1.2.1 平面的基本性质（1）
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课件24张PPT。高中数学 必修21.2.1 平面的基本性质（1）复习回顾与情境创设：空间几何体 利用平面几何知识研究立体几何，是立体几何中最基本的数学方法和数学
思想现实生活中哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要哪些？
平面图形投影平静的水面光滑的桌面、地面辽阔的草原问题：平静的湖面，干净的地面,课桌面,黑板面等画面会给你留下怎样的印象呢？问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？以上问题给了我们“平面”的直观形象，平面是一个不加定义的概念，
具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.很大、很平.1．平面的认识．① 一个平面的面积可以等于100cm2吗？
②通常200页书会比20页书厚一些，那么200个平面
重合在一起时比20个平面重合在一起时厚吗？无限延展（无边界、无面积）没有厚薄之分本节课除了认识平面外，还要解决以下问题：(1)如何表示平面？(2) 空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？(3)如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？ 平面是一个只描述而不定义的最基本的概念,它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化的模型.
点评：几何里的平面的特征:1.无限延展2.不计大小3.不计厚薄2. 平面的画法:(1)通常用平行四边形表示,有时也可
根据需要用其它平面图形表示,如:矩
形;菱形;三角形;圆(椭圆)等等;铅直平面水平平面： (2) 通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横边画成邻边长的2倍。
（3）画直立平面时，要有一组对边为铅垂线。（4）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。3、平面的表示法平面ABCD或平面AC平面αα? 平面 ? ABC平面ABC练习：给出下列命题：①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50m，宽是20m；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确的命题有____________（填序号）.【解析】平面图形有大小，可以度量.如三角形、正方形、圆等
等；而立体几何中的平面是无限延展、无大小、无厚薄， 是不
可度量的；所以①④正确.【点拨】深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，正方体的三个
面所在平面A1C1，A1B，BC1分别记作?，?，?．
① A1??，B1_____ ?，C1 _____ ?，D1 _____ ?；
② A??，B _____ ?，A1 _____ ?，B1 _____ ?；
④ ?∩?＝A1B1， ?∩?＝_____，?∩?＝_____.BB1AA1DD1CC1?????? BB1B1C14．空间点、直线和平面的位置关系．(1)点与直线位置关系点A在直线l上A?l点A不在直线l上图形语言符号语言lAlAA?l(2)点与平面位置关系图形语言符号语言点A在平面?内点A不在平面?内A??A??AA??4．空间点、直线和平面的位置关系．4．空间点、直线和平面的位置关系．(3)直线与直线位置关系(平面内)图形语言符号语言l2A(4)直线与平面位置关系符号语言A直线AB在平面?内直线l与平面?交于P点AB∥?直线l1与直线l2相交直线l1与直线l2平行l1l1∩l2=Al2l1l1∥l2直线AB与平面?平行类似地，还有平面与平面的位置关系图形语言P??BA?BAB??l∩?＝P 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内． 5．平面的基本性质．P?Q如图，P??，Q??，则直线PQ与平面?的位置关系为PQ∩?＝PA?B公理1：用符号语言可表示为A??B???AB??公理1利用点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系? l??．或表示为A?lB?lA??B??或利用直线与平面的位置关系确定点与平面的位置关系练习：如图，点A在平面α内，点B也在平面α内，点C在直线AB上.（1）用符号语言表示上述位
置关系；
（2）判定点C与平面α的关系，
并说明理由.【解析】（1）A∈α，B∈α，C∈ＡＢ；（２）Ｃ∈α．
理由是：∵ A∈α，B∈α，∴ＡＢ?α．
∵ C∈ＡＢ，∴Ｃ∈α． 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过此公共点的一条直线 .
符号表示：P??，P?? ? ?∩?＝l，P?l .5．平面的基本性质．P??，P??，且?∩?＝l ? P?l．公理2常用于：①找两平面的交线；②判定点在线上：即常用于判定三点共线或三线共点．公理2：例1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面?与长方体表面的交线． P 因为点P既在平面?内又在平面AB1内，所以点P在平面?与平面AB1的交线上．同理点A1在平面?与平面AB1的交线上．因此，PA1就是平面?与平面AB1的交线 同理，连结PC1，A1C1，它们都是平面?与长方体表面交线的一部分．公理3可表述为：不在同一条直线上的三点，可以确定一个平面．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．有——存在性只有——惟一性例2：已知△ABC在平面?外，它的三边所在直线分别交?于P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线．?三点共线 ? 三点在同一直线上PRQ【解析】
∵AB∩α=P，
∴P∈AB，P∈α.
∵AB ?平面ABC，
∴P∈平面ABC.
由公里2可知，P在平面
ABC与平面α的交线上.
记平面ABC∩平面α=l，
则P∈l.
同理R∈l，Q∈l,
∴P 、Q 、R 三点共线.1．下列叙述中，正确的是_______．
①因为P??，Q??，所以PQ??；
②因为P??，Q??，所以?∩?＝PQ；
③因为AB??，C?AB，D?AB，所以CD??；
④因为AB??，AB??，所以?∩?＝AB. 2．用符号表示下列语句，并画出图形：
(1) 点A在平面?内，点B在平面?外；
(2)直线l 经过平面?外一点P和平面?内一点Q；
(3) 直线l在平面?内，直线m不在平面?内；
(4) 平面?和?相交于直线AB；
(5) 直线l是平面?和?的交线，直线m在平面?内，l 和m相交于点P．练习：3.如图，点P是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上一点(不同于端点A，B)，试画出由D1，C，P三点所确定的平面?与长方体表面的交线．PQR作业：课本24-25页练习4，5，6，7题．
思想现实生活中哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要哪些？
平面图形投影平静的水面光滑的桌面、地面辽阔的草原问题：平静的湖面，干净的地面,课桌面,黑板面等画面会给你留下怎样的印象呢？问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？以上问题给了我们“平面”的直观形象，平面是一个不加定义的概念，
具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.很大、很平.1．平面的认识．① 一个平面的面积可以等于100cm2吗？
②通常200页书会比20页书厚一些，那么200个平面
重合在一起时比20个平面重合在一起时厚吗？无限延展（无边界、无面积）没有厚薄之分本节课除了认识平面外，还要解决以下问题：(1)如何表示平面？(2) 空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？(3)如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？ 平面是一个只描述而不定义的最基本的概念,它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化的模型.
点评：几何里的平面的特征:1.无限延展2.不计大小3.不计厚薄2. 平面的画法:(1)通常用平行四边形表示,有时也可
根据需要用其它平面图形表示,如:矩
形;菱形;三角形;圆(椭圆)等等;铅直平面水平平面： (2) 通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横边画成邻边长的2倍。
（3）画直立平面时，要有一组对边为铅垂线。（4）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。3、平面的表示法平面ABCD或平面AC平面αα? 平面 ? ABC平面ABC练习：给出下列命题：①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50m，宽是20m；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确的命题有____________（填序号）.【解析】平面图形有大小，可以度量.如三角形、正方形、圆等
等；而立体几何中的平面是无限延展、无大小、无厚薄， 是不
可度量的；所以①④正确.【点拨】深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，正方体的三个
面所在平面A1C1，A1B，BC1分别记作?，?，?．
① A1??，B1_____ ?，C1 _____ ?，D1 _____ ?；
② A??，B _____ ?，A1 _____ ?，B1 _____ ?；
④ ?∩?＝A1B1， ?∩?＝_____，?∩?＝_____.BB1AA1DD1CC1?????? BB1B1C14．空间点、直线和平面的位置关系．(1)点与直线位置关系点A在直线l上A?l点A不在直线l上图形语言符号语言lAlAA?l(2)点与平面位置关系图形语言符号语言点A在平面?内点A不在平面?内A??A??AA??4．空间点、直线和平面的位置关系．4．空间点、直线和平面的位置关系．(3)直线与直线位置关系(平面内)图形语言符号语言l2A(4)直线与平面位置关系符号语言A直线AB在平面?内直线l与平面?交于P点AB∥?直线l1与直线l2相交直线l1与直线l2平行l1l1∩l2=Al2l1l1∥l2直线AB与平面?平行类似地，还有平面与平面的位置关系图形语言P??BA?BAB??l∩?＝P 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内． 5．平面的基本性质．P?Q如图，P??，Q??，则直线PQ与平面?的位置关系为PQ∩?＝PA?B公理1：用符号语言可表示为A??B???AB??公理1利用点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系? l??．或表示为A?lB?lA??B??或利用直线与平面的位置关系确定点与平面的位置关系练习：如图，点A在平面α内，点B也在平面α内，点C在直线AB上.（1）用符号语言表示上述位
置关系；
（2）判定点C与平面α的关系，
并说明理由.【解析】（1）A∈α，B∈α，C∈ＡＢ；（２）Ｃ∈α．
理由是：∵ A∈α，B∈α，∴ＡＢ?α．
∵ C∈ＡＢ，∴Ｃ∈α． 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过此公共点的一条直线 .
符号表示：P??，P?? ? ?∩?＝l，P?l .5．平面的基本性质．P??，P??，且?∩?＝l ? P?l．公理2常用于：①找两平面的交线；②判定点在线上：即常用于判定三点共线或三线共点．公理2：例1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面?与长方体表面的交线． P 因为点P既在平面?内又在平面AB1内，所以点P在平面?与平面AB1的交线上．同理点A1在平面?与平面AB1的交线上．因此，PA1就是平面?与平面AB1的交线 同理，连结PC1，A1C1，它们都是平面?与长方体表面交线的一部分．公理3可表述为：不在同一条直线上的三点，可以确定一个平面．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．有——存在性只有——惟一性例2：已知△ABC在平面?外，它的三边所在直线分别交?于P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线．?三点共线 ? 三点在同一直线上PRQ【解析】
∵AB∩α=P，
∴P∈AB，P∈α.
∵AB ?平面ABC，
∴P∈平面ABC.
由公里2可知，P在平面
ABC与平面α的交线上.
记平面ABC∩平面α=l，
则P∈l.
同理R∈l，Q∈l,
∴P 、Q 、R 三点共线.1．下列叙述中，正确的是_______．
①因为P??，Q??，所以PQ??；
②因为P??，Q??，所以?∩?＝PQ；
③因为AB??，C?AB，D?AB，所以CD??；
④因为AB??，AB??，所以?∩?＝AB. 2．用符号表示下列语句，并画出图形：
(1) 点A在平面?内，点B在平面?外；
(2)直线l 经过平面?外一点P和平面?内一点Q；
(3) 直线l在平面?内，直线m不在平面?内；
(4) 平面?和?相交于直线AB；
(5) 直线l是平面?和?的交线，直线m在平面?内，l 和m相交于点P．练习：3.如图，点P是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上一点(不同于端点A，B)，试画出由D1，C，P三点所确定的平面?与长方体表面的交线．PQR作业：课本24-25页练习4，5，6，7题．