【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-5单元测评二　证明不等式的基本方法

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单元测评(二)　证明不等式的基本方法
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．设m＞n，n∈N＋，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，则a与b的大小关系为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．a≥b　　　　　　　　 B．a≤b
C．与x值有关，大小不定 D．以上都不正确
解析：a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)
＝(lgmx－lgnx)
∵x＞1，
∴lgx＞0，当0＜lgx＜1时，a＞b，
当lgx＝1时，a＝b；当lgx＞1时，a＞b.
答案：A
2．若a，b∈R，则下面四个式子恒成立的是(　　)
A．lg(a2＋1)＞0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab＞2b2 D.＜
解析：选项A中，若a＝0，则lg(a2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1)＝lg1＝0；选项B中，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；选项C中，取a＝0，b＝1，则不成立；选项D中，若＞1，则＜，例如＜.故选B.
答案：B
3．已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(　　)21cnjy.com
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
解析：方法一：c－b＝(a－2)2≥0 c≥b.
又b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝2＋，
∴b＞a，
∴c≥b＞a.
方法二：令a＝2，则b＋c＝10，c－b＝0，
即b＝c＝5，排除B、C、D.
答案：A
4．使不等式＋＞1＋成立的正整数a的最大值为(　　)
A．10　 　　B．11　 　　C．12　 　　D．13
解析：用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．
答案：C
5．若实数a、b满足0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)
A. B．a2＋b2 C．2ab D．a
解析：∵a＋b＝1，a＋b＞2，
∴2ab＜，a2＋b2＞22＝2×＝.
又0＜a＜b，且a＋b＝1，
∴a＜，
∴a2＋b2最大．
答案：B
6．设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是(　　)2·1·c·n·j·y
A．a，b，c全为正数 B．a，b，c全为非负实数
C．a＋b＋c≥0 D．a＋b＋c＞0
解析：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b ( http: / / www.21cnjy.com )＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，而a、b、c不全相等 (a－b)2－(b－c)2＋(a－c)2＞0.21·世纪*教育网
∴a3＋b3＋c3－3abc≥0 a＋b＋c≥0.
答案：C
7．在△ABC中，A、B、C分别为三边a、b、c所对的角，且a、b、c成等差数列，则B适合的条件是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．0＜B≤ B．0＜B≤
C．0＜B≤ D.＜B＜π
解析：∵2b＝a＋c，
∴cosB＝
＝
＝
＝－
≥－＝，
∵余弦函数在(0，)上为减函数，
∴0＜B≤.
答案：B
8．设不等的两个正数a，b满足a3－b3＝a2－b2，则a＋b的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B.
C. D．(0,1)
解析：a2＋ab＋b2＝a＋b，(a＋b)2－(a＋b)＝ab，而0＜ab＜，所以0＜(a＋b)2－(a＋b)＜，得1＜a＋b＜.21教育网
答案：B
9．若x∈(－∞，1)，则函数y＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最大值－1 D．最小值－1
解析：y＝＋＝＋≤－2＝－1.
答案：C
10．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：(x＋y)＝1＋＋＋a≥1＋a＋2≥9.由此可知，当a＝4时，成立．
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．设a、b、c∈R＋，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥__________.
答案：9
12．设0＜m＜n＜a＜b，函数y＝f(x)在R上是减函数，下列四个数f，f，f，f的大小顺序是__________．21·cn·jy·com
解析：∵＜＜1＜＜，由y＝f(x)在R上是减函数，
∴f＞f＞f＞f.
答案：f＞f＞f＞f
13．已知a、b∈R＋，则x＝abba，y＝aabb，z＝()a＋b的大小关系是__________．www.21-cn-jy.com
解析：用作商比较法．
答案：y≥z≥x
14．若a＞b＞c＞0，n1＝，n2＝，n3＝，则n1n2，n2n3，n，n中最小的一个是__________．
解析：利用赋值法比较，令a＝3，b＝2，c＝1，可得n1＝，n2＝，n3＝，
∴n1n2＝，n2n3＝，n＝，n＝，故n最小．
答案：n
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知x、y∈R，且|x|＜1，|y|＜1.
求证：＋≥.
证明：方法一：分析法：∵|x|＜1，|y|＜1，
∴＞0，＞0，
∴＋≥.
故要证明结论成立，只要证明≥成立．
即证1－xy≥成立即可．
(6分)
∵(y－x)2≥0，有－2xy≥－x2－y2，
∴(1－xy)2≥(1－x2)(1－y2)，
∴1－xy≥＞0.
∴不等式成立．(12分)
方法二：综合法：
∵≤≤≤ (a、b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)，
∵≤＝≤＝1－|xy|，
∴＋≥≥，
∴原不等式成立．(12分)
16．(12分)已知an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，求证：＜an＜.
证明：∵＞n，
∴an＝＋＋…＋＞1＋2＋…＋n＝.(5分)
又＜＝，
∴an＝＋＋…＋＜＋＋…＋＜.(10分)
∴＜an＜.(12分)
17．(12分)设函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.21世纪教育网版权所有
(1)求函数y＝g(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式：g(x)≥f(x)－|x－1|.
解：(1)依题意知
g(x)＝－f(－x)
＝－[(－x)2＋2(－x)]
＝－x2＋2x.(4分)
(2)g(x)≥f(x)－|x－1|，
即－x2＋2x≥x2＋2x－|x－1|，
即2x2－|x－1|≤0.
当x＞1时，2x2－x＋1≤0，解得x∈ ；
当x≤1时，2x2＋x－1≤0，
解得－1≤x≤.
又x≤1，
∴－1≤x≤.(10分)
综上知，原不等式的解集为{x|－1≤x≤}．
(12分)
18．(14分)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果对任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.
①当x≤－1时，不等式化为1－x－x－1≥3，即－2x≥3.
不等式组的解集为.
②当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x－1≥3不可能成立．
不等式组的解集为 .
③当x＞1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，
即2x≥3，
不等式组的解集为.
综上得，f(x)≥3的解集为∪.(7分)
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
若a＜1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a.
若a＞1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.
所以，对任意x∈R，f(x)≥2的充要条件是
|a－1|≥2，从而a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(14分)
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