【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-5单元测评四　数学归纳法证明不等式

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
单元测评(四)　数学归纳法证明不等式
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”时，在验证当n＝1成立时，左边计算所得的结果是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析：由于等式左边当n＝1时，幂指数的最大值为1＋1＝2，所以左边计算结果为1＋a＋a2.
答案：C
2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝(　　)
A．1 B．1或2
C．1,2,3 D．1,2,3,4
解析：经验证当n＝1,2,3时均正确，但 ( http: / / www.21cnjy.com )当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右边＝3×42－3×4＋2＝38，故选C.
答案：C
3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)www.21-cn-jy.com
A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．6
解析：当n≤4时，2n＜n2＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1.
于是n0应取5.
答案：C
4．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立时，起始值至少应取(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：原不等式可化为＞，
即2＞，
即2－＞，所以2－＞，
即＞，即＞.
故26＜2n－1，即n－1＞6，故n＞7，所以n最小取8.
答案：B
5．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整 ( http: / / www.21cnjy.com )数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数n应为(　　)21教育网
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝1,2 D．以上答案均不正确
答案：A
6．若命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)2·1·c·n·j·y
A．P(n)对所有正整数n成立
B．P(n)对所有正偶数n成立
C．P(n)对所有正奇数n成立
D．P(n)对所有比1大的自然数n成立
答案：B
7．利用数学归纳法证明＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)2-1-c-n-j-y
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了一项，并减少了
D．增加了两项和，并减少了
答案：D
8．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N*)”时，S1等于(　　)
A. B.＋
C.＋＋ D．以上答案均不正确
答案：C
9．用数学归纳法证明＋cosα＋cos3 ( http: / / www.21cnjy.com )α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z*，α≠kπ，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是(　　)21cnjy.com
A. B.＋cosα
C.＋cosα＋cos3α D．cosα
答案：B
10．设平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系为(　　)
A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1
B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1
C．f(k＋1)＝f(k)＋k
D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．数列{an}中，a1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝1，且Sn、Sn＋1、2S1成等差数列，则S2、S3、S4分别为__________，猜想Sn＝__________.21世纪教育网版权所有
答案：、、　
12．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时，左端应在n＝k时的基础上加上__________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
13．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明“f(2n)＞”时，f(2k＋1)－f(2k)＝__________.21·世纪*教育网
答案：＋＋…＋
14．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．www-2-1-cnjy-com
答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，　　21*cnjy*com
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a· ( http: / / www.21cnjy.com )ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设知，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，命题成立．(12分)
16．(12分)求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＞，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立．
即＋＋…＋＞.
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋＝，
从而当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)、(2)知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．(12分)
17．(12分)用计算、归纳猜想、证明法求数列，，，…，，…的前n项之和Sn.
解：观察数列知，S1＝＝＝，
S2＝＋＝＝，
S3＝＋＋＝＝，
…
由以上推导可猜想：＋＋＋…＋＝.(4分)
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，等式成立；
(2)假设n＝k时等式成立，即＋＋＋…＋＝.
当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
＝＋
＝＋
＝＝
＝.
这就是说，当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)、(2)知，等式对于任何n∈N*都成立．
(12分)
18．(14分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝100.
(1)求数列{bn}的通项bn；
(2)设数列{an}的通项an＝lg，记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与lgbn＋1的大小，并证明你的结论．21·cn·jy·com
解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意，得解得
从而bn＝2n－1.(4分)
(2)由bn＝2n－1，知
Sn＝lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg
＝lg，
lgbn＋1＝lg.
因此要比较Sn与lgbn＋1的大小，可先比较(1＋1)··…·与的大小．
取n＝1，有(1＋1)＞ ；
取n＝2，有(1＋1)＞ ，…
由此推测(1＋1)··…·＞.①
若①式成立，则由对数函数性质可断定Sn＞lgbn＋1.(6分)
下面用数学归纳法证明①式．
(Ⅰ)当n＝1时，已验证①式成立．
(Ⅱ)假设当n＝k(k≥1)时，①式成立，
即(1＋1)·…·＞ .
当n＝k＋1时，
(1＋1)·…·＞＝(2k＋2)．
∵2－[]2
＝＝＞0，
∴(2k＋2)＞＝.
因而(1＋1)·…··＞.
这就是说①式当n＝k＋1时也成立．
由(Ⅰ)、(Ⅱ)知①式对任何正整数n都成立．
由此证得Sn＞lgbn＋1.(14分)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网