1.1菱形的性质与判定 同步自主提升训练 2023—2024学年北师大版数学九年级上册（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步自主提升训练（附答案）
一、单选题
1．如图，中，点E、F在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有甲、乙、丙三种方案：
甲：只需要满足；
乙：只需要满足；
丙：只需要满足．
则正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．甲、丙 C．甲、乙 D．乙、丙
2．如图：在菱形中，，过点A作于点E，交于点F，点G为的中点．若，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
3．如图，中，，点分别是的中点， ， ，，四边形面积是（　　）
A．4 B． C． D．
4．如图，在菱形中，于点，菱形的面积为48，，则的长为（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
5．如图，是菱形边上的高，将绕着点顺时针旋转120°到的位置，若五边形面积为，则的长度为（ ）
A．5 B． C．10 D．
6．如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，菱形的边长为，，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在菱形中，点E，F分别是边的中点，若，则长为________．
9．已知，菱形中，，对角线、相交于点O，点E在菱形的边上，且与顶点不重合，若，则的度数为__________．
10．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，与交于点E，连接，若，直线恰好经过点A，则的长为 _____．
11．如图，在菱形中，，点E以的速度沿边由A向B匀速运动，同时点F以的速度沿边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当为等边三角形时，t的值为_____．
12．如图，菱形的对角线相交于点O，，点P为边上一点，的最小值是______．
13．平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别是、、、，且，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为___________．
14．如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点．若，，则的长是_______．
三、解答题
15．图、图分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是，线段的端点都在小正方形的顶点上，请在图、图中各画一个图形，分别满足下列要求：
(1)在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上，且其周长为．
(2)在图画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为．
16．如图，在平行四边形中，点分别在边上，，且平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
17．在如图的菱形中，点是边上一点，连接，点是上的两点，连接，，使得，．

(1)求证：；
(2)求证：．
18．如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
19．如图，在中，，平分交于点，于点，交于点，过点作交于，连接．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明；
(3)若，求线段的长度．
20．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点P、Q．

(1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______．
(2)【探究】如图2，小阳说“点P为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．
(3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长．
参考答案
1．解:在中，，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
甲∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴平行四边形是菱形，甲符合要求；
乙：平行四边形中存在，
根据乙而无法确定平行四边形是菱形，乙不符合要求；
丙∵平行四边形中，，
∴平行四边形是菱形，丙符合要求；
故选：B．
2．解：∵四边形为菱形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
3．解：连接交于点G，
∵分别是的中点
∴为的中位线
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
又∵为中线
∴是菱形 ，
∴
∴
故选B
4．解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
即，
解得，
∴，
故选：B．
5．解：连接，
由旋转可得，，
∴菱形的面积五边形面积，
∵菱形，是菱形边上的高，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
故选：B．
6．解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，到之间的距离等于到之间的距离（设距离为h），
∵四边形的面积，四边形的面积，，
∴四边形与四边形的面积相等，故②正确，③正确；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：A．
7．解：作点关于直线的对称点，连接，
∴，
∵点为边上的动点，即点也为边上的动点，
∴当点、、在一条直线上时，有最小值，
∵点、、均为动点，
∴由图象可知当为两平行线和间的垂线段时，即菱形的边上的高时，为最小值，
如图，过点作，垂足为，
∵在菱形中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：D．
8．解：∵点E，F分别是边的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
故答案为：4．
9．解：①当点E在上时，
，菱形邻角和为，
，
菱形对角线即角平分线，
，
，
，
菱形对角线互相垂直，
，
；
②当点E在上时，；
综上可得的度数为或．
故答案为：或．
10．解：根据作图可知直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∵菱形中，，
，，
在中，，
故答案为：．
11．解：连接．如图：
∵四边形是菱形，，
∴都是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
12．解：∵垂线段最短，
∴当时，的值最小，
∵菱形的对角线相交于点O，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
故答案为：．
13．解：∵、、、，且，
∴，，，，
当点D在点A上方时，如图，过A作轴于E，则，，
∵点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，
∴，
∴在中，，
∴点D坐标为；
当点D在点A下方时，如图，过A作轴于E，则，
∵点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，
∴，
∴在中，，
∴点D坐标为，
综上，满足条件的点D坐标为或．
故答案为：或．
14．解：菱形，
，，
，
，
，
，
将沿直线翻折，得到，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：．
15．（1）解：∵由网格图及勾股定理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，且周长为，
或
∴如图，平行四边形即为所求．
（2）解：由（1）知，
∵，
∴四边形是菱形，且面积为，

∴如图，菱形即为所求．
16．（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
在与中，
，
；
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，如图所示：
，
由（1）可知，四边形是菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
17．解:（1）∵四边形为菱形，
∴，，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∵，且，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，．
∵，
∴．
18．（1）证明：在中，点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，点是的中点，
即垂直平分，
，
平行四边形是菱形．
（2）如图，过点作于点，

由知四边形是菱形，又，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
19．（1）证明：平分，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，
，
由（1）知，
，
，
又，
，
，
由（1）知，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（3）解：中，，
，
由（2）知，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
．
20．（1）解：连接，

∵在菱形中，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：同意；理由如下：
连接，

同法（1）可得：，
∴；
（3）解：过点作于点，

同（1）可知：为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或；
由（2）知：，
∴，
∴或2．