【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-5单元测评三　柯西不等式与排序不等式

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单元测评(三)　柯西不等式与排序不等式
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是(　　)
A．[0，]　　　　　　 B．[－，0]
C．[－，] D．[－5,5]
解析：|3x＋2y|≤·≤，从而－≤3x＋2y≤ .
答案：C
2．若x、y、m、n∈(0，＋∞)，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　)
A．m＋n B．4mn
C．(＋)2 D.
解析：x＋y＝(x＋y)·
≥2
＝(＋)2.
答案：C
3．若2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　)
A.，， B.，，
C．1，， D．1，，
解析：当且仅当＝＝时，x2＋y2＋z2取到最小值，联立可得x＝，y＝，z＝.
答案：B
4．已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的关系为(　　)21cnjy.com
A．y1y2＜x1x2 B．y1y2＝x1x2
C．y1y2＞x1x2 D．不能确定
解析：∵a，b，x1，x2为互不相等的正数，
∴y1y2＝·
＝
＝
＞
＝
＝x1x2.
答案：C
5．若x、y、z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．8 D．9
解析：x＋＋＝
≥2＝9，
故所求最小值为9.
答案：D
6．若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)
A．1 B.
C．3 D．9
解析：因为3(a＋b＋c)＝(1＋1＋1)(a＋b＋c)
≥(＋＋)2，
所以＋＋≤＝，故所求最大值为.
答案：B
7．若x1，x2，…，xn取不同的正整数，则m＝＋＋…＋的最小值是(　　)
A．1 B．2
C．1＋＋＋…＋ D．1＋＋＋…＋
解析：设a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一个排列，
且满足a1＜a2＜…＜an，故a1≥1，a2≥2，…，an≥n.
又因为1＞＞＞…＞，
所以＋＋＋…＋≥a1＋＋＋…＋
≥1×1＋2×＋3×＋…＋n×
＝1＋＋＋…＋，
故所求最小值为1＋＋＋…＋.
答案：C
8．若x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
9．m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117，对所有这样的m与n,3m＋2n的最大值是(　　)21教育网
A．35 B．37
C．38 D．41
答案：B
10．已知x、y、z是非负实数，若9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值是(　　)21·cn·jy·com
A．9 B．10
C．14 D．15
解析：∵(3x＋6y＋5z)2≤[12＋ ( http: / / www.21cnjy.com )()2＋()2]·[(3x)2＋(2y)2＋(z)2]＝9(9x2＋12y2＋5z2)＝81，www.21-cn-jy.com
∴3x＋6y＋5z≤9.
故u＝3x＋6y＋5z的最大值为9.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．设x，y∈R＋，则(x＋y)的最小值是__________．
解析：(x＋y)≥2＝(＋)2＝5＋2.
答案：5＋2
12．若x＋y＋z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为__________．
解析：∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝62，∴x2＋y2＋z2≥12.
故x2＋y2＋z2的最小值为12.
答案：12
13．已知x、y、z为正数，且xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)(y＋z)的最小值为__________．2·1·c·n·j·y
答案：2
14．若x1、x2、x3大于0，且x1＋x2＋x3＝1，则x1xx3＋x1x2x的最大值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.
证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式：
(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，
5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得，3c2－c－2≤0，
解得－≤c≤1.
所以－≤c≤1.(12分)
16．(12分)已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：＋＋≥9.
证明：左边＝[2(a＋b＋c)]
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
≥(1＋1＋1)2＝9.
(或＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)])
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝9)
∴＋＋≥9.(12分)
17．(12分)设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn.
证明：(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，
由排序原理：顺序和≥反序和，
得1×1＋x×x＋x2×x2＋…＋xn×xn≥1×xn＋x×xn－1＋…＋xn×1，
即：1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
(4分)
又∵x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，乱序和≥反序和，
得1×x＋x×x2＋…＋xn－1×xn＋xn×1≥1×xn＋x×xn－1＋…＋xn－1×x＋xn×1，21世纪教育网版权所有
得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②
(8分)
将①和②相加得：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn，③
(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn，
①②成立，
∴③也成立．
由(1)(2)得，原不等式成立．(12分)
18．(14分)若n是不小于2的正整数，试证：
＜1－＋－＋…＋－＜.
证明：1－＋－＋…＋－
＝－2
＝＋＋…＋，
所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2，
于是，＋＋…＋
＞＝＝
≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋…＋＜
≤
＝.(14分)
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