【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-4单元测评二　参数方程

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单元测评(二)　参数方程
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．方程(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是(　　)
A．(2，－7)　　　　　　 B．(1,0)
C. D.
解析：由y＝cos2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是
y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
答案：C
2．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为(　　)
A. B.
C. D.
解析：
把直线代入x2＋y2＝9得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0，
|t1－t2|＝＝ ＝，弦长为|t1－t2|＝.
答案：B
3．直线(t为参数)的斜率是(　　)
A．2 B.
C．－2 D．－
解析：由
①×2＋②得2x＋y－1＝0，∴k＝－2.
答案：C
4．若圆的参数方程为(θ为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是(　　)
A．过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：直线与圆的普通方程分别为3x－y＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2＝0与(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心(－1,3)到直线的距离d＝＝＝，而d＜2且d≠0，
故直线与圆相交而不过圆心．
答案：B
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线为(　　)
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sinθ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
答案：A
6．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为(　　)
A．3＋ B．5＋
C．5 D．6
解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)，
x＋y＝2＋2cosθ＋1＋sinθ＝3＋sin(θ＋φ)，
∴(x＋y)max＝3＋.
答案：A
7．过点(3，－2)且与曲线(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：化为普通方程是＋＝1.
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
答案：A
8．已知曲线(θ为参数且0≤θ≤)上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设P(3cosθ，5sinθ)，
则|OP|2＝9cos2θ＋25sin2θ
＝9＋16sin2θ＝13，
得sin2θ＝.又0≤θ≤，
∴sinθ＝，cosθ＝.
∴x＝3cosθ＝.
y＝5sinθ＝.
∴P坐标为.
答案：A
9．设曲线与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：令y＝0得：sinθ＝0，∴cosθ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．
设P(2cosθ，sinθ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
答案：A
10．曲线(θ为参数)的图形是(　　)
A．第一、三象限的平分线
B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
C．以(－a，－a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、(a，a)为端点的线段
D．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
解析：显然y＝x，而x＝asinθ＋aco ( http: / / www.21cnjy.com )sθ＝asin，－|a|≤x≤|a|.故图形是以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径为__________．
解析：平方相加得x2＋y2＝9sin2θ＋ ( http: / / www.21cnjy.com )24sinθcosθ＋16cos2θ＋16sin2θ－24sinθcosθ＋9cos2θ＝25，所以圆的半径为5.21世纪教育网版权所有
答案：5
12．设直线l1的参数方程 ( http: / / www.21cnjy.com )为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x－4，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为__________．
解析：将直线l1的方程化为普通方程得3 ( http: / / www.21cnjy.com )x－y＋a－3＝0，直线l2方程即3x－y－4＝0，由两平行线的距离公式得＝ |a＋1|＝10 a＝9或a＝－11.21cnjy.com
答案：9或－11
13．直线y＝2x－与曲线(φ为参数)的交点坐标为__________．
解析：
将①代入②中，得y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
∴2x2＋y＝1.
由解之得或(舍去)．
答案：
14．已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27.则大圆被小圆截得的劣弧的长为__________．21·cn·jy·com
解析：设O1的参数方程为：
(0≤θ＜2π)．
将上式代入圆O的方程得：
(3＋3cosθ)2＋(3sinθ)2＝9.
整理得：cosθ＝－，
∴θ1＝，θ2＝.
∠MO1N＝－＝.
∴的长为：3·＝π.
答案：π
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)求直线(t为参数)被曲线ρ＝cos所截的弦长．
解：将方程ρ＝cos分别化为普通方程3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，
(6分)
圆心C，
半径为，圆心到直线的距离d＝，
弦长＝2＝2 ＝.
(12分)
16．(12分)在平面直角坐标系x ( http: / / www.21cnjy.com )Oy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．www.21-cn-jy.com
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.因此C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.2·1·c·n·j·y
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.【来源：21·世纪·教育·网】
(6分)
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A ( http: / / www.21cnjy.com )2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝.(12分)21·世纪*教育网
17．(12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－的直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．www-2-1-cnjy-com
(1)求BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
解：(1)直线参数方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2－t＋9＝0.
∴tM＝＝，则
xM＝，yM＝，中点坐标为M.
(6分)
(2)设切线方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2＋(10cosα－6sinα)t＋9＝0.
Δ＝(10cosα－6sinα)2－36＝0，cosα＝0或tanα＝.
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－＝3sinα－5cosα，t1＝3，t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，.(12分)
18．(14分)在双曲线x2－2y2＝2上求一点P，使它到直线x＋y＝0的距离最短，并求这个最短距离．21教育网
解：设双曲线－y2＝1上一点P(secα，tanα)(0≤α＜2π，且α≠，α≠π)，则它到直线x＋y＝0的距离为d＝＝.
于是d2＝，化简得：(1＋2d2)sin2α＋2sinα＋2(1－d2)＝0.(4分)
∵sinα是实数，
∴Δ＝(2)2－8(1＋2d2)(1－d2)≥0，
∴d≥.(6分)
当d＝时，sinα＝－，
∴α＝π或π，这时x0＝－2，y0＝1.
或x0＝＝2，y0＝tanπ＝－1.(10分)
故当双曲线上的点P为(－2,1)或(2，－1)时，
它到直线x＋y＝0的距离最小，这个最小值为.
(14分)
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