1.3正方形的性质与判定 同步自主提升训练（含解析）2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步自主提升训练（附答案）
一、单选题
1．在四边形ABCD中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形ABCD边长为10，点M在对角线AC上运动，N为DC上一点，DN＝2，则DM+ MN长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边AB上一点，于点F，，，则正方形的边长为（ ）
A．3 B． C． D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，若BG＝CG，则下列结论不成立的是（　　）
A．△ABG≌△AFG B．∠EAG＝45° C．CE＝3DE D．AG∥CF
5．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间的距离均为1，正方形ABCD的4个顶点分别在4条平行线上，则正方形的面积为（　　）
A． B． C．6 D．5
6．如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、……、正方形，使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点B2022的坐标为（ ）
A．（22020，22021-1） B．（22021，22021）
C．（22021，22022-1） D．（22020，22021+1）
二、填空题
8．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
9．如图，有一块边长为2的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是___________．
10．如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，正方形的对角线交于点O，连接．已知，则________．
11．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为______．
12．如图，在正方形中，点在上，连接，过点作交于点，连接，，若，则线段的长为______．
13．如图，正方形的边长为6，点，分别在，上，，连接、，与相交于点，连接，取的中点，连接，则的长为________．
14．如图，正方形的边长为6，点分别为边，上两点，平分，连接，分别交于点，点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，下列说法：①；②；③；④的最小值为；正确的是_____．（填序号）
三、解答题
15．如图，在边长为6的正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)若时，求线段的长．
16．如图，在正方形中，点是边的中点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．求证：四边形是正方形．

17．如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，点F在的延长线上，且，交于点G．
(1)求证：；
(2)求的度数．
18．如图，P是正方形的对角线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)试探究三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．
19．如图1，在正方形中，点E是边上一动点，且点E不与点B、C重合，把线段绕点D旋转，使点E落在线段延长线上的点F处．

(1)求线段旋转的度数；
(2)如图2，连接，过点D作，垂足为H，连接．
①求证：；
②当点E在运动的过程中，请探究点H和线段的位置关系，并说明理由．
20．如图1和图2，四边形中，已知，点E、F分别在上，．

(1)如图1，若都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程；
(2)如图2，若都不是直角，则当与满足数量关系_____时，仍有；
(3)拓展：如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，求的长．
参考答案
1．解:∵，有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形，
A：，且AB、BC为邻边，故选项A符合题意
B：AB、CD是对边，不符合题意；
C：AC、BD是对角线，不符合题意；
D：四个角都是直角只能证明是矩形，无法证明是正方形，不符合题意；
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BN交AC于M′，连接DM′，M′即为所求的点，
则BN的长即为DM+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CN=CD-DN=10-2=8，
∴在Rt△BCN中，BN=．
故选：C．
3．解：连接AC，AC交ED于M，则AC过点O，作ON⊥OF交FD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD＝OA，
∵AC⊥BD，OF⊥ON，
∴∠FON＝∠AOD＝90°，
∴∠AOF＝∠DON＝90° ∠AON，
∵AF⊥DE，
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAO＋∠AMF＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠NDO＋∠DMO＝90°，
∵∠AMF＝∠DMO，
∴∠FAO＝∠NDO，
在△AFO和△DNO中，，
∴△AFO≌△DNO（ASA），
∴DN＝AF＝1，ON＝OF＝，
在Rt△FON中，由勾股定理得：FN＝，
∴DF＝FN＋DN＝2＋1＝3，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD＝，
即正方形ABCD的边长是，
故选：B．
4．解:A、∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，AB=AF，
又∵AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故该项成立；
B、∵△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，
∴∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，
∴∠EAG=∠FAE+∠FAG=∠DAE+∠BAG=∠BAD=45°，故该项成立；
C、设DE=x，则CE=12-x，
∵BG=CG=6，
∴FG=BG=6，EG=FG+EF=6+x，
∵CG2+CE2=EG2，
∴62+(12-x)2=（6+x）2，
解得x=4，
∴DE=4，CE=8，
∴CE=2DE，故此项不成立；
D、∵FG=BG=CG，
∴∠GFC=∠GCF，
∵∠AGB=∠AGF，
∴∠AGF=∠GFC，
∴AG∥FC，故该项成立；
故选：C．
5．解：过点C作EF⊥l3，交l1于E点，交l4于F点．
∵，EF⊥l3，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠DEC=∠BFC=90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°．
∴∠DCE+∠BCF=90°．
又∵∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BCF=∠CDE．
∵BC=CD，
∴△CDE≌△BCF，
∴DE=CF=1，BF=CE=2，
∴，
∴正方形的面积为5，
故选：D
6．解:如图，延长GH交AD延长线于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD= CD = 2cm， AD//BC，∠GDM=∠ADC = 90°，
∵四边形CEFG是矩形，
∴ GF= CE= 3cm， CE//GF，
∴AD//GF，
∴∠GFH =∠MAH，
∵点H是AF的中点，
∴AH= FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH (ASA)，
∴MH=GH，AM=GF=3cm，
∴DM = AM- AD=3-2= 1 (cm)，
∵CG=5cm，
∴ GD= CG- CD=5-2= 3 (cm)，
在Rt△GDM中，由勾股定理得：
GM= cm，
cm，
故选： A．
7．解：当y=0时，有x 1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为(1,0)，
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为(1,1)，
同理，可得出：A2(2,1)，A3(4,3)，A4(8,7)，A5(16,15)，…，
∴B2(2,3)，B3(4,7)B，B4(8,15)，B5(16,31)，…，
∴Bn(2n 1,2n 1) (n为正整数)，
∴点B2022的坐标是(22021,22022 1)，
故选：C．
8．解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
9．解：四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
它们都加上四边形的面积，
可得到四边形的面积正方形的面积．
故答案为：4．
10．解：如图所示，过点O作于H，过点A作于G，则四边形是矩形，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．解：四边形是正方形，
，
在和中，
，
（SAS），
，
四边形是正方形，平分，
，
，
，
故答案为：．
12．解：过点E作于G，如图，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理，得
，解得：，
即，
在中，由勾股定理，得
，
故答案为：．
13．解:∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．解：四边形为正方形，
，，
，
，故①正确；
，
，
，
，
∴，
平分，
，
又∵，
∴，
∴，，故②错误；
点关于的对称点为点．
过点作，交于点，
则的最小值即为的长．
正方形的对角线相互垂直且平分，
，
，
，
．
的最小值为，故④正确；
，
，故③正确．
故答案为：①③④．
15．（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
又AG平分，
∴，
∴，
∴，
即为等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
16．证明：由题意，，
∴四边形是矩形，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵ ，，
∴ ，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形是正方形 ．
17．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在四边形中，
∴；
（3）解：，证明如下：
由（2）得是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
19．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质得，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，∴，则，
∵，
∴，
∴；
②点H在线段上，理由：
连接、，设交点为O，

∵四边形是正方形，
∴垂直平分，即直线是线段的垂直平分线，
又∵，
∴点H在线段的垂直平分线上，
由图知，当点E在C处时，F在A处，H与O重合，
当点E在B处时，点F在延长线且处，点H与A重合，

∵点E是边上一动点，且点E不与点B、C重合，
∴点H在线段上（点H不与点A、C重合）．
20．（1）解：如图，

∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，
理由是：

如图，把绕A点旋转到，使与重合，
则，
∵，
∴，
∴F、D、G在一条直线上，
和（1）类似，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵中，，，
∴，由勾股定理得：，

如图，把绕A点旋转到，使和重合，连接．
则，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得： ，
即．