【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-4单元测评一　坐标系

单元测评(一)　坐标系
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．点M的极坐标为，则它的直角坐标为(　　)
A．(，1)　　　　　　　 B．(－1，)
C．(1，) D．(－，－1)
解析：x＝ρcosθ＝2cos＝1，y＝ρsinθ＝2sin＝.
∴它的直角坐标为(1，)．
答案：C
2．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－2)的极坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x2＋y2，
tanθ＝(x≠0)．把点(－2，－2)代入即可得ρ＝4，
tanθ＝，因为点(－2，－2)在第三象限，
所以θ＝.
答案：B
3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为(　　)
A. B.
C. D.
解析：方法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，∴2＋2＝4.
令得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换为所求．
方法二：将x2＋y2＝4改写为x′2＋y′2＝4，
设满足题意的伸缩变换为
代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，
即＋＝1.
与椭圆＋＝1比较系数得
解得
∴伸缩变换为即
答案：D
4．曲线的极坐标方程为ρ＝4sinθ，化成直角坐标方程为(　　)
A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
解析：由直角坐标和极坐标的互化公式y＝ρsinθ，即ρ2＝x2＋y2，可得x2＋y2＝4y，整理得：x2＋(y－2)2＝4.
答案：B
5．圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析：方法一：∵圆ρ＝(cosθ＋sinθ)＝2sin，可以看作由圆ρ＝2sinθ顺时针旋转得到．
而ρ＝2sinθ的圆心为，顺时针旋转得到，
∴ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标为.
方法二：圆ρ＝(cosθ＋sinθ)直角坐标方程为
x2＋y2－x－y＝0，
∴2＋2＝1，
圆心的直角坐标为，化为极坐标为.
答案：A
6．已知点P的极坐标为(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是(　　)
A．ρ＝1 B．ρ＝cosθ
C．ρ＝－ D．ρ＝
解析：由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为x＝－1，即ρcosθ＝－1.
答案：C
7．曲线θ＝与ρ＝6sinθ的两个交点之间的距离为(　　)
A．1 B.
C．3 D．6
解析：极坐标方程θ＝，ρ＝6sinθ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C，∠AOC＝，
∴|AO|＝2×3×cos＝6×＝3.
答案：C
8．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：方法一：点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点为，即.
方法二：点M的直角坐标为＝，
直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，
点关于直线y＝x的对称点为，再化为极坐标即.
答案：A
9．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为(　　)
A. B.
C．2 D．2
解析：圆ρ＝4cosθ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，
在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，
∴|CD|＝.
答案：B
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r＞0)的公共弦所在直线的方程为(　　)
A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r
B．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
C.ρ(sinθ＋cosθ)＝r
D.ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
解析：圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①
圆ρ＝－2rsin
＝－2r
＝－r(sinθ＋cosθ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsinθ＋ρcosθ)，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②
①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆 ( http: / / www.21cnjy.com )公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．直线xcosα＋ysinα＝0的极坐标方程为__________．
解析：ρcosθcosα＋ρsinθsinα＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝.
答案：θ＝＋α
12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcosθ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为__________．
解析：将ρ2＝4ρcosθ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－≤k≤.
答案：
13．已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为__________，球坐标为__________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由得
由得
即
∴点M的直角坐标为，
球坐标为.
答案：　
14．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝__________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)极坐标系中，求点(m＞0)到直线ρcos＝2的距离．
解：将直线极坐标方程化为
ρ＝2，
化为直角坐标方程为x＋y－4＝0，点的直角坐标为，(6分)
所以点到直线 x＋y－4＝0的距离为＝＝|m－2|.
(12分)
16．(12分)极坐标方程ρ＝－cosθ与ρcos＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－cosθ可变为ρ2＝－ρcosθ，化为普通方程为x2＋y2＝－x，即2＋y2＝，
它表示圆心为，半径为的圆．
(6分)
将ρcos＝1化为普通方程为
x－y－2＝0.
∵圆心到直线的距离为
＝＞1，
∴直线与圆相离．(12分)
17．(12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．(6分)
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径
PC＝ ＝1，
(10分)
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(12分)
18．(14分)已知线段BB′＝4，直线l ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：以O为原点，BB′为y ( http: / / www.21cnjy.com )轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.(6分)
设M(x，y)，则由解得
(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y ( http: / / www.21cnjy.com )2＝36(x≠0)，所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．(14分)