≤log2a≤1，
即≤a≤2，
即a的最小值是，
故选：A．
7．已知a＝log35，b＝log57，，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】利用幂函数和对数函数的单调性比较a，b与c的大小即可．
【解答】解：因为，所以，所以，即a＞c．
因为，所以，所以，即c＞b．
即a＞c＞b．
故选：D．
8．若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）
【答案】B
【分析】先将函数f（x）＝loga（2﹣ax）转化为y＝logat，t＝2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．
【解答】解：令y＝logat，t＝2﹣ax，
∵a＞0
∴t＝2﹣ax在（1，3）上单调递减
∵f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增
∴函数y＝logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立
∴
∴0＜a≤
故选：B．
9．已知函数f（x）＝m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（2，+∞）
【答案】B
【分析】先根据指数函数的单调性求出函数在[1，2]上的值域，然后根据f（x）≤4建立关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝m+log2x2在[1，2]单调递增，
∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，
∵f（x）≤4，
∴2+m≤4，解得m≤2，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：B．
二．多选题（共5小题）
（多选）10．若3﹣x﹣3﹣y＜log3x﹣log3y，则（　　）
A．ex﹣y＜1 B．ex﹣y＞1
C．ln（x﹣y+1）＞0 D．ln（x﹣y+1）＜0
【答案】BC
【分析】构造函数f（x）＝3﹣x﹣log3x，由其单调性得出x＞y＞0，进而由指数和对数函数的单调性判断即可．
【解答】解：不等式3﹣x﹣3﹣y＜log3x﹣log3y可化为，
构造函数f（x）＝3﹣x﹣log3x，易知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
由f（x）＜f（y）可知，x＞y＞0．
因为x﹣y＞0，所以ex﹣y＞e0＝1，ln（x﹣y+1）＞ln1＝0．
故选：BC．
（多选）11．已知函数f（x）＝ln（2x+1）﹣ln（2x﹣1），则（　　）
A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为减函数 D．f（x）为奇函数
【答案】ABC
【分析】解2x﹣1＞0即可得出f（x）的定义域，从而判断A正确；，这样即可判断出BC都正确；根据f（x）的定义域即可判断D错误．
【解答】解：解2x﹣1＞0得，x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞），∴A正确；
，，∴，∴f（x）的值域为（0，+∞），∴B正确；
，x增大时，2x﹣1增大，减小，即f（x）减小，∴f（x）是减函数，∴C正确；
f（x）的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，∴f（x）不是奇函数，∴D错误．
故选：ABC．
（多选）12．下列说法正确的是（　　）
A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]
B．函数f（x）＝loga（2x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，1）
C．函数f（x）＝x2﹣2|x|+5的单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）
D．的最大值为
【答案】BC
【分析】对于A，根据抽象函数求定义域即可；对于B，根据对数函数图象性质解决即可；对于C，根据分段函数解决即可；对于D，根据指数型复合函数解决即可．
【解答】解：对于A，函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域应满足0≤2x≤2，解得0≤x≤1，
所以函数f（2x）的定义域为[0，1]，故A错误；
对于B，函数f（x）＝loga（2x﹣3）+1，由对数函数的图象性质令2x﹣3＝1，解得x＝2，此时f（x）＝1，所以函数f（x）＝loga（2x﹣3）+1的图象恒过定点（2，1），故B正确；
对于C，当x≥0时，函数f（x）＝x2﹣2|x|+5＝x2﹣2x+5开口向上，对称轴为x＝1，单调增区间为[1，+∞），
当x＜0时，函数f（x）＝x2﹣2|x|+5＝x2+2x+5开口向上，对称轴为x＝﹣1，单调增区间为[﹣1，0]，故C正确；
对于D，，令t＝x2+1≥1，当x＝0时，ymin＝2，函数没有最大值，故D错误．
故选：BC．
（多选）13．已知函数f（x）＝log2（x+6）+log2（4﹣x），则（　　）
A．f（x）的定义域是（﹣6，4）
B．f（x）有最大值
C．不等式f（x）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
D．f（x）在[0，4]上单调递增
【答案】AB
【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式．
【解答】解：由题意可得，解得﹣6＜x＜4，即f（x）的定义域是（﹣6，4），则A正确；
，因为y＝﹣x2﹣2x+24在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，所以f（x）max＝f（﹣1）＝2log25，则B正确；
因为f（x）在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，且f（﹣4）＝f（2）＝4，所以不等式f（x）＜4的解集是（﹣6，﹣4）∪（2，4），则C错误；
因为f（x）在（﹣1，4）上单调递减，所以D错误．
故选：AB．
（多选）14．已知实数a，b，c满足2a＝3b＝18c＜1，则下列说法正确的有（　　）
A．3a＞2b B．b＜2c C． D．
【答案】BD
【分析】设2a＝3b＝18c＝t＜1，可得a，b，c与t之间的等式关系，再用换底公式进行变形，可得a，b，c分子相同，通过化简3a﹣2b，判断正负，即可判断A；同理可判断b，2c大小，即可判断B；分别化简，即可判断C；对进行化简，用对数运算法则，展开后，再用基本不等式即可判断D．
【解答】解：取2a＝3b＝18c＝t，所以有t＜1，则lnt＜0，
则，
因为，
因为ln27﹣ln4＞0，lnt＜0，ln2ln3＞0，
所以3a﹣2b＜0，即3a＜2b，故选项A错误；
因为，
因为ln9﹣ln18＜0，lnt＜0，ln18ln3＞0，
所以2c﹣b＞0，即b＜2c，故选项B正确；
因为，
故选项C错误；
因为＝，
当且仅当时取等，显然等号不成立，
故，故选项D正确．
故选：BD．
三．填空题（共4小题）
15．不等式lg（x﹣1）＜1的解集是　（1，11）　．（用区间表示）
【答案】见试题解答内容
【分析】由不等式可得可得0＜x﹣1＜10，从而求得不等式的解集．
【解答】解：由lg（x﹣1）＜1，可得0＜x﹣1＜10，求得1＜x＜11，故不等式的解集是（1，11），
故答案为 （1，11）．
16．若函数y＝log2（x2﹣2ax+a）的值域为R，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，0]∪[1，+∞）　．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先，根据题意，得到方程x2﹣2ax+a＝0的判别式△≥0，然后，求解其范围即可．
【解答】解：∵函数y＝log2（x2﹣2ax+a）的值域为R，
∴方程x2﹣2ax+a＝0的判别式
△≥0，
∴（﹣2a）2﹣4a≥0，
∴a≤0或a≥1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
17．已知常数a＞0且a≠1，无论a取何值，函数y＝loga（3x﹣5）﹣4的图像恒过一个定点，则此定点为 　（2，﹣4）　．
【答案】（2，﹣4）．
【分析】由题意令3x﹣5＝1，解得x＝2，再代入函数解析式求出y的值，进而求解结论．
【解答】解：令3x﹣5＝1，解得x＝2，
当x＝2时，函数y＝loga（3x﹣5）﹣4＝﹣4，
即函数图象恒过一个定点（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
18．已知曲线y＝lgx上的相异两点A，B到直线x＝1的距离相等，则点A，B的纵坐标之和的取值范围是 　（﹣∞，0）　．
【答案】（﹣∞，0）．
【分析】不妨设0＜x1＜x2，由题意得1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，然后结合对数的运算性质及基本不等式即可求解．
【解答】解：不妨设0＜x1＜x2，
由题意得1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，
则点A，B的纵坐标之和y1+y2＝lgx1+lgx2＝lg（x1x2）＝lg1＝0，
故答案为：（﹣∞，0）．
四．解答题（共4小题）
19．已知函数y＝log3（ax+b）的图像过点A（2，1）和B（5，2）．
（1）求此函数的表达式并注明定义域；
（2）已知函数y＝log3（t+），若两个函数图像在区间[1，2）上有公共点，求t的最小值．
【答案】（1）y＝log3（2x﹣1）（x＞）；
（2）2．
【分析】（1）将A（2，1），B（5，2）代入函数y，列出方程组，即可求解；
（2）根据已知条件，结合分离参数法，以及函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）函数y＝log3（ax+b）的图像过点A（2，1）和B（5，2），
则，即，解得，
故y＝log3（2x﹣1）（x＞）；
（2）∵函数y＝log3（t+），
∴2x﹣1＝t+在[1，2）上有解，
则t＝，在[1，2）严格单调递增，
当x＝1时，y＝2x﹣1﹣取得最小值2，
∴t≥2，
故t的最小值为2．
20．已知函数f（x）＝（log2x﹣2）（log4x﹣）．
（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意结合二次函数的性质即可求得函数的值域；
（2）由题意结合函数 的单调性和恒成立的条件整理计算即可求得最终结果．
【解答】解：（1）
此时，．，∵∴
所以函数的值域为；
（2）f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，
即2t2﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，∴，
易知，
∴g（t）min＝g（1）＝0，∴2m≤0，
∴m≤0．
21．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）＝（﹣x+1）
（1）求f（3）+f（﹣1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可求f（3）+f（﹣1）
（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，将不等式进行转化即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）是定义在R上的偶函数，x≤0时，f（x）＝（﹣x+1），
∴f（3）+f（﹣1）＝f（﹣3）+f（﹣1）＝4+2＝﹣2﹣1＝﹣3；
（II）令x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）＝（x+1）＝f（x）
∴x＞0时，f（x）＝（x+1），
则f（x）＝．
（Ⅲ）∵f（x）＝（﹣x+1）在（﹣∞，0]上为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
∵f（a﹣1）＜﹣1＝f（1）
∴|a﹣1|＞1，
∴a＞2或a＜0
22．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x
（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函数M（x）＝的最大值．
（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）[0，2]．
（2）1．
（3）（﹣∞，﹣2）．
【分析】（1）令t＝log2x，则h（x）＝﹣2（t﹣1）2+2．由x∈[1，2]，可得t∈[0，1]，再利用二次函数的性质求得h（x）的值域．
（2）根据函数M（x）＝，f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log2x），分类讨论求得M（x）的最大值．
（3）由题意可得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞klog2x，根据t∈[0，1]，可得（3﹣4t）（3﹣t）＞kt，对一切t∈[0，1]恒成立．再分①当t＝0和②当t∈[0，1]两种情况，求得k的取值范围．
【解答】解：（1）令t＝log2x，则f（x）＝3﹣t，g（x）＝t，
h（x）＝（4﹣2log2x） log2x＝﹣2（t﹣1）2+2．
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，
故当t＝1时，h（x）取得最大值为2，当t＝0时，函数取得最小值为0，
∴h（x）的值域为[0，2]．
（2）函数M（x）＝＝，
∵f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log2x），
∴当x∈（0，2]时，f（x）≥g（x），M（x）＝log2x．
当x∈（2，+∞）时，f（x）＜g（x），M（x）＝3﹣2log2x．
即M（x）＝．
当0＜x≤2时，M（x）最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x＝2时，M（x）取到最大值为1．
（3）∵对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k g（x）恒成立，
即（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞klog2x．
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞kt对一切t∈[0，1]恒成立．
①当t＝0时，k∈R．
②当t∈（0，1]，k＜+4t﹣15，∵h（t）＝+4t﹣15在（0，1]上是减函数，
∴h（t）min＝﹣2，（t＝1时），∴k＜﹣2．
综述，k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．