中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题22.3 实际问题与二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、抛物线（拱桥）问题
1．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
【答案】A
【解析】∵AB＝30米，
∴当x＝15时，y＝﹣×152＝﹣9，
当水位上升5米时，y＝﹣4，
把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，
解得x＝±10，
此时水面宽CD＝20米，
故选A．
2．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m
【答案】B
【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选B．
3．地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图示所示的坐标系，若点A的坐标为（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是图1中沙丘左侧两个端点，则a的值为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【解析】根据题意，可设抛物线的解析式为y＝mx2，
将点A（﹣15，﹣100）代入得﹣100＝225m，
解得m＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣x2，
当y＝﹣144时，﹣x2＝﹣144，
解得x＝±18，
∵点B在第四象限，
∴a＝18，
故选B．
4．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4成
【答案】C
【解析】由可得其对称轴为：，
根据，
可知：当时，，
即有：，
解得：，
故选C．
5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【答案】C
【解析】①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a，
∴函数解析式为h（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选C．
6．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米 B．6.76米 C．6米 D．7米
【答案】B
【解析】设该抛物线的解析式为y＝ax2，在正常水位下x＝10，代入解析式可得﹣4＝a×102 a
故此抛物线的解析式为yx2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x＝9时
可得y3.24米
此时水深6+4﹣3.24＝6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选B．
7．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，
根据题意知，抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得舍或，
所以茶几到灯柱的距离为米，
故选A．
8．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
【答案】10
【解析】令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10．
故答案为：10．
9．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
【答案】y＝﹣（x﹣20）2+16
【解析】设y＝a（x﹣20）2+16，
因为抛物线过（0，0），
所以代入得：
400a+16＝0，
解得a＝﹣，
故此抛物线的函数关系式为：
y＝﹣（x﹣20）2+16．
故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．
10．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为 ．
【答案】m
【解析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣1）2+3．
∵当x＝0时，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，
∴水管的设计高度应为m．
故答案为：m．
11．周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
【解析】（1）h＝20t﹣5t2．
∵﹣5＜0，故h有最大值，
当t2，此时h的最大值为20，
∴当t＝2s时，最大高度是20m．
（2）令h≥15，则h＝20t﹣5t2≥15，
解得：1≤t≤3，
∴1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．
12．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m．这时．拱高（点O到AB的距离）为4m．
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
【解析】（1）设该抛物线的解析式是y＝ax2，
由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得：
100a＝﹣4，
a＝﹣．
∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2；
（2）设该抛物线的解析式是y＝ax2+c，
由图象知，点（10，0）（0，4）在函数图象上，代入得：
，
解得：a＝﹣，c＝4．
∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2+4，
与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化．
13．如图，这是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.375米的石榴树AB．
（1）喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是 9.1 米；
（2）若要对这棵石榴树进行喷灌，则需将喷灌架向后移动 5 米．
【解析】（1）设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，则：
＝，
∴最大铅直高度是9.1米；
故答案为：9.1；
（2）设将喷灌架向后移动a米，
则图中x＝30时，抛物线上的点的纵坐标值等于x＝30+a时的函数值，
当x＝30时，点B的纵坐标为0.1×30+2.375＝5.375，
当x＝30+a时，＝5.375，
解得a1＝5，a2＝﹣25（不符合题意，舍去）．
故答案为：5．
14．如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用yx2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，），C（5，）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？
【解析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：yx2x；
（2）yx2x，
令y＝0，解得：x＝﹣2（舍去）或8，
故ON＝8；
（3）设点E（x，x2x），
由题意得：GE+EF＝xx2x（x）2
∵0，
∴GE+EF的最大值为，
∵10，
故现有库存10米的钢材够用．
15．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）OC＝1m，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m．
（1）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由；
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．
【解析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（12，7），
故设水流形成的抛物线的解析式为y＝a（x﹣12）2+7，将点C（0，1）代入得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣12）2+7，
当x＝18时，y＝﹣×36+7＝5.5＞+3，
∴能水流浇灌到小树后面的草地；
（2）由题意可知点A的坐标为（18，3），
则直线OA为y2＝x，
∴y1﹣y2＝﹣（x﹣12）2+7﹣x＝﹣（x﹣10）2+，
∴y1﹣y2的最大值为．
16．郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．
【解析】（1）结合图象由题意可知：，，
设该抛物线解析式为：，
则：，
解得：，
∴．
（2）当时，，
∴正中间系杆的长度是36米．
设存在一根系杆的长度是的，即这根系杆的长度是12米，
则，
解得．
∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标在轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴与实际不符．
∴不存在一根系杆的长度恰好是长度的．
17．如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．
(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．
水平距离x/米 0 0.6 1 2 3 4
竖直高度y/米 1.5 1.71875 1.875 2 1.875 1.5
结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度．
(2)为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度．
【解析】（1）解：由表中数据可知，抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线解析式为，
令，则，
解得或（舍去），
水流最大射程的长度为6米；
（2）解：水流最大射程米，
，
把，代入解析式，
则，
解得，
此水流距离地面的最大高度为2米．
二、图形及其面积、运动问题
1．用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩形的面积最大，L的长度应为（ ）
A．6m B．15m C．20m D．10m
【答案】B
【解析】由题意得：S＝L（30﹣L），
S＝﹣L2+30L＝﹣（L2﹣30L+225﹣225）＝﹣（L﹣15）2+225，
所以当L＝15时，S有最大值；
故选B．
2．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
【答案】C
【解析】设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选C．
3．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A．75m2 B． C．48m2 D．
【答案】A
【解析】设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故选A．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．12cm2 D．15cm2
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC6cm，
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQAC BCPC CQ，
6×8（6﹣t）×2t，
＝t2﹣6t+24，
＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故选D．
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
12×6（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选C．
6．一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ ）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
【答案】C
【解析】如图，设BE＝CF＝x，则EF＝80﹣2x，
∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，
∴MFEF＝40x，FNFCx，
∴包装盒的侧面积＝4MF FN＝4 x（40x）
＝﹣8（x﹣20）2+3200，
当x＝20时，包装盒的侧面积最大．
故选C．
7．如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积
是 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
【答案】
【解析】设窗的高度为xm，宽为（）m，
故Sx（x﹣2）2．
∴当x＝2m时，S最大值为m2．
故答案为：．
8．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝ m时，绿地AEFG的面积最大．
【答案】2
【解析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：
y＝AE AG
＝（8﹣x）（8+2x）
＝﹣2x2+8x+64
＝﹣2（x﹣2）2+72．
∵二次项系数为﹣2，
∴当x＝2时，y有最大值72．
故答案为：2．
9．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为 时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
【答案】15m
【解析】如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE 面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设 BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即 8a+2x＝60，
∴ax，3ax，
∴矩形区域 ABCD 的面积 S＝（x）xx2x，
∵ax
∴x＜30，
则 Sx2x （0＜x＜30）
∵二次项系数为0
∴当x15（m）时，S 有最大值，最大值为：15215（m2）
故答案为：15m．
10．两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0），回答下面的问题：
（1）用含x的式子表示篱笆DE的长为 m，x的取值范围是 ；
（2）菜园的最大面积是多少m2？求出此时x的值是多少．
【解析】（1）①∵AC＝3，CD＝x，
∴EF＝AC+CD＝3+x，
∴DE＝23﹣CD﹣EF+2＝23﹣x﹣（3+x）+2＝23﹣x﹣3﹣x+2＝22﹣2x，
∵0＜22﹣2x≤12，
∴5≤x＜11，
故答案为：22﹣2x，5≤x＜11；
（2）由题意，得：S＝（3+x）（22﹣2x）＝﹣2x2+16x+66＝﹣2（x﹣4）2+98，
∵﹣2＜0，
∴当x＞4时，S随x的增大而减小，
∵5≤x＜11，
∴当x＝5时，S有最大值，最大值＝﹣2（5﹣4）2+98＝96，
答：x＝5时，菜园面积S的最大值为96m2．
11．为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为，求的值；
(3)为何值时，有最大值？最大值是多少？
【解析】（1）解：根据题意得：,
∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
即，
解得，，
∵，
∴不符合题意，故舍去，
∴；
（3）解：由（1）知，
化成顶点式：，
因为开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，
∴当时，y有最大值，且为，
此时，符合题意．
12．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时的面积等于．
(2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．
【解析】（1）解：设运动开始后第秒时的面积等于，由题意得
，
整理得：，
解得：，，
答：运动开始后第秒或秒时的面积等于．
（2）解：
，
，
，，
当时，；
答：，当时，．
13．用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【解析】（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k，
∴W与x的函数关系式为Wx2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄（6﹣x）2x2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
14．如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．
(1)求当点D落在边上时t的值；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)直接写出当是等腰三角形时t的值．
【解析】（1）解：如图，当点D落在边上时，
．
由，解得，
所以当点D落在边上时t的值是2．
（2）解：当时，如图，
，．
；
当时，如图，
，，
．
综上，；
（3）解：当时，如图，
，
由，解得；
当时，如图5，
，，
由，解得（负值舍去）；
当时，如图6，
，，
由，
解得，（舍去）．
综上，当是等腰三角形时t的值为1或或．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交y轴于点C，
∴点C（0，6），
∴OC＝6，
∵OA＝OC＝3OB，
∴OA＝OC＝6，OB＝2，
∴点A（﹣6，0），点B（2，0），
将点A，点B坐标代入解析式，可得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6；
（2）如图，过点P作PH⊥CO于H，
∵OA＝OC＝6，
∴∠OCA＝45°
∵PH⊥OC，
∴∠ACO＝∠CPH＝45°，
∴PH＝CH，
∵点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，
∴CP＝2t，OQ＝t，
∴PH＝CH＝t，CQ＝6﹣t，
∴S△PCQ＝×CQ×PH＝（﹣t2+6t）＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，S△CPQ的最大值为，
∴PH＝CH＝3，
∴OH＝6﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，6﹣3）；
（3）如图，当点M在AC的下方时，设CM与x轴的交点为H，
∵∠ACM＝15°，∠ACO＝45°，
∴∠OCH＝30°，
∴tan∠OCH＝＝，
∴OH＝2，
∴点H（﹣2，0），
∴直线CM的解析式为：y＝x+6，
联立方程组可得：，
解得：（舍去）或，
故点M（﹣4﹣2，﹣4）；
当点M'在AC的上方时，设CM'与x轴的交点为G，
∵∠ACM'＝15°，∠ACO＝45°，
∴∠OCG＝60°，
∴tan∠OCG＝，
∴OG＝6，
∴点H（﹣6，0），
∴直线CM'的解析式为：y＝x+6，
联立方程组可得：，
解得：（舍去）或，
故点M（﹣4﹣，﹣+）；
综上所述：点M的坐标为（﹣4﹣2，﹣4）或（﹣4﹣，﹣+）．
三、销售或利润问题
1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【答案】D
【解析】对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选D．
2．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）
A．180 B．220 C．190 D．200
【答案】D
【解析】设y＝kx+b，由图象可知，，
解之，得：，
∴y＝﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600，
∵a＝﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x20时，p最大值＝200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选D．
3．某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可全部租出，每床每晚收费提高20元，则有10张床位未租出；若每床每晚收费再提高20元，则再减少10张床位未租出；以每次提高20元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高（ ）
A．40元或60元 B．40元 C．60元 D．80元
【答案】A
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y＝（100+20x）（100﹣10x）
＝﹣200x2+1000x+10000．
当x2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x＝2或3时，y＝11200；
∴每张床位提高40元或60元．
故选A．
4．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（ ）
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
【答案】D
【解析】设销售单价降低x元，每天获得利润为y元．根据题意，得
y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250．
因为﹣2＜0，当x＝15时，y有最大值为1250，
所以销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元．
所以A、B选项正确，不符合题意；
当x＝10时，y＝1200，
所以销售单价降低10元，每天的利润为1200元．
所以C选项正确，不符合题意；
利用筛选法D选项符合题意．
故选D．
5．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
【答案】70
【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
6．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为 元．
【答案】180
【解析】设每千克降价x元，由题意得每天的销售量为：
4010＝（40+20x）千克
设商店平均每天的利润为w元，由题意得：
w＝（4﹣x）（40+20x）
＝﹣20x2+40x+160
＝﹣20（x﹣1）2+180
∵二次项系数为﹣20＜0
∴当x＝1时，w取得最大值180元．
故答案为：180．
7．某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式 ；
（2）当售价是 元/件时，周销售利润最大．
【答案】（1）y＝﹣2x+200．
（2）70
【解析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，解得
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
故答案为y＝﹣2x+200．
（2）进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大．
故答案为70．
8．某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，店方想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
(1)如果涨价3元，每天的销售利润是多少？
(2)如何定价，使每天所得的利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）解：如果涨价3元，
则每天售：（件），
每件单价为13（元），
涨价3元利润为：；
（2）解：设涨价x元，利润为y元，
则每天售：（件），
每件单价为：（元），
，
，
∴当时y有最大值，最大值为360（元），
即涨价4元利润最大，最大利润是360（元）．
9．红薯富含膳食纤维，维生素（A，B，C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱．某土特产批发店以30元/箱的价格进货．根据市场调查发现，批发价定位58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱．
(1)直接写出每天的利润 与降价 元的函数关系式；
(2)当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？
(3)要使每天的利润为21600元，并让利于民，应降价多少元？
【解析】（1）解：
（2）解：
当时，
（3）解：
解得：（舍去）
答：应降价元．
10．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯子，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）（不低于成本价）满足的一次函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天销售获得的利淘最大？最大利润是多少？
【解析】（1）设函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数过（10，200）和（15，150），
∴，
解得：，
∴y＝﹣10x+300，
∵x＞8且﹣10x+300＞0，
∴8＜x＜30，
∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+300（8＜x＜30）；
（2）设每天的利润为w元，根据题意，得：
w＝（x﹣8）y
＝（x﹣8）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+380x﹣2400
＝﹣10（x﹣19）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＝19时，w最大，最大值为1210，
∴售价定为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．
11．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题22.3 实际问题与二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、抛物线（拱桥）问题
1．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
2．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m
3．地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图示所示的坐标系，若点A的坐标为（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是图1中沙丘左侧两个端点，则a的值为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
4．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4成
5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
6．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米 B．6.76米 C．6米 D．7米
7．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
9．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
10．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为 ．
11．周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
12．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m．这时．拱高（点O到AB的距离）为4m．
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
13．如图，这是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.375米的石榴树AB．
（1）喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是 9.1 米；
（2）若要对这棵石榴树进行喷灌，则需将喷灌架向后移动 5 米．
14．如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用yx2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，），C（5，）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？
15．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）OC＝1m，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m．
（1）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由；
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．
16．郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．
17．如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．
(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．
水平距离x/米 0 0.6 1 2 3 4
竖直高度y/米 1.5 1.71875 1.875 2 1.875 1.5
结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度．
(2)为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度．
二、图形及其面积、运动问题
1．用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩形的面积最大，L的长度应为（ ）
A．6m B．15m C．20m D．10m
2．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
3．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A．75m2 B． C．48m2 D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．12cm2 D．15cm2
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ ）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
7．如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积
是 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
8．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝ m时，绿地AEFG的面积最大．
9．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为 时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
10．两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0），回答下面的问题：
（1）用含x的式子表示篱笆DE的长为 m，x的取值范围是 ；
（2）菜园的最大面积是多少m2？求出此时x的值是多少．
11．为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为，求的值；
(3)为何值时，有最大值？最大值是多少？
12．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时的面积等于．
(2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．
13．用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
14．如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．
(1)求当点D落在边上时t的值；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)直接写出当是等腰三角形时t的值．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
三、销售或利润问题
1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
2．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）
A．180 B．220 C．190 D．200
3．某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可全部租出，每床每晚收费提高20元，则有10张床位未租出；若每床每晚收费再提高20元，则再减少10张床位未租出；以每次提高20元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高（ ）
A．40元或60元 B．40元 C．60元 D．80元
4．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（ ）
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
5．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
6．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为 元．
7．某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式 ；
（2）当售价是 元/件时，周销售利润最大．
8．某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，店方想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
(1)如果涨价3元，每天的销售利润是多少？
(2)如何定价，使每天所得的利润最大？最大利润是多少？
9．红薯富含膳食纤维，维生素（A，B，C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱．某土特产批发店以30元/箱的价格进货．根据市场调查发现，批发价定位58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱．
(1)直接写出每天的利润 与降价 元的函数关系式；
(2)当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？
(3)要使每天的利润为21600元，并让利于民，应降价多少元？
10．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯子，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）（不低于成本价）满足的一次函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天销售获得的利淘最大？最大利润是多少？
11．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
