《等差数列前n项和》的教学设计说明
巩义二中 黄殿海
本课的教学设计反映了等差数列求和公式推导过程中数学思想方法——倒序相加法的生成过程，这是本节课教学设计的重中之重；设计中结合本班学生学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节并以此来确定教学目标。下面从以下几个方面进行详细说明。
一、教学内容的本质、地位及作用分析
等差数列前n项和 ，这是教材给出的前n项和的定义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课的数学本质是倒序相加法及其生成过程（即变不同“数”的求和为相同“数”的求和），进而推导和掌握等差数列的求和公式。
本节内容是必修五第二章第三节的第一课时，本节课对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式及性质的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用．
对求和公式的认识中，将公式1与公式2与梯形的面积公式建立了联系，从而起到延伸知识，提示事物间内在联系，更能激发学生学习兴趣，感受思考的魅力。
二、教学目标分析
本节课是等差数列的前n项和的第一课时，从知识点来说，掌握求和公式对每个学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中体会倒序相加求和的思想方法及生成过程，渗透新课标理念，根据学情进行了具体分析，并结合学情制定本节课的教学目标。
学情分析：1、学生已学习了函数、数列等有关基础知识，并且高二学生的抽象逻辑推理能力基本形成，能在教师的引导下独立地解决问题。2、学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题。3、学生对新知识很有兴趣，对用多媒体进行教学非常热爱，思维活跃。
结合以上的学情分析，确定知识技能目标是：（1）理解等差数列前n项和的概念（2）掌握等差数列的前n项和公式的推导过程（3）会灵活运用等差数列的前n项和公式。过程与方法的目标是：（1）通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学思想且自然生成的过程（2）通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归的能力及掌握方程的思想和方法。并且从教学过程渗透本课的情感态度目标：结合具体情景，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
三、教学问题诊断
1、根据教学经验，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于在推导等差数列前n项和的过程中如何自然地生成倒序相加求和法，是本课教学环节中的一个重点内容。首先让学生回顾高斯求和法，学生容易进行类比，将首末两项进行配对相加，但是很快遇到问题，当项数为奇数的前n项和时配不成对，这里引导学生意识到奇数项与偶数项的问题影响了首尾配对法。为了改进首尾配对法的局限性，设计了两个探索与发现，分别对应项数为奇数和偶数时，根据动画引导学生发现颠倒顺序再相加变为上下配对，体现了倒序相加法自然的生成过程，避免了对项数是奇与偶的讨论，从而实现变不同“数”的求和为相同“数”的求和。
2、在对两个求和公式的认识中，学生不容易想到将两个公式与梯形面积公式建立联系，此时教师可做适当的动画来提示，学生便能迅速找到二者的关系。认识过程中再次强调倒序相加的思想方法且强化了对公式的记忆和理解。
3、本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，多次设计动画帮助学生观察和思考，形象直观且高效地提升了课堂的效益和效率，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
4、等差数列求和的两个公式中涉及的量比较多，有a1、n，sn，d，an五个量，通过公式应用及练习引导学生体会方程的思想方法，具体来说就是熟练掌握“知三求二”的问题和方法。
四、教法特点及预期效果分析
根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导， 学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。
根据学生具体情况，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。2、掌握求和公式的方法特点，并能从梯形面积的角度认识和牢记公式。3 、提高学生类比化归及方程的思想方法。由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标。
课件22张PPT。数列的前n项和的定义你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？世界七大奇迹之一——印度泰姬陵问题1： 传说泰姬陵 陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见示意图），奢靡之程度可见一斑。你知道这个图案一共花了多少颗圆宝石吗？
即: 1+2+3+······+100=？
（1+100）+（2+99）+ …+（50+51）
=101×50=5050?? 高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？特点：首尾配对（变不同数求和为相同数求和，变加法为乘法）
类型：偶数个数相加高斯的办法行吗？如何改进？S21=1 + 2 + 3 + … + 21 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)S21 =21 + 20 + 19 + … + 1
21个22探索与发现1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？倒序相加法S8=5+6+7+8+9+10+11+12S8=12+11+10+9+8+7+6+5问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求？ sn=1 + 2 + … + n-1 + n
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) sn=n + n-1 + … + 2 + 1n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？利用倒序相加法上式相加得：由等差数列性质可知：问题3: 对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？等差数列前n项和公式 一、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公式一中有an,公式二中有d 。 若a1，d, n, an中已知三个量就可以求出Sn 。
二、 a1，d, n, an，Sn五个量可“知三求二”。（公式一）（公式二）探索与发现3：
等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系呢？公式一:如何类比梯形面积公式来记忆？分割成一个平行四边形和一个三角形公式二:如何类比梯形面积公式来记忆？公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50 例1.2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.
据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?例题讲解 解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其中 a1=500, d=50 答: 从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。解答过程例题讲解 例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？例题讲解
用公式一做做方法2用公式二做做反馈达标 练习1. 在等差数列{an}中, a1=20, an=54, sn =999,求n。归纳总结 收获分享 1.倒序相加法求和的思想及应用2.等差数列前n项和公式的推导过程 4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想3.公式 5 . .…………………………课后作业一、书面作业：
1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。
2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成 等差数列,求这10个数的和。 二、课后思考：
等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?
