模块综合测评(二) 选修4－4(A版)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：把sin2θ＝y代入x＝2＋sin2θ，得x＝2＋y，即y＝x－2，∵2≤2＋sin2θ≤3，∴2≤x≤3.
答案：C
2．极坐标方程ρ＝2cos表示图形的面积是( )
A．2 B．2π C．4 D．4π
解析：∵ρ＝2cos
＝2
＝2cosθ＋2sinθ，
∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，
即x2＋y2＝2x＋2y，(x－1)2＋(y－1)2＝2，
∴方程表示的图形是圆，半径为，
∴其面积为πr2＝2π.
答案：B
3．已知三个方程：①②③
(都是以t为参数)，那么表示同一曲线的方程是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
解析：①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.
答案：B
4．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析：将各选项给出的参数方程化为普通方程，并结合变量的取值范围易知选B.
答案：B
5．参数方程(θ为参数)表示的曲线的离心率等于( )
A. B. C. D．2
解析：由得
∴－x2＝1，
∴曲线为双曲线，其中a＝2，b＝1，
∴c＝＝，
∴e＝＝.
答案：B
6．已知直线l1的极坐标方程为ρsin＝2 012，直线l2的参数方程为(t为参数)，则l1与l2的位置关系为( )
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．重合
解析：由ρsin＝2 012，得
ρ＝2 012，
ρsinθ－ρcosθ＝2 012，
∴y－x＝2 012，即y＝x＋2 012，
把直线l2的参数方程化为普通方程为＝＝－1，即y＝－x，
∴kl1·kl2＝1×(－1)＝－1，
∴l1⊥l2.
答案：A
7．已知椭圆的参数方程为(φ为参数)，点M在椭圆上，其对应的参数φ＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A．1 B．2 C. D．2
解析：当φ＝时，
∴M，∴kOM＝＝2.
答案：D
8．将曲线＋＝1按φ：变换后的曲线的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
解析：设点P(x，y)为曲线＋＝1上的任意一点，
在变换φ：的作用下，
点P(x，y)对应的点P′(x′，y′)，
即φ：代入＋＝1得3x′2＋2y′2＝1，
即3x2＋2y2＝1，
∴＋＝1，
化为参数方程为(θ为参数)．
答案：D
9．已知点P1的球坐标是P1，P2的柱坐标是P2，则|P1P2|＝( )
A. B. C. D．4
解析：点P1的直角坐标为(2，－2，0)，点P2的直角坐标为(，1,1)，由两点距离公式得|P1P2|＝，故选A.
答案：A
10．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b＞0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A.
B.
C.＋4
D．2b
解析：设动点的坐标为(2cosθ，bsinθ)，代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsinθ＝－2＋4＋，
当0＜b≤4时，(x2＋2y)max＝＋4，
当b＞4时，(x2＋2y)max＝－2＋4＋＝2b，故选A.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为__________．
解析：由已知得：曲线C：x2＋y2＝2，
由图易求得在(1,1)处切线的斜率．
k切·＝－1，
∴k切＝－1，
∴切线方程为：y－1＝－1(x－1)．
即x＋y－2＝0.
将极坐标x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得
ρcosθ＋ρsinθ－2＝0，
即ρsin＝.
答案：ρsin＝
12．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为__________．
解析：把直线和椭圆的参数方程分别化为普通方程为：
l：y＝x－a，C：＋＝1.
椭圆右顶点为(3,0)，代入l得：0＝3－a，a＝3.
答案：3
13．设曲线C的参数方程为(t为参数) ( http: / / www.21cnjy.com )，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为__________．
解析：(1)由消t，得曲线C的普通方程为y ( http: / / www.21cnjy.com )＝x2，又y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，∴C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝ρsinθ，即ρcos2θ－sinθ＝0.
答案：ρcos2θ－sinθ＝0
14．在直角坐标系xOy中，椭圆C的 ( http: / / www.21cnjy.com )参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为__________．
解析：先将极坐标化为直角坐标：
ρ·sin＝ρ·＝
y－x＝m，即x－y＋m＝0.
由ρ＝b得＝b，∴x2＋y2＝b2，
椭圆C化为直角坐标方程得：＋＝1
故可得右焦点(，0)，代入直线整理得：
＋m＝0，m＝－.
又由原点到直线距离为b得：
b＝＝，
∴b＝|m|，
∴2b2＝m2＝a2－b2，
∴a2＝3b2，
∴c2＝a2－b2＝3b2－b2＝2b2，
∴e＝＝＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为(t为参数)．
(1)将C1化为直角坐标方程．
(2)C1与C2是否相交？若相交求出弦长，不相交说明理由．
解：(1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，
∴x2＋y2＝4x，
∴C1的直角坐标方程为
x2＋y2－4x＝0.(4分)
(2)C2的直角坐标方程为3x－4y－1＝0，
(6分)
C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线C2的距离d＝＝1＜2，
(8分)
∴C1与C2相交，
∴相交弦长|AB|＝2＝2，
∴C1与C2相交，相交弦长为2.(12分)
16．(12分)在直角坐标系xOy中， ( http: / / www.21cnjy.com )以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
(6分)
(2)由①可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以
解得a＝－1，b＝2.(12分)
17．(12分)已知曲线C1的参数方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25.
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(6分)
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.(12)
18．(14分)在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(7分)
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝＜1，
所以直线l与圆C相交．(14分)模块综合测评(一) 选修4－4(A版)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：由l的参数方程可得l的普通方程为4 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋3y－10＝0，设l的倾斜角为θ，则tanθ＝－，由＝＝tan2θ＋1，得cos2θ＝，又＜θ＜π，∴cosθ＝－.
答案：B
2．柱坐标对应的点的直角坐标是( )
A．(，－1,1) B．(，1,1)
C．(1，，1) D．(－1，，1)
解析：由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得
答案：C
3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sinθ上的动点，则|PA|的最小值是( )
A．0 B.
C.＋1 D.－1
解析：A的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝，则|PA|min＝－1.
答案：D
4．直线(t为参数，θ是常数)的倾斜角是( )
A．105° B．75°
C．15° D．165°
解析：参数方程
消去参数t得，y－cosθ＝－tan75°(x－sinθ)，
∴k＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°.
故直线的倾斜角是105°.
答案：A
5．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：把参数方程化为普通方程得－x2＝1，渐近线方程为y＝±2x.
答案：D
6．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，O为原点，则△BOC的面积为( )
A．2 B.
C. D.
解析：
(t′为参数)．
代入x2＋y2＝8，得t′2－3t′－3＝0，
∴|BC|＝|t′1－t′2|＝＝＝，弦心距d＝ ＝，
S△BCO＝|BC|·d＝.
答案：C
7．已知点P的极坐标为(π，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A．ρ＝π B．ρ＝cosθ
C．ρ＝ D．ρ＝
解析：设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，由图形知OMcos∠POM＝π，
∴ρcos(π－θ)＝π.
∴ρ＝.
答案：D
8．直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cosθ相交，则k满足的条件是( )
A．k≤－ B．k≥－
C．k∈R D．k∈R且k≠0
解析：由题意可知直线l过定点(0，－2)， ( http: / / www.21cnjy.com )曲线C的普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由图可知，直线l与圆相切时，有一个交点，此时＝1，得－k＝.若满足题意，只需－k≥.
即k≤－即可．
答案：A
9．参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
解析：由y＝cos2＝＝，
可得sinθ＝2y－1，由x＝得x2－1＝sinθ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y，
又x＝∈[0，]．
答案：D
10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成的图形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1，如图．
围成的图形为△OPQ，可得
S△OPQ＝|OQ|·|yP|＝×1×＝.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参 ( http: / / www.21cnjy.com )数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π))，则圆C的圆心坐标为__________，圆心到直线l的距离为__________．
解析：将消去参数得方程x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋(y－2)2＝4，圆C的圆心坐标为(0,2)．将消去参数得方程为x＋y－6＝0，利用点到直线的距离公式得d＝＝2.
答案：(0,2) 2
12．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是__________．
解析：将ρ＝4sinθ化成直角坐标方程 ( http: / / www.21cnjy.com )为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d＝＝.
答案：
13．将参数方程(t为参数)转化成普通方程为__________．
解析：参数方程变为
∴－＝4.
∴－＝1.
答案：－＝1
14．在直角坐标系xOy中，曲线C ( http: / / www.21cnjy.com )1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为__________．
解析：曲线C1的普通方程是x2＋( ( http: / / www.21cnjy.com )y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交点个数是2.
答案：2
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.
由于M点在C1上，所以
即
从而C2的参数方程为(α为参数)．
(6分)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sinθ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.(12分)
16．(12分)在平面直角坐标系中，以坐标原 ( http: / / www.21cnjy.com )点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
又P为线段MN的中点，
从而点P的平面直角坐标为，
故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(6分)
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交．(12分)
17．(12分)曲线的极坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标方程为ρ＝，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|＋|CD|有最小值？并求出这个最小值．
解：由题意，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，C，
D.(2分)
则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)
＝＋＋＋
＝.(6分)
∴当sin22θ＝1即θ＝或θ＝π时，两条直线的倾斜角分别为，时，|AB|＋|CD|有最小值16.(12分)
18．(14分)已知某圆的极坐标方程为
ρ2－4ρcos＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为
ρ2－4ρ＋6＝0，
即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x ( http: / / www.21cnjy.com )＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．
设cosθ＝，sinθ＝，所以参数方程为(θ为参数)．(7分)
(2)由(1)可知
xy＝(2＋cosθ)·(2＋sinθ)
＝4＋2(cosθ＋sinθ)＋2cosθ·sinθ
＝3＋2(cosθ＋sinθ)＋(cosθ＋sinθ)2.
设t＝cosθ＋sinθ，则
t＝sin，t∈[－，]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时xy有最小值为1；
当t＝时，xy有最大值为9.(14分)
