1.2矩形的性质与判定 同步自主提升训练（含解析） 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步自主提升训练（附答案）
一、单选题
1．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．三角形
2．如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．如图，折叠矩形ABCD，使点D落在点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长（ ）
A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图，矩形的对角线的垂直平分线分别交、、于点、、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(4，0)，(0，2)，直线l：y＝kx+4与y轴交于点P，当直线l平分矩形OABC的面积时，k＝（ ）
A．﹣1 B．﹣3.5 C．﹣2.5 D．﹣1.5
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若，则AF的长为（ ）
A． B． C． D．3
7．如图，将一张矩形纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交对角线BD于点O，分别交BC，AD边于E，F两点，连接AE和CF．当时，在下列结论中：
①△AEF是等边三角形；
②四边形AECF是菱形；
③；
④；
⑤射线CF是的三等分线．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
8．如图，把一张矩形纸条沿折叠，若，则 的度数为 ___________．
9．如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．
10．如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接．若，则边的长为_____．
11．如图，矩形中，，对角线与交于点，，点为上一点，且，连接，则___________.
12．如图，矩形中，交于点O， 于E， ，于F， 则___________．
13．如图，已知点是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点的对应点为，点的对应点为，若点A在上，且，则___________．
14．如图，矩形中，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是___________．
三、解答题
15．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F．
(1)求证：；
(2)若，．求点F至的距离．
16．如图1，是斜边上的中线．
(1)求证：；
(2)如图2，，，点P是上一个点，过点P分别作和的垂线，垂足为E、F．当P在上移动时，求的值．
17．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是矩形，，，求的值；
(3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论．
18．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点分别为的中点．
(1)求证：；
(2)延长至，使，连接，延长，交于点．
①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由；
②若，，，求四边形的面积．
19．已知长方形中，，点M在边上，由C往D运动，速度为，运动时间为秒，将沿着翻折至，点D对应点为，所在直线与边交于点P．
(1)如图1，当时，求证： ；
(2)如图2，当为何值时，点恰好落在边上；
(3)如图3，当时，求的长．
20．在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；
(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
(3)如图，连接，，若，求的面积．
参考答案：
1．解：如图，∵、、、分别是、、、的中点，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，
又与不一定相等，
与不一定相等，
矩形不一定是正方形，
故选：B．
2．解：连接，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∵点是AC的中点， ∴，
∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BAA'=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AB=3， ∴AC=2AB=6，
∴．
即点B与点之间的距离为6．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD为矩形，且经过折叠，，，
∴，，
在中，
，
，
在中，设，则，
∴，
∴即，
解得：，
即，
故选：C．
4．解：连接，，
是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌；
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
，
设，
是的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．解：连接OB，
∵A、C的坐标分别为（4，0），（0，2），
∴B（4，2），
∴BO的中点坐标为（2，1），
∵直线l平分矩形OABC的面积，
∴直线l必经过BO的中点，
∴1＝2k+4，
解得：k＝﹣1.5，
故选D
6．解：∵四边形是矩形，
∴，
∵DF垂直平分OC
∴
∴
∴是等边三角形，
在中，由勾股定理可得，
∵
∴
∴
∵是等边三角形，，
∴
在中，，由勾股定理可得
∴
∴
∴
∴
故选B
7．解：∵将一张矩形纸片折叠
∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE，∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF=∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，AE=AF，
∴∠FAE=∠DFC，
∵∠BAE+∠EAF=90°，
∴∠BAE+2∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，∠EAF=60°
∴△AEF为等边三角形
故①正确；
∵AD∥BC，即AF∥EC，AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AF=AE，
∴四边形AECF为菱形，
故②正确；
连结AC，
∵四边形AECF为菱形，
∵AC为菱形对角线，
∴AC平分∠FAE，
∴∠EAO=∠FAO=
∴∠BAO=∠BAE+∠EAO=30°+30°=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB
∴△ABO为等边三角形，
AB=BO
故③正确；
∵BD=2AO=2AB，点E在BC上，
∴AE＞AB
∴2AE＞BD，即2EF＞BD，
故④不正确；
∵∠DFC=2∠BAE=60°，∠FDC=90°，
∴∠FCD=90°-∠DFC=30°，
∴∠DCF=，
故⑤正确；
故正确的个数有4个．
故选择C．
8．解：四边形纸片是矩形纸片，
∴．
∴，
四边形由四边形翻折而成，
，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
9．解：连接，
，
∵矩形，，
∴，，
∴，
∵将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，
∴，，
∴．
故答案为：．
10．解：∵点是边的中点，
∴
由翻折的性质可得：，
在矩形中
，，
∴
∵
∴三点共线，
∴
在和中
∴
∴
∴
在中
故答案为：
11．解：如图，过点作，
∵四边形是矩形，
∴，,
∴，
∵
∴是等边三角形，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵是的中点，是的中点，
∴
在中，．
故答案为：．
12．解：∵矩形中，交于点O，
∴，
∵ 于E，，
∴，
∵于F且 ，
∴是的中位线，
∵，
∴
∴ ，
故答案为 ．
13．解： 四边形为长方形，
根据翻折的性质可得：，，，
在中，由勾股定理可得，
，
在 中，设则 ，
由勾股定理可得：,
即
解得：，
即 ，
故答案为：5．
14．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在处，，
当点F与点E重合时，点P在处，，
∴且．
当点F在上除点C、E的位置处时，有．
由中位线定理可知：且．
∴点P的运动轨迹是线段，
∴当时，取得最小值．
∵矩形中，，为的中点，
∴、、为等腰直角三角形，．
∴，．
∴．
∴．
∴，即，
∴的最小值为的长．
在中，，
∴，
∴的最小值是．
故答案是：．
15．（1）证明：由折叠的性质知，，．
∵四边形是矩形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由（1）知，
∴，是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
过F作于H，
∴，
∴，
故点F至的距离为．
16．解:（1）如图，过点A作，交的延长线于点E，连接，
∴．
∵，，
∴≌，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）如图，连接，作，于点G，
在中，，，
根据勾股定理，得，
∴．
可知，
即，
∴，
则，
即，
解得．
17．（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四边形是矩形，
∵四边形是平行四边形．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
18．（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
点分别为的中点，
，
，
在和中，
；
（2）①当时，四边形是矩形，理由如下：
，
，
又是的中点，
，
，
同理：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
②过点C作于H，连接，
则，
，
，
设则，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点分别为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
19．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿着翻折至，
∴，
∴，
∴；
（2）∵将沿着翻折至，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵将沿着翻折至，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴．
20．（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠得：，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠知：，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
（3）如图，作于，交于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
．