专题强化 竖直上抛运动
[学习目标] 1.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动(重点)。2.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题(重难点)。3.知道竖直上抛运动的对称性。
一、竖直上抛运动的基本概念
(1)竖直上抛运动的速度和加速度方向有什么关系？在上升阶段和下降阶段加速度是否发生变化？
(2)研究竖直上抛运动的全过程，可以把它看成什么运动？试画出竖直上抛运动全过程的v－t图像。
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1．竖直上抛运动：将一个物体以某一初速度v0________________抛出，抛出的物体只在________作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动。
2．(1)上升阶段：初速度v0________________，加速度为g，方向________________，是__________直线运动。
(2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是________________运动。
例1 关于竖直上抛运动，下列说法不正确的是( )
A．竖直上抛运动的上升过程是匀减速直线运动
B．匀变速直线运动规律对竖直上抛运动的全过程都适用
C．以初速度的方向为正方向，竖直上抛运动的加速度a＝g
D．竖直上抛运动中，任何相等的时间内物体速度的变化量相等
二、竖直上抛运动的规律
一小球以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛出，忽略一切阻力。(g取10 m/s2)
(1)计算小球上升的时间和最大高度；
(2)计算小球落回原处的时间和速度大小。
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1．竖直上抛运动的规律
通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝________
(1)速度公式：v＝________________。
(2)位移公式：h＝________________。
(3)速度与位移的关系式：v2－v02＝______。
(4)上升的最大高度：H＝____________。
(5)上升到最高点(即v＝0时)所需的时间：t＝____________。
2．竖直上抛运动的对称性
(1)时间对称
物体从某点上升到__________和从______回到该点的时间相等，即t上＝t下。
(2)速率对称
物体上升和下降通过同一位置时速度的大小________、方向________。
(3)位移对称
物体上升和下降通过同一位置时物体发生的位移________。
例2 (2022·重庆市高一期末)如图所示，某人将一小球从高台边缘沿竖直方向向上抛出，其初速度大小v0＝10 m/s，不计空气阻力，取抛出点为原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2，则2 s内小球运动的( )
A．位移为10 m B．路程为10 m
C．速度改变量为0 D．平均速度为5 m/s
例3 在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，设塔足够高，则：(g取10 m/s2)
(1)物体抛出的初速度大小为多少？
(2)物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为多少？
(3)若塔高H＝60 m，求物体从抛出到落到地面的时间和落地速度大小。
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1．当物体处于抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解。
2．只给出位移大小时，可能处于抛出点上方，也可能处于抛出点下方，造成多解。
例4 气球下挂一重物，以v0＝10 m/s的速度匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地前瞬间的速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)
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竖直上抛运动的处理方法
分段分析法 上升阶段是初速度为v0、加速度a＝－g的匀减速直线运动；下降阶段是自由落体运动
全过程分析法 全过程看作初速度为v0、加速度a＝－g的匀变速直线运动 (1)v>0时，上升阶段；v<0，下降阶段 (2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方
专题强化 竖直上抛运动
[学习目标] 1.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动(重点)。2.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题(重难点)。3.知道竖直上抛运动的对称性。
一、竖直上抛运动的基本概念
(1)竖直上抛运动的速度和加速度方向有什么关系？在上升阶段和下降阶段加速度是否发生变化？
(2)研究竖直上抛运动的全过程，可以把它看成什么运动？试画出竖直上抛运动全过程的v-t图像。
答案 (1)上升阶段速度与加速度的方向相反，下降阶段速度与加速度的方向相同；在整个过程中加速度不变。
(2)全过程可以看成初速度为v0(竖直向上)、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动。整个过程v-t图像斜率不变，即加速度不变，v-t图像如图所示。
1．竖直上抛运动：将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动。
2．(1)上升阶段：初速度v0竖直向上，加速度为g，方向竖直向下，是匀减速直线运动。
(2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是自由落体运动。
例1 关于竖直上抛运动，下列说法不正确的是( )
A．竖直上抛运动的上升过程是匀减速直线运动
B．匀变速直线运动规律对竖直上抛运动的全过程都适用
C．以初速度的方向为正方向，竖直上抛运动的加速度a＝g
D．竖直上抛运动中，任何相等的时间内物体速度的变化量相等
答案 C
二、竖直上抛运动的规律
一小球以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛出，忽略一切阻力。(g取10 m/s2)
(1)计算小球上升的时间和最大高度；
(2)计算小球落回原处的时间和速度大小。
答案 (1)t0＝＝1 s
v02＝2gh，h＝5 m。
(2)t′＝2t0＝2 s
v＝gt0＝10 m/s。
1．竖直上抛运动的规律
通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g
(1)速度公式：v＝v0－gt。
(2)位移公式：h＝v0t－gt2。
(3)速度与位移的关系式：v2－v02＝－2gh。
(4)上升的最大高度：H＝。
(5)上升到最高点(即v＝0时)所需的时间：t＝。
2．竖直上抛运动的对称性
(1)时间对称
物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t上＝t下。
(2)速率对称
物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反。
(3)位移对称
物体上升和下降通过同一位置时物体发生的位移相同。
例2 (2022·重庆市高一期末)如图所示，某人将一小球从高台边缘沿竖直方向向上抛出，其初速度大小v0＝10 m/s，不计空气阻力，取抛出点为原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2，则2 s内小球运动的( )
A．位移为10 m
B．路程为10 m
C．速度改变量为0
D．平均速度为5 m/s
答案 B
解析 取竖直向上为正方向，竖直上抛运动可看作一种做加速度为－g的匀减速直线运动，小球上升的最大高度为H＝＝5 m，上升到最高点所用时间为t0＝＝1 s，由对称性，知2 s内小球的位移为x＝0,2 s内小球运动的路程为s＝2H＝2×5 m＝10 m；2 s内小球的速度变化量为Δv＝at＝－gt＝－20 m/s；平均速度为＝＝0，故选B。
例3 在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，设塔足够高，则：(g取10 m/s2)
(1)物体抛出的初速度大小为多少？
(2)物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为多少？
(3)若塔高H＝60 m，求物体从抛出到落到地面的时间和落地速度大小。
答案 (1)20 m/s (2)10 m 30 m 50 m
(3)6 s 40 m/s
解析 (1)设初速度为v0，取竖直向上为正方向，有－2gh＝0－v02，故v0＝20 m/s。
(2)位移大小为10 m，有三种可能：向上运动时x＝10 m，返回时在出发点上方10 m，返回时在出发点下方10 m，对应的路程分别为s1＝10 m，s2＝(20＋10) m＝30 m，s3＝(40＋10) m＝50 m
(3)落到地面时的位移x′＝－60 m，设从抛出到落到地面用时为t，有x′＝v0t－gt2，
解得t＝6 s(t＝－2 s舍去)
落地速度v＝v0－gt＝(20－10×6) m/s＝－40 m/s，则落地速度大小为40 m/s。
1．当物体处于抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解。
2．只给出位移大小时，可能处于抛出点上方，也可能处于抛出点下方，造成多解。
例4 气球下挂一重物，以v0＝10 m/s的速度匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地前瞬间的速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)
答案 7 s 60 m/s
解析 方法一 分段法
绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下落。
重物上升阶段，时间t1＝＝1 s，
由v02＝2gh1知，h1＝＝5 m
重物下落阶段，下落距离H＝h1＋175 m＝180 m
设下落时间为t2，则H＝gt22，故t2＝＝6 s
重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，落地前瞬间的速度大小v＝gt2＝60 m/s。
方法二 全程法
取初速度方向为正方向
重物全程位移h＝v0t－gt2＝－175 m
解得t＝7 s(t＝－5 s舍去)
由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，负号表示速度方向竖直向下，则落地前瞬间的速度大小为60 m/s。
竖直上抛运动的处理方法
分段分析法 上升阶段是初速度为v0、加速度a＝－g的匀减速直线运动；下降阶段是自由落体运动
全过程分析法 全过程看作初速度为v0、加速度a＝－g的匀变速直线运动 (1)v>0时，上升阶段；v<0，下降阶段 (2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方4 自由落体运动
[学习目标] 1.知道物体做自由落体运动的条件，了解自由落体加速度的大小和方向(重点)。2.能够通过实验判断自由落体的运动性质，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动(重点)。3.能够运用自由落体运动的规律和特点解决有关问题(重难点)。
一、自由落体运动
物体从空中自由释放，探究影响物体下落快慢的因素。
学生实验1：让硬币和纸片从同一高度同时下落，看到什么现象？
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学生实验2：将同样大小的两张纸其中一张揉成团，让纸团和纸片从相同高度同时下落，看到什么现象？
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实验结论：物体下落的快慢与它的轻重______，影响物体下落快慢的因素是______________。
1．定义：物体只在________作用下从________开始下落的运动，叫作自由落体运动。
2．特点：(1)只受________作用；(2)初速度为________。
3．说明：空气阻力可以________时，物体下落的运动也可以近似看成自由落体运动。
(1)从静止下落的物体都可以看成自由落体运动。( )
(2)物体只在重力作用下的运动是自由落体运动。( )
(3)苹果从树上落下来，苹果的运动可以看成自由落体运动。( )
(4)雪花从空中下落，雪花的运动可以看成自由落体运动。( )
(5)从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动。( )
二、实验：研究自由落体运动的规律
1．实验装置
铁架台、打点计时器、纸带、电源、重物、夹子、刻度尺。
2．实验原理
纸带在重物的作用下自由下落，根据打出的纸带上的点迹，分析重物的运动规律。
3．操作要点
先接通________，再释放________，打完点后立刻关闭电源。
4．数据分析
(1)测量点迹清晰的连续点之间的位移，并记录在表格中；
(2)根据表格中数据计算连续相等时间间隔的位移差，得出连续相等时间间隔的位移差是一个常数，从而得出自由落体运动是__________直线运动；
(3)计算出自由落体运动的加速度约为________ m/s2。
例1 (2022·成都市第八中学校高一期中)用如图甲所示的装置研究自由落体运动规律。已知打点计时器的工作频率为50 Hz。
(1)部分实验步骤如下：
A．测量完毕，关闭电源，取出纸带
B．把打点计时器固定在夹板上，让纸带穿过限位孔
C．启动电源，待打点计时器工作稳定后放开重物
D．使重物停靠在打点计时器附近，重物与纸带相连
上述实验步骤的正确顺序是________。
(2)如图乙所示为实验中打出的一条纸带，标出A、B、C、D、E五个计数点，相邻两个计数点之间还有4个点未画出，则计数点D对应的瞬时速度大小为vD＝________ m/s(计算结果保留三位有效数字)。
(3)根据实验记录的数据计算重物的加速度大小g＝________ m/s2(计算结果保留三位有效数字)。
三、自由落体加速度
1．自由落体加速度：同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度或重力加速度，通常用g表示。
2．大小：在地球表面不同的地方，g的大小一般是________(选填“不同”或“相同”)的，g值随纬度的增大而逐渐______；g值随着高度的增加而逐渐减小。一般取值：g＝________ m/s2或g＝________ m/s2。
3．方向：________________。
(1)自由落体的加速度与纬度和高度有关。( )
(2)自由落体加速度的方向竖直向下。( )
(3)两极处的重力加速度小于赤道处的重力加速度。( )
(4)同一地点，质量大的物体重力加速度大。( )
四、自由落体运动规律的应用
因为自由落体运动是匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的一切公式、推论，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动。仅需要将v0＝0、a＝g代入相关式子、x习惯性地写成h即可，请在表格中填写自由落体运动的规律。
规律名称 匀变速直线运动的规律 自由落体运动的规律
速度公式 v＝v0＋at ________
位移公式 x＝v0t＋at2 ____________
速度与位移的关系式 v2－v02＝2ax ____________
平均速度求位移公式 x＝t __________
例2 从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球落到地面所用的时间及落地时的速度大小；
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(2)小球自开始下落计时，在第1 s内的位移大小、最后1 s内的位移大小。
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例3 (2022·无锡市高二学业考试)高空作业的电工在某次操作过程中，不慎将一螺母脱落，经3 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则( )
A．脱落处离地高45 m
B．第2 s内下落的位移大小为20 m
C．下落2 s内的平均速度大小为20 m/s
D．落地速度大小为15 m/s
例4 同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，重力加速度为g，则乙同学的反应时间为______。(用x、g表示)
基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________ cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是________(选填“相等”或“不相等”)的。
4 自由落体运动
[学习目标] 1.知道物体做自由落体运动的条件，了解自由落体加速度的大小和方向(重点)。2.能够通过实验判断自由落体的运动性质，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动(重点)。3.能够运用自由落体运动的规律和特点解决有关问题(重难点)。
一、自由落体运动
物体从空中自由释放，探究影响物体下落快慢的因素。
学生实验1：让硬币和纸片从同一高度同时下落，看到什么现象？
答案 重的硬币下落得快。
学生实验2：将同样大小的两张纸其中一张揉成团，让纸团和纸片从相同高度同时下落，看到什么现象？
答案 纸团下落得快。
实验结论：物体下落的快慢与它的轻重无关，影响物体下落快慢的因素是空气阻力。
1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动。
2．特点：(1)只受重力作用；(2)初速度为0。
3．说明：空气阻力可以忽略时，物体下落的运动也可以近似看成自由落体运动。
(1)从静止下落的物体都可以看成自由落体运动。( × )
(2)物体只在重力作用下的运动是自由落体运动。( × )
(3)苹果从树上落下来，苹果的运动可以看成自由落体运动。( √ )
(4)雪花从空中下落，雪花的运动可以看成自由落体运动。( × )
(5)从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动。( × )
二、实验：研究自由落体运动的规律
1．实验装置
铁架台、打点计时器、纸带、电源、重物、夹子、刻度尺。
2．实验原理
纸带在重物的作用下自由下落，根据打出的纸带上的点迹，分析重物的运动规律。
3．操作要点
先接通电源，再释放纸带，打完点后立刻关闭电源。
4．数据分析
(1)测量点迹清晰的连续点之间的位移，并记录在表格中；
(2)根据表格中数据计算连续相等时间间隔的位移差，得出连续相等时间间隔的位移差是一个常数，从而得出自由落体运动是匀加速直线运动；
(3)计算出自由落体运动的加速度约为9.8 m/s2。
例1 (2022·成都市第八中学校高一期中)用如图甲所示的装置研究自由落体运动规律。已知打点计时器的工作频率为50 Hz。
(1)部分实验步骤如下：
A．测量完毕，关闭电源，取出纸带
B．把打点计时器固定在夹板上，让纸带穿过限位孔
C．启动电源，待打点计时器工作稳定后放开重物
D．使重物停靠在打点计时器附近，重物与纸带相连
上述实验步骤的正确顺序是________。
(2)如图乙所示为实验中打出的一条纸带，标出A、B、C、D、E五个计数点，相邻两个计数点之间还有4个点未画出，则计数点D对应的瞬时速度大小为vD＝________ m/s(计算结果保留三位有效数字)。
(3)根据实验记录的数据计算重物的加速度大小g＝________ m/s2(计算结果保留三位有效数字)。
答案 (1)BDCA (2)3.19 (3)9.8
解析 (1)先安装实验器材，后穿纸带，再连接重物，启动电源后释放纸带，打点完毕后关闭电源，取出纸带，并选择纸带进行数据处理，整理好实验器材。所以上述实验步骤的正确顺序是BDCA。
(2)打点计时器的工作频率为50 Hz，每隔0.02 s打一次点，每相邻两计数点之间还有4个计时点未画出，故T＝0.1 s，在匀变速直线运动中，平均速度大小等于中间时刻的瞬时速度大小，有
vD＝≈3.19 m/s
(3)根据逐差法，可求出加速度为
g＝＝9.8 m/s2。
三、自由落体加速度
1．自由落体加速度：同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度或重力加速度，通常用g表示。
2．大小：在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同(选填“不同”或“相同”)的，g值随纬度的增大而逐渐增大；g值随着高度的增加而逐渐减小。一般取值：g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2。
3．方向：竖直向下。
(1)自由落体的加速度与纬度和高度有关。( √ )
(2)自由落体加速度的方向竖直向下。( √ )
(3)两极处的重力加速度小于赤道处的重力加速度。( × )
(4)同一地点，质量大的物体重力加速度大。( × )
四、自由落体运动规律的应用
因为自由落体运动是匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的一切公式、推论，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动。仅需要将v0＝0、a＝g代入相关式子、x习惯性地写成h即可，请在表格中填写自由落体运动的规律。
规律名称 匀变速直线运动的规律 自由落体运动的规律
速度公式 v＝v0＋at v＝gt
位移公式 x＝v0t＋at2 h＝gt2
速度与位移的关系式 v2－v02＝2ax v2＝2gh
平均速度求位移公式 x＝t h＝t
例2 从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球落到地面所用的时间及落地时的速度大小；
(2)小球自开始下落计时，在第1 s内的位移大小、最后1 s内的位移大小。
答案 (1)10 s 100 m/s (2)5 m 95 m
解析 (1)由h＝gt2
得t＝＝10 s
由速度与时间的关系式得v＝gt＝100 m/s
(2)第1 s内的位移
h1＝gt12＝×10×1 m＝5 m
最后1 s内的位移
h2＝500 m－g×(9 s)2
＝500 m－5×81 m
＝95 m。
例3 (2022·无锡市高二学业考试)高空作业的电工在某次操作过程中，不慎将一螺母脱落，经3 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则( )
A．脱落处离地高45 m
B．第2 s内下落的位移大小为20 m
C．下落2 s内的平均速度大小为20 m/s
D．落地速度大小为15 m/s
答案 A
解析 螺母做自由落体运动有h＝gt2＝45 m，A正确；第2 s内下落的位移h1＝g×t22－g×t12＝15 m，B错误；下落2 s内的平均速度大小为＝＝ m/s＝10 m/s，C错误；落地时速度大小为v＝gt＝30 m/s，D错误。
例4 同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，重力加速度为g，则乙同学的反应时间为______。(用x、g表示)
基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________ cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是________(选填“相等”或“不相等”)的。
答案 80 不相等
解析 直尺下降时间即为乙同学的反应时间，直尺做自由落体运动，故有x＝gt2，解得t＝。0.4 s内直尺下落的高度为h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m＝80 cm，故直尺长度至少为80 cm，在相等时间间隔通过的位移是不断增加的，所以每个时间间隔在直尺上对应的长度是不相等的。专题强化 匀变速直线运动的位移差公式 逐差法求加速度
[学习目标] 1.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。2.理解逐差法的意义并会用逐差法求加速度(重难点)。3.能够理解偶然误差及系统误差的产生原因，并会按要求保留有效数字(重点)。
一、位移差公式
1.如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2－x1＝aT2。
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2．对于加速度大小恒定的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4－x1＝____________。
位移差公式：Δx＝aT2
1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差______，即____________。
2．推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝____________，其中m>n。
例1 (2022·马鞍山二中高一期中)一个物体做匀加速直线运动。它在第1 s内的位移为2.4 m，它在第3 s内的位移为3.6 m。求：
(1)该物体运动的加速度是多大？
(2)该物体在第5 s内的位移是多大？
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例2 从斜面上某一位置每隔0.1 s静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍摄时小球在B点时的速度的大小；
(3)拍摄时C、D间的距离xCD；
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
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二、逐差法求加速度
一物体做匀加速直线运动，已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时，选取纸带上任意两段位移，利用公式x2－x1＝aT2计算物体的加速度，你认为这种方法有何不妥？
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1．纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得，
a1＝，a2＝，a3＝，
a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝＝。
1.如图所示，类比写出已知连续4个相同时间T内的位移，利用逐差法求加速度公式？
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2．若n为大于4的奇数段，应怎么处理？
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例3 (2022·清华附中高一期中)某实验小组利用打点计时器测量小车做匀变速直线运动的速度，打点计时器应接________电源(填“直流”或“交流”)。该实验小组选取了一条点迹清晰的纸带，如图所示。图中O、A、B、C、D是按打点先后顺序依次选取的计数点，相邻计数点间的时间间隔T＝0.10 s，由图中的数据可知，打点计时器打下B点时小车运动的速度vB＝________ m/s，小车运动的加速度a＝________ m/s2(均保留两位有效数字)。
例4 在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带如图所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，每相邻两个计数点之间还有4个点(图中没有画出)，打点计时器接周期为T＝0.02 s的交变电源，经过测量得：d1＝3.62 cm，d2＝8.00 cm，d3＝13.20 cm，d4＝19.19 cm，d5＝25.99 cm，d6＝33.61 cm。(结果均保留两位有效数字)
(1)物体在打B点时的瞬时速度大小vB＝________m/s；
(2)物体的加速度大小a＝________m/s2；
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz(已知T＝)，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
专题强化 匀变速直线运动的位移差公式 逐差法求加速度
[学习目标] 1.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。2.理解逐差法的意义并会用逐差法求加速度(重难点)。3.能够理解偶然误差及系统误差的产生原因，并会按要求保留有效数字(重点)。
一、位移差公式
1.如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2－x1＝aT2。
答案 v1＝v0＋aT
x1＝v0T＋aT2
x2＝v1T＋aT2
x2与x1的位移差：
Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2
2．对于加速度大小恒定的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4－x1＝________。
答案 方法一 如图所示
设初速度为v0，第四段位移的初速度为v3，则
v3＝v0＋3aT
x1＝v0T＋aT2
x4＝v3T＋aT2
x4－x1＝(v3－v0)T＝3aT2。
方法二 由x2－x1＝aT2
x3－x2＝aT2
x4－x3＝aT2
得x4－x1＝3aT2。
位移差公式：Δx＝aT2
1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2。
2．推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。
例1 (2022·马鞍山二中高一期中)一个物体做匀加速直线运动。它在第1 s内的位移为2.4 m，它在第3 s内的位移为3.6 m。求：
(1)该物体运动的加速度是多大？
(2)该物体在第5 s内的位移是多大？
答案 (1)0.6 m/s2 (2)4.8 m
解析 (1)根据位移差公式有
Δx＝x3－x1＝2aT2
解得a＝0.6 m/s2
(2)x3－x1＝2aT2
x3－x1＝1.2 m
x5－x3＝2aT2
故x5＝x3＋2aT2＝3.6 m＋1.2 m＝4.8 m。
例2 从斜面上某一位置每隔0.1 s静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍摄时小球在B点时的速度的大小；
(3)拍摄时C、D间的距离xCD；
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个
解析 (1)由Δx＝aT2可知，小球加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
vB＝＝ m/s＝1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，
所以xCD－xBC＝xBC－xAB，得xCD＝0.25 m。
(4)设A点处小球的速度为vA，
由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s，
所以A点处小球的运动时间为tA＝＝0.25 s，
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
二、逐差法求加速度
一物体做匀加速直线运动，已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时，选取纸带上任意两段位移，利用公式x2－x1＝aT2计算物体的加速度，你认为这种方法有何不妥？
答案 偶然误差较大，没有充分利用实验数据。
1．纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得，
a1＝，a2＝，a3＝，
a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝＝。
1．如图所示，类比写出已知连续4个相同时间T内的位移，利用逐差法求加速度公式？
答案 a＝。
2．若n为大于4的奇数段，应怎么处理？
答案 舍去位移最小的一段或中间一段
假设n＝5，若相邻各段间的位移逐渐增大，第一段读数的误差相对较大，可以舍去第一段，则
a＝，
同理，若相邻各段间的位移逐渐减小，可以舍去最后一段或舍去中间一段，则
a＝＝。
例3 (2022·清华附中高一期中)某实验小组利用打点计时器测量小车做匀变速直线运动的速度，打点计时器应接________电源(填“直流”或“交流”)。该实验小组选取了一条点迹清晰的纸带，如图所示。图中O、A、B、C、D是按打点先后顺序依次选取的计数点，相邻计数点间的时间间隔T＝0.10 s，由图中的数据可知，打点计时器打下B点时小车运动的速度vB＝________ m/s，小车运动的加速度a＝________ m/s2(均保留两位有效数字)。
答案 交流 0.72 2.4
解析 打点计时器应接交变电源，打点计时器打下B点时小车运动的速度vB＝＝×10－2 m/s＝0.72 m/s，由公式Δx＝aT2得a＝＝×10－2 m/s2≈2.4 m/s2。
例4 在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带如图所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，每相邻两个计数点之间还有4个点(图中没有画出)，打点计时器接周期为T＝0.02 s的交变电源，经过测量得：d1＝3.62 cm，d2＝8.00 cm，d3＝13.20 cm，d4＝19.19 cm，d5＝25.99 cm，d6＝33.61 cm。(结果均保留两位有效数字)
(1)物体在打B点时的瞬时速度大小vB＝________m/s；
(2)物体的加速度大小a＝________m/s2；
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz(已知T＝)，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
答案 (1)0.40 (2)0.80 (3)偏小
解析 (1)每相邻两个计数点之间还有4个点，打点计时器接周期为T＝0.02 s的交变电源，则计数点间的时间间隔为
T′＝5T＝0.10 s，打点计时器打B点时，物体的速度
vB＝＝ m/s＝0.40 m/s
(2)物体的加速度为
a＝＝
＝ m/s2≈0.80 m/s2
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么实际打点周期小于测量的打点周期；据Δx＝aT2得，真实的加速度大于测量的加速度，即加速度的测量值与实际值相比偏小。专题强化 追及相遇问题
[学习目标] 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用(重点)。2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移变化，会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。
两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题。
一、初速度小者追初速度大者——最大距离问题
例1 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0＝13 m远处以v0＝8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0＝2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，求：
(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t；
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。
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针对训练 (2023·北京石景山高一统考期末)在平直的公路上有甲、乙两辆汽车从同一地点，沿同一方向做匀变速直线运动，它们的速度—时间图像如图所示。在0～6 s时间内，根据图像可以判断出( )
A．甲运动的加速度大小大于乙运动的加速度大小
B．在t＝4 s时，甲、乙运动的加速度大小相等
C．甲、乙在t＝4 s时相遇
D．在t＝4 s时，甲、乙相距最远，且最远距离为24 m
1．讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。
2．解题技巧
(1)一个条件：即速度相等，它往往是两物体能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v－t图像法。
3．初速度小者追初速度大者常见情形分析
实物图
情景图 匀加速追匀速 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 注意：匀速(或匀加速)追匀减速问题中需要对匀减速运动的物体是否已经停止进行讨论
t＝t0以前(v2＜v1) 两物体距离增大
t＝t0时(v1＝v2) 相距最远
t＝t0以后(v2＞v1) 两物体距离减小
追及情况 只能追上一次
二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距离问题
例2 一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车，判断乘客能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？
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初速度大者追初速度小者的常见情形分析
实物图
情景图 匀减速追匀速 匀速追匀加速 匀减速追匀加速
t0时刻以前(v2＞v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时)
t0时刻 (v2＝v1) Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次
若Δx＜x0，追不上，有最小距离
若Δx＞x0，相遇两次
例3 (2022·西安市高一期末)在一条平直公路上，某时刻有两辆车相距L＝10 m同向行驶，甲车在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小为5 m/s2紧急刹车，可视为匀减速直线运动，乙车在后，正以v2＝10 m/s做匀速直线运动。求：
(1)甲车经多长时间停下；
(2)甲、乙两车相遇前最大距离；
(3)甲、乙两车经多长时间相遇。
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如遇刹车问题，要判定是运动停止前相遇，还是运动停止后相遇。
三、有条件限制的追及问题
例4 一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。
(1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？
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(2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字)
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如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。
专题强化 追及相遇问题
[学习目标] 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用(重点)。2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移变化，会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。
两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题。
一、初速度小者追初速度大者——最大距离问题
例1 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0＝13 m远处以v0＝8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0＝2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，求：
(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t；
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。
答案 (1)11 s (2)49 m
解析 (1)警车开始运动时，货车在它前面
Δx＝x0＋v0t0＝13 m＋8×2.5 m＝33 m
警车运动位移：x1＝at2
货车运动位移：x2＝v0t
警车要追上货车需满足：x1＝x2＋Δx
联立并代入数据解得：t＝11 s(t＝－3 s舍去)
(2)警车与货车速度相同时，相距最远，
对警车有：v0＝at′，x1′＝at′2
对货车有：x2′＝v0t′
最大距离：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49 m。
针对训练 (2023·北京石景山高一统考期末)在平直的公路上有甲、乙两辆汽车从同一地点，沿同一方向做匀变速直线运动，它们的速度—时间图像如图所示。在0～6 s时间内，根据图像可以判断出( )
A．甲运动的加速度大小大于乙运动的加速度大小
B．在t＝4 s时，甲、乙运动的加速度大小相等
C．甲、乙在t＝4 s时相遇
D．在t＝4 s时，甲、乙相距最远，且最远距离为24 m
答案 D
解析 v-t图像斜率的绝对值表示加速度的大小，由题图可知0～6 s时间内，甲运动的加速度大小小于乙运动的加速度大小，故A、B错误；v-t图像与t轴围成的面积表示位移的大小，由题图可知在t＝4 s时乙在甲的前方，故C错误；在t＝4 s前，乙的速度大于甲的速度，t＝4 s后，乙的速度小于甲的速度，所以在t＝4 s时，甲、乙相距最远，且最远距离为Δx＝×12×4 m＝24 m，故D正确。
1．讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。
2．解题技巧
(1)一个条件：即速度相等，它往往是两物体能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v-t图像法。
3．初速度小者追初速度大者常见情形分析
实物图
情景图 匀加速追匀速 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 注意：匀速(或匀加速)追匀减速问题中需要对匀减速运动的物体是否已经停止进行讨论
t＝t0以前(v2＜v1) 两物体距离增大
t＝t0时(v1＝v2) 相距最远
t＝t0以后(v2＞v1) 两物体距离减小
追及情况 只能追上一次
二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距离问题
例2 一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车，判断乘客能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？
答案 见解析
解析 由临界条件知当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上，即at＝v人
解得t＝6 s
x车＝at2＝×1×62 m＝18 m
x人＝v人t＝6×6 m＝36 m
如图所示
x人＜x车＋20 m
故追不上
最小距离Δx＝(18＋20－36) m＝2 m。
初速度大者追初速度小者的常见情形分析
实物图
情景图 匀减速追匀速 匀速追匀加速 匀减速追匀加速
t0时刻以前(v2＞v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时)
t0时刻 (v2＝v1) Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次
若Δx＜x0，追不上，有最小距离
若Δx＞x0，相遇两次
例3 (2022·西安市高一期末)在一条平直公路上，某时刻有两辆车相距L＝10 m同向行驶，甲车在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小为5 m/s2紧急刹车，可视为匀减速直线运动，乙车在后，正以v2＝10 m/s做匀速直线运动。求：
(1)甲车经多长时间停下；
(2)甲、乙两车相遇前最大距离；
(3)甲、乙两车经多长时间相遇。
答案 (1)4 s (2)20 m (3)5 s
解析 (1)以初速度方向为正方向，甲车从开始刹车到停下所经历的时间：t1＝＝4 s。
(2)当两车的速度相同时两车间的距离最大，经历的时间：t2＝＝2 s
甲车的位移：x1＝t2＝30 m
乙车的位移：x2＝v2t2＝10×2 m＝20 m
两车的最大距离：xm＝L＋x1－x2＝20 m
(3)2 s末两车之间的距离是20 m，再经过2 s甲车停止，所以可知甲车停止时，乙车还未追上甲车，则有：v2t3＝L＋
代入数据解得：t3＝5 s。
如遇刹车问题，要判定是运动停止前相遇，还是运动停止后相遇。
三、有条件限制的追及问题
例4 一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。
(1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？
(2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字)
答案 见解析
解析 (1)t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。
由v汽t0＋1 000 m＝t0
代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做加速运动，速度达到最大值后做匀速运动。
(2)设摩托车加速时间为t1，加速度为a,3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小，
则有at1＝v1＝30 m/s
at12＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m
代入数据得a≈0.56 m/s2。
如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学习目标] 1.掌握匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会用公式x＝v0t＋at2解决匀变速直线运动的问题(重点)。2.掌握匀变速直线运动的速度与位移的关系式并会应用公式v2－v02＝2ax解决匀变速直线运动的问题(难点)。
一、匀变速直线运动的位移
1．物体做匀速直线运动，其v－t图像与t轴围成的矩形面积有什么意义？
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2．如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v－t图像。
(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中画出这5小段的位移之和。
(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？
(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？
(4)梯形面积为多少？试结合v＝v0＋at推导出位移x与时间t的关系。
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1．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝________________
当v0＝0时，x＝____________(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x∝t2。
2．适用范围：仅适用于____________直线运动。
3．公式的矢量性：公式中x、v0、a都是______，应用时必须选取正方向。一般选________的方向为正方向。当物体做匀加速直线运动时，a取________值。当物体做匀减速直线运动时，a取________值，计算结果中，位移x的正、负表示其________。
4．各物理量的单位都要使用国际单位制单位。
说明：(1)推导匀变速直线运动的位移大小等于图像下方的面积时用到了微元法。
(2)任意形状的v－t图像与时间轴所围成的面积都等于物体的位移大小。
例1 以36 km/h的速度行驶的列车开始下坡，在下坡路上的加速度等于0.2 m/s2，经过30 s到达坡底，求坡路的长度和列车到达坡底时的速度大小。
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例2 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小。
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应用位移与时间的关系式解题的步骤：
(1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。
二、速度与位移的关系
试由x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，消去时间t，推导速度与位移的关系式。
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1．匀变速直线运动速度与位移的关系式：________________＝2ax。
2．适用范围：仅适用于________________运动。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向。
(1)若是加速运动，a取________值，若是减速运动，a取________值。
(2)若计算结果x＞0，表明位移的方向与初速度方向________，x＜0表明位移的方向与初速度方向________。
(3)若计算结果v＞0，表明速度的方向与初速度方向________，v＜0表明速度的方向与初速度方向________。
例3 某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞，设航空母舰始终处于静止状态。问：
(1)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，该舰身至少为多长？
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(2)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
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如果在所研究的问题中，已知量和未知量都不涉及时间t，利用公式v2－v02＝2ax解题，往往会更方便。
三、刹车中的位移问题
一汽车在水平路面上匀速行驶，速度v0＝10 m/s，突然前方出现紧急情况，司机以5 m/s2的加速度刹车，求汽车开始刹车后1 s内和3 s内的位移。
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刹车类问题的分析思路：
汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
(1)如果t0(2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。
例4 以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。
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刹车类问题末速度为零时，可以将汽车匀减速到零的运动看成是反向的初速度为零的匀加速运动，从而使问题的解答更简便。
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学习目标] 1.掌握匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会用公式x＝v0t＋at2解决匀变速直线运动的问题(重点)。2.掌握匀变速直线运动的速度与位移的关系式并会应用公式v2－v02＝2ax解决匀变速直线运动的问题(难点)。
一、匀变速直线运动的位移
1．物体做匀速直线运动，其v-t图像与t轴围成的矩形面积有什么意义？
答案 做匀速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应着v-t图线与t轴围成的矩形面积，即v-t图像与t轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。
2．如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。
(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中画出这5小段的位移之和。
(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？
(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？
(4)梯形面积为多少？试结合v＝v0＋at推导出位移x与时间t的关系。
答案 (1)位移为图中矩形面积之和，如图所示。
(2)图乙更接近整个过程中的位移。
(3)可以。
(4)S＝t＝t＝v0t＋at2，则x＝v0t＋at2。
1．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2
当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x∝t2。
2．适用范围：仅适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀加速直线运动时，a取正值。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正、负表示其方向。
4．各物理量的单位都要使用国际单位制单位。
说明：(1)推导匀变速直线运动的位移大小等于图像下方的面积时用到了微元法。
(2)任意形状的v-t图像与时间轴所围成的面积都等于物体的位移大小。
例1 以36 km/h的速度行驶的列车开始下坡，在下坡路上的加速度等于0.2 m/s2，经过30 s到达坡底，求坡路的长度和列车到达坡底时的速度大小。
答案 390 m 16 m/s
解析 设坡路的长度为x，列车到达坡底时的速度大小为v，初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，
加速度a＝0.2 m/s2，时间t＝30 s，
根据x＝v0t＋at2，
得x＝10 m/s×30 s＋×0.2 m/s2×(30 s)2＝390 m。
根据v＝v0＋at，
得v＝10 m/s＋0.2 m/s2×30 s＝16 m/s。
例2 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小。
答案 (1)12.75 m (2)3.75 m
解析 (1)取初速度方向为正方向
v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
前3 s内物体的位移x3＝v0t3＋at32＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m。
(2)同理，前2 s内物体的位移
x2＝v0t2＋at22＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m
因此第3 s内物体的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
应用位移与时间的关系式解题的步骤：
(1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。
二、速度与位移的关系
试由x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，消去时间t，推导速度与位移的关系式。
答案 由v＝v0＋at得
t＝
代入x＝v0t＋at2得
v2－v02＝2ax。
1．匀变速直线运动速度与位移的关系式：v2－v02＝2ax。
2．适用范围：仅适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向。
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值。
(2)若计算结果x＞0，表明位移的方向与初速度方向相同，x＜0表明位移的方向与初速度方向相反。
(3)若计算结果v＞0，表明速度的方向与初速度方向相同，v＜0表明速度的方向与初速度方向相反。
例3 某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞，设航空母舰始终处于静止状态。问：
(1)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，该舰身至少为多长？
(2)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
答案 (1)250 m (2)30 m/s
解析 (1)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动，由公式v2＝2ax可知该舰身长至少为x1＝＝250 m。
(2)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由速度与位移的关系式v2－v02＝2ax
可得v0＝＝30 m/s。
如果在所研究的问题中，已知量和未知量都不涉及时间t，利用公式v2－v02＝2ax解题，往往会更方便。
三、刹车中的位移问题
一汽车在水平路面上匀速行驶，速度v0＝10 m/s，突然前方出现紧急情况，司机以5 m/s2的加速度刹车，求汽车开始刹车后1 s内和3 s内的位移。
答案 首先根据v＝v0＋at0
可求得开始刹车到停止所用时间为t0＝＝ s＝2 s，因t1＝1 sx1＝v0t1＋at12＝10×1 m－×5×12 m＝7.5 m
因t2＝3 s>t0
故x2＝v0t0＋at02＝10×2 m－×5×4 m＝10 m。
刹车类问题的分析思路：
汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
(1)如果t0(2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。
例4 以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。
答案 4 m/s2，与初速度方向相反 40.5 m
解析 初速度v0＝18 m/s，时间t＝3 s，位移x＝36 m
根据x＝v0t＋at2，得a＝＝ m/s2＝－4 m/s2，则加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反。
根据v＝v0＋at, 汽车停止运动的时间t′＝＝ s＝4.5 s
故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等，此过程可以看作反向的初速度为零的匀加速直线运动
x′＝a′t′2＝×4×4.52 m＝40.5 m。
刹车类问题末速度为零时，可以将汽车匀减速到零的运动看成是反向的初速度为零的匀加速运动，从而使问题的解答更简便。专题强化 自由落体运动规律的综合应用
[学习目标] 1.进一步加深对自由落体运动性质的理解(重点)。2.能够灵活运用自由落体运动规律解决滴水、物体过窗等复杂问题(难点)。
一、自由落体运动的多物体问题
1．自由落体运动是______________________运动。
2．自由落体的规律
(1)v＝________；
(2)h＝gt2；
(3)v2＝________。
例1 在离地面7.2 m处手提2.2 m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球A、B，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，不计空气阻力，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)，求：
(1)两小球落地的时间差；
(2)B球落地时A球的速度大小。
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在研究自由落体运动的多物体问题时，首先利用自由落体运动规律，分别计算每个物体落地时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
二、自由落体运动中的滴水问题
从屋檐上每隔相同时间下落一雨滴，当第2滴雨滴刚要下落时，第一滴雨滴下落时间为t0。当第3滴雨滴刚下落时，
(1)第1滴雨滴下落的时间为多少？
(2)第1滴雨滴与第2滴雨滴的距离为多少？
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例2 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少？
(2)此屋檐离地面多高？
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“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
三、杆过窗问题
例3 木杆长5 m，上端固定在屋檐处竖直悬挂，由静止放开后让其自由下落(不计空气阻力，下落过程中始终保持竖直)，木杆通过屋檐正下方20 m处的窗子，窗子高为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过窗子上端所用时间是多少？
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(2)木杆通过窗子所用时间是多少？
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“落杆”类问题
由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
四、自由落体多过程问题
例4 跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以大小为14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2。问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
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(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)
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分析多过程中物体的运动情况
1．找出交接处速度与各段间位移—时间关系。
2．多过程的转折点处速度是联系两个运动的纽带，往往是解题的关键。
专题强化 自由落体运动规律的综合应用
[学习目标] 1.进一步加深对自由落体运动性质的理解(重点)。2.能够灵活运用自由落体运动规律解决滴水、物体过窗等复杂问题(难点)。
一、自由落体运动的多物体问题
1．自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。
2．自由落体的规律
(1)v＝gt；
(2)h＝gt2；
(3)v2＝2gh。
例1 在离地面7.2 m处手提2.2 m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球A、B，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，不计空气阻力，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)，求：
(1)两小球落地的时间差；
(2)B球落地时A球的速度大小。
答案 (1)0.2 s (2)10 m/s
解析 (1)设B球落地所需时间为t1，A球落地所需时间为t2，因为h1＝gt12，
所以t1＝＝ s＝1 s，
由h2＝gt22得t2＝＝ s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等，即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
在研究自由落体运动的多物体问题时，首先利用自由落体运动规律，分别计算每个物体落地时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
二、自由落体运动中的滴水问题
从屋檐上每隔相同时间下落一雨滴，当第2滴雨滴刚要下落时，第一滴雨滴下落时间为t0。当第3滴雨滴刚下落时，
(1)第1滴雨滴下落的时间为多少？
(2)第1滴雨滴与第2滴雨滴的距离为多少？
答案 (1)第1滴雨滴下落的时间为2t0。
(2)h2＝gt02，h1＝g(2t0)2，Δh＝h1－h2＝gt02。
例2 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少？
(2)此屋檐离地面多高？
答案 (1)0.2 s (2)3.2 m
解析 方法一 公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T。如图所示。
由公式h＝gt2得
第2滴雨滴下落的位移h2＝g(3T)2
第3滴雨滴下落的位移h3＝g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s
(2)则屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
方法二 比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m，
屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。
由h＝gt2得滴水的时间间隔T＝＝0.2 s。
方法三 平均速度法
(1)设滴水时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为＝，其中h＝1 m。
雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，
由于v2.5＝，所以＝2.5gT，解得T＝0.2 s
(2)屋檐高H＝g(4T)2＝3.2 m。
方法四 速度—位移关系法
(1)设滴水时间间隔为T，则第2滴水滴的速度v2＝g·3T，
第3滴水滴的速度v3＝g·2T，h＝1 m，
由v2－v02＝2ax得v22－v32＝2gh
解得T＝0.2 s
(2)由v2＝2gH，v＝gt得v＝g·4T＝8 m/s
H＝＝3.2 m。
“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
三、杆过窗问题
例3 木杆长5 m，上端固定在屋檐处竖直悬挂，由静止放开后让其自由下落(不计空气阻力，下落过程中始终保持竖直)，木杆通过屋檐正下方20 m处的窗子，窗子高为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过窗子上端所用时间是多少？
(2)木杆通过窗子所用时间是多少？
答案 (1)(2－) s (2)(－) s
解析 (1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆下端到达窗子上端用时由h下上＝gt下上2，得
t下上＝＝ s＝ s
木杆上端到达窗子上端用时
t上上＝＝ s＝2 s
则木杆通过窗子上端所用时间
t＝t上上－t下上＝(2－) s
(2)木杆的上端到达窗子的下端用时为
t上下＝＝ s＝ s
则木杆通过窗子的时间为
t′＝t上下－t下上＝(－) s。
“落杆”类问题
由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
四、自由落体多过程问题
例4 跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以大小为14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2。问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)
答案 (1)305 m (2)9.85 s
解析 (1)设运动员自由下落的高度为h1，打开伞前瞬间的速度为v1，以向下为正方向有v12＝2gh1
打开降落伞后做匀减速运动时满足：
v22－v12＝2ah2，又a＝－14.3 m/s2
解得v1＝60 m/s，h1＝180 m
所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m
(2)设第一过程经过的时间是t1，有h1＝gt12
设第二过程经过的时间是t2，则有t2＝
所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85 s。
分析多过程中物体的运动情况
1．找出交接处速度与各段间位移—时间关系。
2．多过程的转折点处速度是联系两个运动的纽带，往往是解题的关键。1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
[学习目标] 1.进一步练习使用打点计时器。2.会测量小车的瞬时速度。3.会用v－t图像处理实验数据，并计算小车的加速度(重点)。
一、实验思路
1．实验方案：槽码牵引小车在长木板上运动。
2．物理量的直接测量
位移：用刻度尺测量；
时间：由纸带获取。
二、实验装置
打点计时器(带导线)、________________、纸带、一端带有定滑轮的长木板、小车、细绳、槽码、__________、复写纸、坐标纸。
三、进行实验
1．在长木板上固定打点计时器，并使滑轮伸出桌面，连接电路。让小车停在______打点计时器的位置，安装好纸带，连接细绳和槽码。
2．先________________，后______________，打点完成后________________，观察纸带的点迹是否清晰。
3．增减所挂的槽码(或在小车上放置重物)，更换纸带，再做两次实验。
四、数据分析
1．求解并记录各计数点的瞬时速度
(1)取该计数点相邻两计数点，算出此段的平均速度，该点的瞬时速度近似等于此段的平均速度( 注意估读、单位以及有效数字)。
v1＝____________，v2＝____________，…
T为相邻两个计数点间的时间间隔，若交变电源频率为50 Hz，每5个点取一个计数点(中间隔4个点)，则T＝________ s。
(2)把各计数点的瞬时速度填入表中标有“vⅠ ” 的一行。同理，计算增减槽码后两次实验的速度分别填入表中标有“vⅡ” 和“vⅢ” 的两行内。
位置编号 0 1 2 3 4 5 6 …
时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
vⅠ/(m·s－1)
vⅡ/(m·s－1)
vⅢ/(m·s－1)
测量示例
位置 0 1 2 3 4 5 6
时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v/(m·s－1) 0.45 0.60 0.74 0.89 1.03 1.19
2.作出v－t图像
(1)在坐标纸上建立坐标系，描出数据点，如图所示；
(2)用一条平滑曲线(包括直线)“拟合”这些点，让这条线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在线两侧，偏差比较大的点忽略不计。
v－t图像的数据点几乎分布在一条直线上。
五、实验结论
小车运动的v－t图像是一条倾斜的直线，说明速度随时间均匀增加，它们成“线性关系”，即小车运动的加速度________。
六、注意事项
1．开始放开小车时，应使小车靠近打点计时器。
2．先启动打点计时器，等打点稳定后，再放开小车。
3．打点完毕，立即________________。
4．选取一条点迹清晰的纸带，舍掉开头点迹密集部分，选取适当的计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚所选的时间间隔T等于多少。
5．不要分段测量各段距离，应尽可能地一次测量完毕(可统一量出各计数点到计时起点的距离)。
6．在坐标纸上画v－t图像时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图像大致布满坐标纸。
例1 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，
(1)下列给出的器材中，A、E、F、H已选出，还需要________。
A．电磁打点计时器 B．天平
C．低压交变电源 D．低压直流电源
E．细绳和纸带 F．槽码和小车
G．秒表 H．一端有滑轮的长木板
I．刻度尺
(2)某同学按照以下步骤进行操作：
A．换上纸带重复做三次，选择一条较为理想的纸带；
B．将电磁打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，接上电源；
C．把小车停在靠近电磁打点计时器的地方，先放开小车，再启动电磁打点计时器；
D．断开电源，取下纸带；
E．把一条细绳拴在小车前端，绳跨过滑轮挂上槽码，把纸带固定在小车后端并让纸带穿过电磁打点计时器。
以上步骤有错误的是________(填步骤前的字母)，应更正为______________________；步骤合理的顺序是____(填步骤前的字母)。
例2 某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点。其相邻两点间的距离如图所示，在每两个相邻的计数点之间还有4个点未画出，交变电源频率为50 Hz。
(1)试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出打下B、F两个点时小车的瞬时速度，并将这两个速度值填入下表。(结果均保留3位有效数字)
速度 vB vC vD vE vF
数值(m·s－1) 0.479 0.560 0.640
(2)将B、C、E、F各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系中(D时刻的已标出)，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线。
(3)由所画速度—时间图像求出小车加速度为______ m/s2。(结果保留2位有效数字)
(4)写出图线与纵轴的交点的物理意义：____________________________________________
______________________________________________________________________________。
例3 为研究小车沿斜面向下运动的规律，把纸带的一端固定在小车上，小车拖动纸带运动时，纸带上打出的点如图所示。
(1)某同学用以下方法绘制小车的v－t图像。先把纸带每隔0.1 s剪断，得到若干短纸条。再把这些纸条由短到长并排贴在一张纸上，使这些纸条下端对齐，作为横轴，标出时间(表示时间轴)。最后将纸条上端中心连起来，于是得到v－t图像。请你按以上办法(用一张薄纸压在图上，复制得到纸带)绘制这个图像。
(2)这样做有道理吗？说说你的看法_________________________________________________
_______________________________________________________________________________。
1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
[学习目标] 1.进一步练习使用打点计时器。2.会测量小车的瞬时速度。3.会用v-t图像处理实验数据，并计算小车的加速度(重点)。
一、实验思路
1．实验方案：槽码牵引小车在长木板上运动。
2．物理量的直接测量
位移：用刻度尺测量；
时间：由纸带获取。
二、实验装置
打点计时器(带导线)、交变电源、纸带、一端带有定滑轮的长木板、小车、细绳、槽码、刻度尺、复写纸、坐标纸。
三、进行实验
1．在长木板上固定打点计时器，并使滑轮伸出桌面，连接电路。让小车停在靠近打点计时器的位置，安装好纸带，连接细绳和槽码。
2．先启动打点计时器，后释放小车，打点完成后关闭电源，观察纸带的点迹是否清晰。
3．增减所挂的槽码(或在小车上放置重物)，更换纸带，再做两次实验。
四、数据分析
1．求解并记录各计数点的瞬时速度
(1)取该计数点相邻两计数点，算出此段的平均速度，该点的瞬时速度近似等于此段的平均速度( 注意估读、单位以及有效数字)。
v1＝，v2＝，…
T为相邻两个计数点间的时间间隔，若交变电源频率为50 Hz，每5个点取一个计数点(中间隔4个点)，则T＝0.1 s。
(2)把各计数点的瞬时速度填入表中标有“vⅠ”的一行。同理，计算增减槽码后两次实验的速度分别填入表中标有“vⅡ”和“vⅢ”的两行内。
位置编号 0 1 2 3 4 5 6 …
时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
vⅠ/(m·s－1)
vⅡ/(m·s－1)
vⅢ/(m·s－1)
测量示例
位置 0 1 2 3 4 5 6
时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v/(m·s－1) 0.45 0.60 0.74 0.89 1.03 1.19
2.作出v-t图像
(1)在坐标纸上建立坐标系，描出数据点，如图所示；
(2)用一条平滑曲线(包括直线)“拟合”这些点，让这条线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在线两侧，偏差比较大的点忽略不计。
v-t图像的数据点几乎分布在一条直线上。
五、实验结论
小车运动的v-t图像是一条倾斜的直线，说明速度随时间均匀增加，它们成“线性关系”，即小车运动的加速度不变。
六、注意事项
1．开始放开小车时，应使小车靠近打点计时器。
2．先启动打点计时器，等打点稳定后，再放开小车。
3．打点完毕，立即关闭电源。
4．选取一条点迹清晰的纸带，舍掉开头点迹密集部分，选取适当的计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚所选的时间间隔T等于多少。
5．不要分段测量各段距离，应尽可能地一次测量完毕(可统一量出各计数点到计时起点的距离)。
6．在坐标纸上画v-t图像时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图像大致布满坐标纸。
例1 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，
(1)下列给出的器材中，A、E、F、H已选出，还需要________。
A．电磁打点计时器 B．天平
C．低压交变电源 D．低压直流电源
E．细绳和纸带 F．槽码和小车
G．秒表 H．一端有滑轮的长木板
I．刻度尺
(2)某同学按照以下步骤进行操作：
A．换上纸带重复做三次，选择一条较为理想的纸带；
B．将电磁打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，接上电源；
C．把小车停在靠近电磁打点计时器的地方，先放开小车，再启动电磁打点计时器；
D．断开电源，取下纸带；
E．把一条细绳拴在小车前端，绳跨过滑轮挂上槽码，把纸带固定在小车后端并让纸带穿过电磁打点计时器。
以上步骤有错误的是________(填步骤前的字母)，应更正为________；步骤合理的顺序是________(填步骤前的字母)。
答案 (1)C、I (2)C 先启动电磁打点计时器，再放开小车 BECDA
解析 (1)在本实验中，不需要测量小车和槽码的质量，因此不需要天平；电磁打点计时器使用的是低压交变电源，因此不需要直流电源，同时电磁打点计时器记录了小车的运动时间，因此不需要秒表；测量点迹间的距离需要刻度尺，所以还需要的器材是：C、I。
(2)以上步骤有错误的是C，应先启动电磁打点计时器，再放开小车。
根据组装器材、进行实验、数据处理的顺序知，操作步骤顺序为：BECDA。
例2 某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点。其相邻两点间的距离如图所示，在每两个相邻的计数点之间还有4个点未画出，交变电源频率为50 Hz。
(1)试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出打下B、F两个点时小车的瞬时速度，并将这两个速度值填入下表。(结果均保留3位有效数字)
速度 vB vC vD vE vF
数值(m·s－1) 0.479 0.560 0.640
(2)将B、C、E、F各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系中(D时刻的已标出)，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线。
(3)由所画速度—时间图像求出小车加速度为________ m/s2。(结果保留2位有效数字)
(4)写出图线与纵轴的交点的物理意义：_________________________________________。
答案 (1)0.400 0.721
(2)见解析图
(3)0.80(0.72～0.82)
(4)打计数点A时刻小车对应的瞬时速度
解析 (1)由于每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.1 s，
vB＝ m/s＝0.400 m/s
vF＝ m/s＝0.721 m/s
(2)小车的瞬时速度随时间变化的关系图线如图所示。
(3)小车加速度a＝＝0.80 m/s2。
(4)图线与纵轴的交点表示打计数点A时刻小车对应的瞬时速度。
例3 为研究小车沿斜面向下运动的规律，把纸带的一端固定在小车上，小车拖动纸带运动时，纸带上打出的点如图所示。
(1)某同学用以下方法绘制小车的v-t图像。先把纸带每隔0.1 s剪断，得到若干短纸条。再把这些纸条由短到长并排贴在一张纸上，使这些纸条下端对齐，作为横轴，标出时间(表示时间轴)。最后将纸条上端中心连起来，于是得到v-t图像。请你按以上办法(用一张薄纸压在图上，复制得到纸带)绘制这个图像。
(2)这样做有道理吗？说说你的看法____________。
答案 见解析
解析 (1)如图所示
(2)有道理。因为剪下的纸条长度表示0.1 s时间内位移大小Δx，这些纸带构成上述所示的直方图。小车运动速度大小近似认为v ＝，由于v∝Δx，所以纸带长度反映了小车运动速度的大小。专题强化 匀变速直线运动的平均速度公式 v－t图像看位移
[学习目标] 1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。2.会用v－t图像求直线运动位移的大小(重点)。
一、平均速度公式
1．如图所示，一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导＝＝。
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2.＝＝适合于所有的变速直线运动吗？
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1．匀变速直线运动的平均速度公式：＝＝
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即＝，＝。
2．三个平均速度公式的比较
＝适用于任何运动；
＝及＝仅适用于匀变速直线运动。
例1 在某次测试中，我国国产大飞机C919的初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)飞机4 s内的平均速度大小；
(2)飞机4 s末的速度大小；
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(3)飞机2 s末的速度大小。
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例2 若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x，这段位移中间位置的瞬时速度为。试用不同方法比较与的大小。
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中点位置的瞬时速度公式：＝
(1)推导：如图所示，前一段位移－v02＝2a·，后一段位移v2－＝2a·，所以有＝·(v02＋v2)，即有＝。
(2)适用条件：匀变速直线运动。
(3)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即>。
二、v－t图像看位移
某一做直线运动物体的v－t图像如图所示：
(1)物体在0～t0及t0～2t0时间内做什么运动？
(2)物体在0～2t0时间内的位移为多少？
(3)物体在0～2t0时间内的路程为多少？
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1．对于任意形状的v－t图像，其与时间轴围成的“面积”表示物体的________。
2．“面积”在时间轴上方表示位移为________，“面积”在时间轴下方表示位移为________(选填“正”或“负”)。
(1)v－t图像的斜率表示加速度。( )
(2)v－t图像的交点表示速度相等。( )
(3)v－t图像为曲线说明物体做曲线运动。( )
(4)v－t图像与时间轴所围成的面积为位移。( )
例3 (2023·北京丰台高一统考期末)一个质量为m的物体沿直线运动，v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～2 s与2～3 s物体运动方向相反
B．1～2 s与2～3 s物体加速度方向相反
C．0～2 s内物体的位移是4 m
D．0～3 s内物体的位移是4 m
例4 有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示。以下根据图像做出的判断中正确的是( )
A．物体A和B均做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C．t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
v－t图像与x－t图像的比较
种类 内容 v－t图像 x－t图像
图线斜率 表示加速度 表示速度
图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义
两图线交点坐标 表示速度相同，不一定相遇 表示相遇
相同点 表示物体做直线运动
专题强化 匀变速直线运动的平均速度公式 v-t图像看位移
[学习目标] 1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。2.会用v-t图像求直线运动位移的大小(重点)。
一、平均速度公式
1．如图所示，一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导＝＝。
答案 方法一 解析法
中间时刻的瞬时速度＝v0＋at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得＝＝＝v0＋at＝，又＝v0＋at＝＝＝，即＝＝。
方法二 图像法
0～t时间内的位移x＝t
平均速度＝＝
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标，故＝＝。
2.＝＝适合于所有的变速直线运动吗？
答案 不适用。推导中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋at2均来自匀变速直线运动中的公式，故＝＝只适用于匀变速直线运动。
1．匀变速直线运动的平均速度公式：＝＝
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即＝，＝。
2．三个平均速度公式的比较
＝适用于任何运动；
＝及＝仅适用于匀变速直线运动。
例1 在某次测试中，我国国产大飞机C919的初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)飞机4 s内的平均速度大小；
(2)飞机4 s末的速度大小；
(3)飞机2 s末的速度大小。
答案 见解析
解析 (1)利用平均速度公式
＝＝ m/s＝5 m/s
(2)因为＝
v＝2－v0＝8 m/s
(3)2 s末为0～4 s的中间时刻
＝＝5 m/s。
例2 若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x，这段位移中间位置的瞬时速度为。试用不同方法比较与的大小。
答案 见解析
解析 方法一 定性分析法
实际运动过程以匀加速直线运动为例，速度先慢后快，
前时间内的位移x1<，故。
方法二 公式法
如图，－v02＝2a
v2－＝2a
得＝
－>0
故>
方法三 图像法
由图知>。
中点位置的瞬时速度公式：＝
(1)推导：如图所示，前一段位移－v02＝2a·，后一段位移v2－＝2a·，所以有＝·(v02＋v2)，即有＝。
(2)适用条件：匀变速直线运动。
(3)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即>。
二、v-t图像看位移
某一做直线运动物体的v-t图像如图所示：
(1)物体在0～t0及t0～2t0时间内做什么运动？
(2)物体在0～2t0时间内的位移为多少？
(3)物体在0～2t0时间内的路程为多少？
答案 (1)0～t0时间内物体沿正方向做匀减速直线运动，t0～2t0时间内物体沿负方向做匀加速直线运动
(2)方法一 0～t0时间内的位移
x1＝v0t0
t0～2t0时间内的位移
x2＝－v0t0
x总＝x1＋x2＝0
方法二 x＝·2t0＝0
(3)s＝|x1|＋|x2|＝v0t0。
1．对于任意形状的v-t图像，其与时间轴围成的“面积”表示物体的位移。
2．“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负(选填“正”或“负”)。
(1)v-t图像的斜率表示加速度。( √ )
(2)v-t图像的交点表示速度相等。( √ )
(3)v-t图像为曲线说明物体做曲线运动。( × )
(4)v-t图像与时间轴所围成的面积为位移。( √ )
例3 (2023·北京丰台高一统考期末)一个质量为m的物体沿直线运动，v-t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～2 s与2～3 s物体运动方向相反
B．1～2 s与2～3 s物体加速度方向相反
C．0～2 s内物体的位移是4 m
D．0～3 s内物体的位移是4 m
答案 A
解析 v-t图像速度的正负表示速度的方向，在0～2 s与2～3 s物体速度方向相反，则物体在这两个时间段运动方向相反，故A正确；v-t图像的斜率表示加速度，则在1～3 s内物体的加速度相同，故B错误；图线与横轴围成的面积表示位移，则在0～2 s物体的位移是x1＝×(1＋2)×2 m＝3 m,0～3 s物体的位移是x2＝×(1＋2)×2 m－×1×2 m＝2 m，故C、D错误。
例4 有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x-t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示。以下根据图像做出的判断中正确的是( )
A．物体A和B均做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C．t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
答案 D
解析 由题图甲看出：物体A和B的位移—时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故选项A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移都大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故选项B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的v-t图线在t＝3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v-t图线与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t＝3 s时物体C、D的位移不相同，故选项C错误；由题图乙看出：在0～3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离逐渐增大，故选项D正确。
v-t图像与x-t图像的比较
种类 内容 v-t图像 x-t图像
图线斜率 表示加速度 表示速度
图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义
两图线交点坐标 表示速度相同，不一定相遇 表示相遇
相同点 表示物体做直线运动2 匀变速直线运动的速度与时间的关系
[学习目标] 1.知道匀变速直线运动的特点及分类。2.掌握匀变速直线运动的v－t图像的特点(重点)。3.掌握匀变速直线运动的速度公式，会用此公式解决简单的匀变速直线运动问题(难点)。
一、匀变速直线运动
四个做直线运动的物体的v－t图像如图所示。
(1)在甲、乙、丙、丁四幅图中物体的速度随时间如何变化？
(2)在甲、乙、丙、丁四幅图中，当物体速度变化时，从v－t图像中分析物体加速度如何变化？
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1．匀变速直线运动：沿着一条直线，且________________的运动。
2．匀变速直线运动的特点：
(1)加速度________________；
(2)v－t图像是一条________________。
3．分类：
(1)匀加速直线运动：速度随时间________的直线运动。如图________两物体为匀加速直线运动。
(2)匀减速直线运动：速度随时间________的直线运动。如图________两物体为匀减速直线运动。
例1 (2023·宿迁泗阳县实验高级中学高一期末)对匀变速直线运动的理解，下列说法正确的是( )
A．匀变速直线运动是速度越来越大的运动
B．匀变速直线运动是在任意相等的时间内速度变化相等的运动
C．匀变速直线运动是速度保持不变的运动
D．匀变速直线运动是速度方向保持不变的运动
例2 如图所示是一个质点在水平面上运动的v－t图像，以下判断正确的是 ( )
A．在0～3 s的时间内，质点在做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，质点的加速度方向发生了变化
C．第6 s末，质点的加速度为零
D．前6 s内，质点的速度变化量为－4 m/s
拓展
如图是甲、乙两物体运动的v－t图像。在相等的时间间隔Δt内，速度的变化量Δv′和Δv总是相等的吗？两物体都做匀变速直线运动吗？二者有何区别？
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二、速度与时间的关系
设一个物体做匀加速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫作初速度)，加速度为a，请根据加速度定义式求t时刻物体的瞬时速度v。
________________________________________________________________________
匀变速直线运动速度与时间的关系式：________________。
1．适用范围：只适用于________________运动。其中at是t时间内______________。
2．公式的矢量性：v、v0、a均为矢量，一般以v0的方向为正方向。
(1)在加速运动中，加速度a取________值；在减速运动中a取________值。
(2)若计算出v为正值，则表示末速度方向与初速度的方向________，若v为负值，则表示末速度方向与初速度的方向________。
3．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝________。
由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。
(2)当a＝0时，v＝________。
加速度为零的匀变速直线运动是匀速直线运动。
如图所示为某一匀变速直线运动的v－t图像。
(1)求此匀变速直线运动的初速度和加速度的大小；
(2)写出物体的速度随时间变化的关系式。
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例3 一个物体以10 m/s的速度在水平面上做直线运动，某时刻起获得一个与初速度方向相同、大小为2.5 m/s2的加速度。
(1)求6 s末物体的速度大小；
(2)若加速度方向与初速度方向相反，求1 s末和6 s末物体的速度。
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例4 小明驾驶汽车以10 m/s的速度行驶，突然前面有情况，小明紧急刹车，加速度大小为5 m/s2。
(1)求刹车1 s末和4 s末的速度；
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(2)若本题改为：一物体做匀变速直线运动，初速度为10 m/s，加速度为－5 m/s2，则4 s末的速度为多少？结果中的负号表示什么意思？请画出物体在0～4 s内的v－t图像。
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2 匀变速直线运动的速度与时间的关系
[学习目标] 1.知道匀变速直线运动的特点及分类。2.掌握匀变速直线运动的v-t图像的特点(重点)。3.掌握匀变速直线运动的速度公式，会用此公式解决简单的匀变速直线运动问题(难点)。
一、匀变速直线运动
四个做直线运动的物体的v-t图像如图所示。
(1)在甲、乙、丙、丁四幅图中物体的速度随时间如何变化？
(2)在甲、乙、丙、丁四幅图中，当物体速度变化时，从v-t图像中分析物体加速度如何变化？
答案 (1)甲的速度不变；乙的速度随时间均匀增大；丙的速度随时间均匀减小；丁的速度随时间增加得越来越快。
(2)甲图加速度为0；
乙、丙两图加速度不变；
丁图加速度在逐渐变大。
1．匀变速直线运动：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
2．匀变速直线运动的特点：
(1)加速度恒定不变；
(2)v-t图像是一条倾斜直线。
3．分类：
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增大的直线运动。如图A、B两物体为匀加速直线运动。
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小的直线运动。如图C、D两物体为匀减速直线运动。
例1 (2023·宿迁泗阳县实验高级中学高一期末)对匀变速直线运动的理解，下列说法正确的是( )
A．匀变速直线运动是速度越来越大的运动
B．匀变速直线运动是在任意相等的时间内速度变化相等的运动
C．匀变速直线运动是速度保持不变的运动
D．匀变速直线运动是速度方向保持不变的运动
答案 B
解析 匀变速直线运动速度均匀变化，匀加速直线运动速度越来越大，匀减速直线运动速度越来越小，故A错误；匀变速直线运动物体的速度均匀变化，在任意相等时间内速度改变量相等，故B正确；匀变速直线运动是速度均匀变化的运动，故C错误；匀变速直线运动的特点是加速度恒定不变，但速度方向可以改变，故D错误。
例2 如图所示是一个质点在水平面上运动的v-t图像，以下判断正确的是 ( )
A．在0～3 s的时间内，质点在做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，质点的加速度方向发生了变化
C．第6 s末，质点的加速度为零
D．前6 s内，质点的速度变化量为－4 m/s
答案 A
解析 在0～3 s的时间内，质点的加速度保持不变，故选项A正确，B错误；第6 s末，质点的速度为零，但加速度不为零，故选项C错误；第6 s末质点的速度为0，则前6 s内速度变化量为Δv＝0－(－2) m/s＝2 m/s，故选项D错误。
拓展
如图是甲、乙两物体运动的v-t图像。在相等的时间间隔Δt内，速度的变化量Δv′和Δv总是相等的吗？两物体都做匀变速直线运动吗？二者有何区别？
答案 在相等的时间间隔Δt内，甲的Δv′<Δv，乙的Δv′>Δv；两物体的运动均不是匀变速直线运动；甲物体做加速度减小的加速运动，乙物体做加速度增大的加速运动。
二、速度与时间的关系
设一个物体做匀加速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫作初速度)，加速度为a，请根据加速度定义式求t时刻物体的瞬时速度v。
答案 由加速度的定义式a＝＝＝，整理得t时刻物体的瞬时速度v＝v0＋at。
匀变速直线运动速度与时间的关系式：v＝v0＋at。
1．适用范围：只适用于匀变速直线运动。其中at是t时间内速度的变化量。
2．公式的矢量性：v、v0、a均为矢量，一般以v0的方向为正方向。
(1)在加速运动中，加速度a取正值；在减速运动中a取负值。
(2)若计算出v为正值，则表示末速度方向与初速度的方向相同，若v为负值，则表示末速度方向与初速度的方向相反。
3．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at。
由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。
(2)当a＝0时，v＝v0。
加速度为零的匀变速直线运动是匀速直线运动。
如图所示为某一匀变速直线运动的v-t图像。
(1)求此匀变速直线运动的初速度和加速度的大小；
(2)写出物体的速度随时间变化的关系式。
答案 (1)2 m/s 0.5 m/s2
(2)v＝(2＋0.5t) m/s
例3 一个物体以10 m/s的速度在水平面上做直线运动，某时刻起获得一个与初速度方向相同、大小为2.5 m/s2的加速度。
(1)求6 s末物体的速度大小；
(2)若加速度方向与初速度方向相反，求1 s末和6 s末物体的速度。
答案 (1)25 m/s (2)7.5 m/s，方向与初速度方向相同 5 m/s，方向与初速度方向相反
解析 以初速度方向为正方向，v0＝10 m/s，
(1)a1＝2.5 m/s2，
由v6＝v0＋a1t6，得v6＝25 m/s。
(2)当a与v0反向时，a2＝－2.5 m/s2，
在1 s末，由v1＝v0＋a2t1，得v1＝7.5 m/s，
在6 s末，由v6′＝v0＋a2t6，得v6′＝－5 m/s，
负号表示速度方向与初速度方向相反。
例4 小明驾驶汽车以10 m/s的速度行驶，突然前面有情况，小明紧急刹车，加速度大小为5 m/s2。
(1)求刹车1 s末和4 s末的速度；
(2)若本题改为：一物体做匀变速直线运动，初速度为10 m/s，加速度为－5 m/s2，则4 s末的速度为多少？结果中的负号表示什么意思？请画出物体在0～4 s内的v-t图像。
答案 见解析
解析 (1)以初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，a＝－5 m/s2，根据v＝v0＋at，当车速为0时，得t＝2 s，故刹车后1 s末的速度v1＝10 m/s－5×1 m/s＝5 m/s，刹车后4 s末的速度为零。
(2)根据v＝v0＋at，得v＝10 m/s＋(－5)×4 m/s＝－10 m/s，结果中的负号表示速度方向与初速度方向相反。物体0～4 s内的v-t图像如图所示。专题强化 初速度为零的匀变速直线运动常用结论
[学习目标] 1.掌握初速度为零的匀变速直线运动比例式的推导及应用(重点)。2.进一步加深学生对逆向思维法的灵活运用(难点)。
一、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看作从零开始的匀加速直线运动。若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，则求汽车：
(1)1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比；
(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比；
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比；
(4)通过连续相等的位移(通过第一个x、第二个x、第三个x)所用时间之比。
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1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝__________。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝________________________。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝________________________。
2．初速度为零的匀加速直线运动按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝________________________。
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝________________________。
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝________________________________。
例1 一个物体做初速度为零的匀加速直线运动，比较它在开始运动后第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动，下列说法中错误的是( )
A．第1 s、第2 s、第3 s各段时间内最大速度之比是1∶2∶3
B．第1 s、第2 s、第3 s各段时间经历的位移大小之比是1∶3∶5
C．第1 s、第2 s、第3 s各段时间的平均速度之比是1∶3∶5
D．第1 s、第2 s、第3 s各段时间中间时刻的瞬时速度之比是1∶2∶3
例2 如图所示，光滑斜面AE被分成长度相等的四段，一个物体由A点静止释放后做匀加速直线运动，下面结论中正确的是( )
A．经过每一部分时，其速度增量均相同
B．物体通过AB、BC、CD、DE段所需的时间之比为1∶∶∶2
C．物体到达B、C、D、E各点的速度大小之比为1∶∶∶2
D．若该物体从A点运动到E点共用时4 s，则物体在第1 s末的速度等于B点速度
二、逆向思维在比例法中的应用
1.如图，a物体做初速度为0，末速度为v，加速度大小为a的匀加速直线运动，b物体做初速度为v，末速度为0，加速度大小为a的匀减速直线运动。
b物体运动可看成a物体运动的逆过程，此方法称为逆向思维法。
2．逆向思维：对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化。
例3 在跳水比赛中，运动员从入水到下潜至最低点所用的时间为3t，该过程可视为匀减速直线运动，则运动员在第1个时间t内和第3个时间t内的位移大小之比为( )
A．5∶1 B．4∶1 C．3∶1 D．2∶1
例4 (2022·南京市高一统考期末)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！某次实验中，子弹恰好能穿过第四个水球，实验中将完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向视为做匀变速直线运动，则( )
A．由题目信息可以求得子弹穿过每个水球的时间之比
B．子弹在每个水球中运动的平均速度相同
C．子弹在每个水球中速度变化量相同
D．子弹依次进入四个水球的初速度之比为4∶3∶2∶1
专题强化 初速度为零的匀变速直线运动常用结论
[学习目标] 1.掌握初速度为零的匀变速直线运动比例式的推导及应用(重点)。2.进一步加深学生对逆向思维法的灵活运用(难点)。
一、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看作从零开始的匀加速直线运动。若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，则求汽车：
(1)1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比；
(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比；
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比；
(4)通过连续相等的位移(通过第一个x、第二个x、第三个x)所用时间之比。
答案 (1)由v＝at得1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比为1∶2∶3
(2)由x＝at2得1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9
(3)由1 s内、2 s内、3 s内位移之比为1∶4∶9
知第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比为1∶3∶5
(4)通过第一个x，x＝at12，t1＝
通过前两个x,2x＝at22，t2＝
通过第2个x，t2′＝(－1)t1
通过前三个x,3x＝at32，t3＝
通过第3个x，t3′＝(－)t1
故通过第1个x、第2个x、第3个x所用时间之比为1∶(－1)∶(－)
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．初速度为零的匀加速直线运动按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
例1 一个物体做初速度为零的匀加速直线运动，比较它在开始运动后第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动，下列说法中错误的是( )
A．第1 s、第2 s、第3 s各段时间内最大速度之比是1∶2∶3
B．第1 s、第2 s、第3 s各段时间经历的位移大小之比是1∶3∶5
C．第1 s、第2 s、第3 s各段时间的平均速度之比是1∶3∶5
D．第1 s、第2 s、第3 s各段时间中间时刻的瞬时速度之比是1∶2∶3
答案 D
解析 由于物体做初速度为零的匀加速直线运动，所以其在第1 s、第2 s、第3 s各段时间内最大速度之比即为第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比，即末速度之比为1∶2∶3，A正确；第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，B正确；根据匀变速直线运动的平均速度公式＝＝，可得第1 s、第2 s、第3 s各段时间的平均速度之比等于各时间段内的位移之比，也是各时间段中间时刻的瞬时速度之比，由B中分析可知比值为1∶3∶5，C正确，D错误。
例2 如图所示，光滑斜面AE被分成长度相等的四段，一个物体由A点静止释放后做匀加速直线运动，下面结论中正确的是( )
A．经过每一部分时，其速度增量均相同
B．物体通过AB、BC、CD、DE段所需的时间之比为1∶∶∶2
C．物体到达B、C、D、E各点的速度大小之比为1∶∶∶2
D．若该物体从A点运动到E点共用时4 s，则物体在第1 s末的速度等于B点速度
答案 C
解析 由推论可知物体通过AB、BC、CD、DE所需时间之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)，速度增量Δv＝aΔt，故A、B错误；
由v2＝2ax可知物体在B、C、D、E各点速度大小之比为1∶∶∶2，故C正确；
由D项可知，由A→E总时间为4 s，则tAB＝2 s，故物体在第2 s末的速度等于B点的速度，故D错误。
二、逆向思维在比例法中的应用
1．如图，a物体做初速度为0，末速度为v，加速度大小为a的匀加速直线运动，b物体做初速度为v，末速度为0，加速度大小为a的匀减速直线运动。
b物体运动可看成a物体运动的逆过程，此方法称为逆向思维法。
2．逆向思维：对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化。
例3 在跳水比赛中，运动员从入水到下潜至最低点所用的时间为3t，该过程可视为匀减速直线运动，则运动员在第1个时间t内和第3个时间t内的位移大小之比为( )
A．5∶1 B．4∶1
C．3∶1 D．2∶1
答案 A
解析 末速度为零的匀减速直线运动可以看成方向相反的初速度为零的匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动规律可知，从开始运动相同时间的位移之比为1∶3∶5∶7∶…(2n－1)，则运动员在第1个时间t内和第3个时间t内的位移大小之比5∶1，故选A。
例4 (2022·南京市高一统考期末)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！某次实验中，子弹恰好能穿过第四个水球，实验中将完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向视为做匀变速直线运动，则( )
A．由题目信息可以求得子弹穿过每个水球的时间之比
B．子弹在每个水球中运动的平均速度相同
C．子弹在每个水球中速度变化量相同
D．子弹依次进入四个水球的初速度之比为4∶3∶2∶1
答案 A
解析 将子弹穿过四个水球的过程逆向看作初速度为零的匀加速直线运动，则根据初速度为零的匀加速直线运动推论，通过连续相等位移所用的时间之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)，则子弹通过四个水球所用时间之比为(2－)∶(－)∶(－1)∶1，故A正确；水球尺寸都相同，子弹通过每个水球时间不等，由平均速度定义式＝可知，子弹在每个水球中运动的平均速度不同，故B错误；由Δv＝at，a不变，但子弹通过每个水球时间不等，所以速度变化量不等，故C错误；根据初速度为零的匀加速直线运动推论，连续相等位移末速度之比为1∶∶∶2，所以子弹依次进入四个水球的初速度之比为2∶∶∶1，故D错误。第二章 匀变速直线运动的研究 章末素养提升
物理观念 匀变速直线运动 特点：加速度________；v－t图像是一条________________
匀变速直线运动的基本公式 (1)速度与时间的关系式v＝____________ (2)位移与时间的关系式x＝________________
自由落体运动 (1)条件：只受________作用由________下落 (2)重力加速度：g＝________ m/s2，方向________________，地球上不同位置g值可能不同 (3)h＝gt2，v＝________
科学思维 微元法 利用微元法推导v－t图像与t轴围成的面积表示位移大小
图像法 利用v－t图像分析并解决生产和生活中有关实际问题，例如追及问题
推导并会应用匀变速直线运动的公式 (1)速度与位移关系式：v2－v02＝________ (2)平均速度公式：＝________＝____________ (3)位移差公式：连续相等时间内的位移之差Δx＝aT2
科学探究 1.能提出与“小车速度的测量方法”“小车速度随时间变化的可能关系”等有关的物理问题 2.会结合打点计时器设计实验方案并完成实验操作。能在打出的纸带上合理选取时间间隔计算各点的瞬时速度，会设计合适的表格并记录数据 3.能建立标度合适的v－t坐标并描点，会用直线拟合数据点。能通过对拟合所得的图像进行分析、思考，得到小车速度随时间变化的规律，知道测量误差产生的原因 4.能撰写实验报告，陈述实验研究的过程和结果 5.能借助计算机数表软件绘制v－t图像，并选择适当的函数拟合数据
科学态度与责任 1.了解伽利略研究自由落体运动的实验思想及所用的推理方法，认识到物理实验与科学推理在物理学研究中的作用，认识到伽利略对物体运动的研究在科学发展和人类进步中的重大意义 2.了解近代实验科学产生的背景，认识实验对物理学发展的推动作用 3.在探究小车速度随时间变化的规律实验中，养成实事求是的态度，能与他人合作
例1 公路上行驶的汽车，司机从发现前方异常情况到紧急刹车，汽车仍将前进一段距离才能停下来。要保持安全，这段距离内不能有车辆和行人，因此把它称为安全距离。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s(这段时间汽车仍保持原速)。晴天汽车在干燥的路面上以108 km/h的速度行驶时，安全距离为120 m。设雨天汽车刹车时的加速度为晴天时的，若要求安全距离仍为120 m，求汽车在雨天安全行驶的最大速度。
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例2 ETC是电子不停车收费系统的简称，如图，汽车以15 m/s的速度行驶，如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至0，经过20 s缴费后，再加速至15 m/s行驶；如果过ETC通道，需要在中心线前方10 m处减速至5 m/s，匀速到达中心线后，再加速至15 m/s行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为1 m/s2。
(1)汽车过人工收费通道，从收费前减速开始，到收费后加速结束，总共通过的路程和所需的时间是多少？
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(2)如果过ETC通道，汽车通过第(1)问路程所需要的时间是多少？汽车通过ETC通道比人工收费通道节约多长时间？
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例3 火车甲以v1＝288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s＝0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件？
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例4 (2023·北京市海淀区高一期末)如图所示是同一平直公路上同向行驶的甲、乙两汽车的v－t图像，t＝1.5t0时两车恰好并排行驶，则( )
A．t＝0时刻，甲在乙前方v0t0处
B．t＝0.5t0时刻，甲在乙的前方
C．t＝t0时刻，乙在甲前方v0t0处
D．t＝3t0时刻，两车再次并排行驶
物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法 将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解
数学分析法 设从开始到相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论。若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰
例5 某质点做直线运动，现以出发点为坐标原点，以运动方向为x轴正方向，质点运动的v2－x图像如图所示。则( )
A．质点的初速度为0
B．质点做变加速直线运动
C．质点做匀加速直线运动，且加速度大小为4 m/s2
D．质点从x＝1 m坐标处运动到x＝2 m坐标处所用的时间为 s
例6 一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其－t的图像如图所示，则( )
A．质点做匀速直线运动，速度为0.5 m/s
B．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2
C．质点在2 s末的速度为5 m/s
D．质点在第2 s内的位移为2 m
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。
1．函数法解决－t图像
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，截距b为初速度v0，图像的斜率k为a，如图甲所示。
2．函数法解决v2－x图像
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，截距b为v02，图像斜率k为2a，如图乙所示。
3．其他非常规图像
图像种类 示例 解题关键
-图像 公式依据：x＝v0t＋at2 →＝v0·＋a 斜率意义：初速度v0 纵截距意义： 加速度的一半
a-x图像 公式依据：v2－v02＝2ax→ax＝ 面积意义：速度平方变化量的一半
-x图像 公式依据：t＝ 面积意义：运动时间t
章末素养提升
物理观念 匀变速直线运动 特点：加速度恒定；v-t图像是一条倾斜的直线
匀变速直线运动的基本公式 (1)速度与时间的关系式v＝v0＋at (2)位移与时间的关系式x＝v0t＋at2
自由落体运动 (1)条件：只受重力作用由静止下落 (2)重力加速度：g＝9.8 m/s2，方向竖直向下，地球上不同位置g值可能不同 (3)h＝gt2，v＝gt
科学思维 微元法 利用微元法推导v-t图像与t轴围成的面积表示位移大小
图像法 利用v-t图像分析并解决生产和生活中有关实际问题，例如追及问题
推导并会应用匀变速直线运动的公式 (1)速度与位移关系式：v2－v02＝2ax (2)平均速度公式：＝＝ (3)位移差公式：连续相等时间内的位移之差Δx＝aT2
科学探究 1.能提出与“小车速度的测量方法”“小车速度随时间变化的可能关系”等有关的物理问题 2.会结合打点计时器设计实验方案并完成实验操作。能在打出的纸带上合理选取时间间隔计算各点的瞬时速度，会设计合适的表格并记录数据 3.能建立标度合适的v-t坐标并描点，会用直线拟合数据点。能通过对拟合所得的图像进行分析、思考，得到小车速度随时间变化的规律，知道测量误差产生的原因 4.能撰写实验报告，陈述实验研究的过程和结果 5.能借助计算机数表软件绘制v-t图像，并选择适当的函数拟合数据
科学态度与责任 1.了解伽利略研究自由落体运动的实验思想及所用的推理方法，认识到物理实验与科学推理在物理学研究中的作用，认识到伽利略对物体运动的研究在科学发展和人类进步中的重大意义 2.了解近代实验科学产生的背景，认识实验对物理学发展的推动作用 3.在探究小车速度随时间变化的规律实验中，养成实事求是的态度，能与他人合作
例1 公路上行驶的汽车，司机从发现前方异常情况到紧急刹车，汽车仍将前进一段距离才能停下来。要保持安全，这段距离内不能有车辆和行人，因此把它称为安全距离。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s(这段时间汽车仍保持原速)。晴天汽车在干燥的路面上以108 km/h的速度行驶时，安全距离为120 m。设雨天汽车刹车时的加速度为晴天时的，若要求安全距离仍为120 m，求汽车在雨天安全行驶的最大速度。
答案 24 m/s
解析 由题知，v＝108 km/h＝30 m/s，
晴天时，v·t＋＝120 m
解得a＝5 m/s2
设汽车在雨天安全行驶的最大速度为v′
v′·t＋＝120 m
其中a′＝a＝3 m/s2
联立解得v′＝24 m/s(v′＝－30 m/s舍去)。
例2 ETC是电子不停车收费系统的简称，如图，汽车以15 m/s的速度行驶，如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至0，经过20 s缴费后，再加速至15 m/s行驶；如果过ETC通道，需要在中心线前方10 m处减速至5 m/s，匀速到达中心线后，再加速至15 m/s行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为1 m/s2。
(1)汽车过人工收费通道，从收费前减速开始，到收费后加速结束，总共通过的路程和所需的时间是多少？
(2)如果过ETC通道，汽车通过第(1)问路程所需要的时间是多少？汽车通过ETC通道比人工收费通道节约多长时间？
答案 见解析
解析 (1)汽车过人工收费通道：
减速到收费站中心线所需时间：t1＝＝15 s，
x1＝＝112.5 m
缴费时间t2＝20 s
加速时间：t3＝＝15 s
x2＝x1＝112.5 m
故总时间为t＝15 s＋20 s＋15 s＝50 s，
总路程x＝x1＋x2＝225 m
(2)汽车过ETC通道：
减速时间：t1′＝ s＝10 s，
位移：x1′＝×10 m＝100 m
匀速时间：t2′＝ s＝2 s，
位移：x2′＝10 m
加速时间：t3′＝t1′＝10 s，
位移：x3′＝100 m
x′＝100 m＋10 m＋100 m＝210 m
Δx＝x－x′＝225 m－210 m＝15 m
Δt＝＝1 s
t总＝t1′＋t3′＋t2′＋Δt＝23 s
节约时间Δt′＝50 s－23 s＝27 s。
例3 火车甲以v1＝288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s＝0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件？
答案 a＞1.6 m/s2
解析 方法一 物理分析法
甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相同时，甲、乙仍相距一段距离，即
v1－at＝v2①
x1＜x2＋s②
其中x1＝v1t－at2③
x2＝v2t④
联立①②③④式，解得a＞1.6 m/s2
即a＞1.6 m/s2时，甲、乙不会相撞。
方法二 数学分析法
设甲减速t时间后，甲、乙相撞
则有x1＝x2＋s，
即v1t－at2＝v2t＋s
整理得at2－2(v1－v2)t＋2s＝0
若甲、乙不相撞，则以上方程无解
即判别式应满足Δ＝4(v1－v2)2－8as<0
解得a>＝1.6 m/s2。
方法三 图像法
分别画出甲、乙的v-t图像，如图所示
刚好不相撞时图中阴影部分面积为s
有(v1－v2)t1＝s，＝a
故a＝，且s＝0.5 km
若要使甲、乙不相撞，
则a>＝1.6 m/s2。
例4 (2023·北京市海淀区高一期末)如图所示是同一平直公路上同向行驶的甲、乙两汽车的v-t图像，t＝1.5t0时两车恰好并排行驶，则( )
A．t＝0时刻，甲在乙前方v0t0处
B．t＝0.5t0时刻，甲在乙的前方
C．t＝t0时刻，乙在甲前方v0t0处
D．t＝3t0时刻，两车再次并排行驶
答案 A
解析 t＝1.5t0时两车恰好并排行驶，t＝0时刻，两车间距为Δx1＝1.5v0t0－×1.5t0×v0＝v0t0，即甲在乙前方v0t0处，A正确；
t＝0.5t0时刻，两车间距为
Δx2＝×0.5t0×v0＋v0t0－0.5v0t0＝0
两车并排行行驶，B错误；t＝t0时刻，两车间距为Δx3＝v0t0－v0t0－v0t0＝v0t0
乙在甲前方v0t0处，C错误；
t＝1.5t0到t＝3t0，甲车速度始终大于乙车速度，则t＝3t0时刻，甲车在乙车前方，D错误。
物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法 将两者的v-t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解
数学分析法 设从开始到相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论。若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰
例5 某质点做直线运动，现以出发点为坐标原点，以运动方向为x轴正方向，质点运动的v2-x图像如图所示。则( )
A．质点的初速度为0
B．质点做变加速直线运动
C．质点做匀加速直线运动，且加速度大小为4 m/s2
D．质点从x＝1 m坐标处运动到x＝2 m坐标处所用的时间为 s
答案 D
解析 根据匀变速直线运动的规律可知，v2－v02＝2ax，得v2＝2ax＋v02，再结合题图图像知，该质点做初速度不为零的匀加速直线运动，斜率大小等于加速度大小的2倍，a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A、B、C错误；质点在x＝1 m处对应的速度为 m/s，质点在x＝2 m处对应的速度为3 m/s，故质点从x＝1 m坐标处运动到x＝2 m坐标处所用的时间t＝＝ s，故D正确。
例6 一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其-t的图像如图所示，则( )
A．质点做匀速直线运动，速度为0.5 m/s
B．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2
C．质点在2 s末的速度为5 m/s
D．质点在第2 s内的位移为2 m
答案 D
解析 根据题图图像，结合数学知识得图线的斜率为：k＝＝，则图线的函数关系为：＝t＋，整理得：x＝t2＋t，由匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at2得，质点做初速度为0.5 m/s、加速度为1 m/s2的匀加速直线运动，故A、B错误；根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式得，质点在2 s末的速度为：v2＝v0＋at2＝0.5 m/s＋1×2 m/s＝2.5 m/s，故C错误；根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式得，质点在第1 s内的位移为：x1＝v0t1＋at12＝0.5×1 m＋×1×12 m＝1 m，在前2 s内的位移为：x2＝v0t2＋at22＝0.5×2 m＋×1×22 m＝3 m，则质点在第2 s内的位移为：Δx2＝x2－x1＝2 m，故D正确。
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。
1．函数法解决-t图像
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，截距b为初速度v0，图像的斜率k为a，如图甲所示。
2．函数法解决v2-x图像
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，截距b为v02，图像斜率k为2a，如图乙所示。
3．其他非常规图像
图像种类 示例 解题关键
-图像 公式依据：x＝v0t＋at2 →＝v0·＋a 斜率意义：初速度v0 纵截距意义： 加速度的一半
a-x图像 公式依据：v2－v02＝2ax→ax＝ 面积意义：速度平方变化量的一半
-x图像 公式依据：t＝ 面积意义：运动时间t
