选修4－1(A版) 高考真题集训
课时作业(14) 2013年高考真题集训
作业设计 限时：40分钟 满分：90分
一、填空题：每小题5分，共35分．
1．(2013·北京)如图，AB为圆O ( http: / / www.21cnjy.com )的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.
解析：由PD∶DB＝9∶16，
设PD＝9k，DB＝16k，则
PB＝PD＋DB＝25k，由切割线定理可得
PA2＝PD·PB，即32＝9k×25k，解得k＝，
∴PD＝9k＝，PB＝25k＝5，
在Rt△PBA中，AB＝＝＝4.
答案： 4
2．(2013·天津)如图，△ABC为圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为__________．
解析：∵AE与圆相切于点A，
∴∠EAB＝∠ACB.
又AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，又BD∥AC，即BE∥AC，
∴四边形AEBC为平行四边形，
∴AE＝BC＝6，
由AE2＝EB·ED，得BE＝4，
∴AC＝4，又△ACF∽△DBF，∴＝，
即＝，解得x＝.
答案：
3．(2013·广东)如图，AB是 ( http: / / www.21cnjy.com )圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝__________.
解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝CD，∴AB＝AD＝6，又∵ED＝2，
∴在Rt△ACD中，CD2＝DE·AD＝2×6，
∴CD＝2，
∴BC＝2.
答案：2
4．(2013·湖南)如图，在半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )的⊙O中，弦AB, CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．
解析：由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，
则PC＝＝＝4，
∴CD＝PC＋PD＝5.
又∵r＝，CD＝5，由CD＝2，
得：5＝2，解得d＝.
答案：
5．(2013·陕西)如图，弦AB与C ( http: / / www.21cnjy.com )D相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.
解析：如题图，∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C，
又∵∠C＝∠A，∴∠PED＝∠A，
又∵∠P是公共角，∴△PDE∽△PEA，
∴＝，∴PE2＝PD·PA＝2×3＝6，
∴PE＝.
答案：
6．(2013·湖北)如图， ( http: / / www.21cnjy.com )圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为__________．
解析：设AD＝1，则AB＝3，BD＝2，半径R＝.
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵CD⊥AB，
∴CD2＝AD·BD＝1×2＝2.
在Rt△COD中CD2＝CE·CO，∴2＝CE×，
∴CE＝.
DO2＝OE·CO，∴2＝OE×，
∴＝OE×，∴OE＝，
∴＝＝8.
答案：8
7．(2013·重庆)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．
解析：在Rt△ABC中，BC＝AB·sin60°＝10，
在Rt△BCD中，∠BCD＝180°－∠C－∠ABC＝180°－90°－30°＝60°，BC＝10，
∴CD＝BCcos60°＝5，BD＝BC·sin60°＝15，
由切割线定理CD2＝DE·DB得
DE＝＝＝5.
答案：5
二、解答题：第8题15分，第9题、10题各20分，共55分．
8．(2013·新课标Ⅱ)如图，CD为△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆．
若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
解：因为CD为△ABC外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A，
因为CD为△ABC外接圆的切线，
所以∠DCA＝90°，由∠DCB＋∠BCA＝90°，
所以∠A＋∠BCA＝90°.
又因为B、E、F、C四点共圆．
所以∠CBA＝90°.
因此CA是△ABC外接圆的直径．
连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E ( http: / / www.21cnjy.com )，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
9．(2013·新课标Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
解：(1)连接DE，交BC于点G，
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，
又∵∠ABE＝∠CBE.
故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为DB⊥BE；所以DE为直径，
∴∠DBE＝∠DCE＝90°.
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，所以BG＝.
又DE中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°.
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
10．(2013·辽宁)如图，AB为⊙O的直 ( http: / / www.21cnjy.com )径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得
∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，
从而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
从而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.模块综合测评 选修4－1(A版)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．如图⊙O中，弦AB与弦CD相交于点P，∠B＝38°，∠APD＝80°，则∠A等于( )
A．38° B．42°
C．80° D．118°
解析：∵∠B＝38°，∠APD＝80°，∴∠D＝∠APD－∠B＝80°－38°＝42°，∴∠A＝∠D＝42°.
答案：B
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝12，BC＝5，则CD的长为( )
A. B.
C. D.
解析：∵AC＝12，BC＝5，∠ACB＝90°，∴AB＝13.
又∵CD⊥AB，∴CD·AB＝AC·BC，
即CD＝＝＝.
答案：A
3．如图，四边形BDEF是平行四边形，如果CD∶DB＝2∶3，那么S BDEF是S△ABC的( )
A. B.
C. D.
解析：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA.
∴＝2.
又CD∶DB＝2∶3，∴CD∶CB＝2∶5，
∴＝2＝2＝，
∴S△CDE＝S△CAB.
∵DE∥AB，∴＝＝.∴＝.
同理，S△AFE＝S△CAB，
∴S BDEF＝S△ABC－S△AFE－S△EDC＝S△ABC－S△ABC－S△ABC＝S△ABC.
答案：D
4．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG∶GD等于( )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
解析：作EM∥AD交CG于点M，易得△GFD≌△MFE，
∴ME＝GD，∵ME为△CAG的中位线，∴ME＝AG，则＝＝.
答案：A
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )
A．120° B．136°
C．144° D．150°
解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°.
又∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，
∴∠BCD＝×180°＝108°，
∴∠A＝180°－108°＝72°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.
答案：C
6．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B.如果OP＝4，PA＝2，那么∠AOB等于( )
A．90° B．100°
C．110° D．120°
解析：由题意可知Rt△AOP≌Rt△BOP，sin∠AOP＝＝＝，∴∠AOP＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOP＝120°.
答案：D
7．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
解析：∵OA＝OC，∠A＝35°，
∴∠ACO＝∠A＝35°，
∴∠POC＝∠A＋∠ACO＝70°.
∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，
∴∠P＝90°－∠POC＝20°.
答案：B
8．如图所示，已知Rt△ABC中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F.若AC＝1，BC＝3，则⊙O的半径为( )
A. B. C. D.
解析：连接OE、OF，则四边形CEOF为正方形，
Rt△ABC∽Rt△OBF，∴＝，
∴＝，∴OF＝，即半径为.
答案：C
9．如图，PAB，PCD为⊙O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，则AC∶BD等于( )
A．1∶3 B．5∶12
C．5∶7 D．5∶11
解析：由割线定理，得PA·PB＝PC·PD，
∴5×(5＋7)＝PC(PC＋11)，
∴PC＝4或PC＝－15(舍去)．
又PA·PB＝PC·PD，即＝，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PDB.∴＝＝＝.
答案：A
10．如图，已知A，B两点的坐标分别为(2 ( http: / / www.21cnjy.com ),0), (0,2)，⊙C的圆心坐标为(－1,0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( )
A．2 B．1
C．2－ D．2－
解析：AD与⊙C在x轴上方相切时，△ABE ( http: / / www.21cnjy.com )的面积有最小值．连接CD，则∠ADC＝90°.AC＝3，CD＝1，由勾股定理，得AD＝＝＝2.过切点D作DF⊥AC，垂足为F.由△ACD∽△DCF，得＝＝，＝＝，解得CF＝，DF＝.
则AF＝AC－CF＝3－＝.
由△AOE∽△AFD，得＝，＝，OE＝.
则△ABE的最小面积是×BE×OA＝××2＝2－.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )DE和FG都平行于BC，并把△ABC面积分成S1∶S2∶S3＝1∶4∶10.若BC＝15，则DE＝__________，FG＝__________.
解析：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∴＝2，
设S1＝k，则S2＝4k，S3＝10k，则＝2，解得DE＝(负值舍去)．
同理＝2，
∴＝2，解得FG＝5(负值舍去)．
答案： 5
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，延长AB到D，使BD＝AB，则CD与CE的关系是__________．
解析：∵E是AB的中点，∴＝.
∵AB＝AC，
∴＝.
又AB＝AC＝BD，
∴＝.
∴＝，∠A＝∠A，
∴△AEC∽△ACD，
∴＝＝，
∴CD＝2CE.
答案：CD＝2CE
13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦 ( http: / / www.21cnjy.com )，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为__________．
解析：设CD＝x，则AD＝4x，
因为AF·FB＝CF·FE，所以CF＝2，
又＝＝ BD＝，
又BD2＝x·4x x＝.
答案：
14．如图，AB是圆O的直径，P在 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的延长线上，PD切圆O于点C.已知圆O半径为，OP＝2，则PC＝__________；∠ACD的大小为__________．
解析：连接OC，由切割线定理，得PC2＝PB·PA＝(2－)(2＋)＝1，
∴PC＝1，∵PD切圆O于点C，
∴△OPC为直角三角形，
∴sin∠POC＝＝，
∴∠POC＝30°，
∴∠AOC＝150°，弧AC为150°的弧，
∴∠ACD＝75°.
答案：1 75°
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC.
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠DEC，∠B＋∠C＝180°.
∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC.(6分)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝4.
又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD.
在Rt△ADE中，
DE＝＝＝6，
∵△ADF∽△DEC，∴＝.
∴＝，AF＝2.(12分)
16．(12分)如图所示，已知⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．
解：(1)连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠BAC＝∠E，
∴∠D＝∠E，
∴AD∥EC.(4分)
(2)设BP＝x，PE＝y，
∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12，①
∵AD∥EC，∴＝ ＝＝3，②
由①②得，或(舍去)，
∴DE＝9＋x＋y＝16，
∵AD是⊙O2的切线，
∴AD2＝DB·DE＝9×16＝144，
∴AD＝12.(12分)
17．(12分)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以DE∥BC，又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD，而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(6分)
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF，
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，
又∠GDB＝∠EFC＝∠DCF，∠DCF＝∠BDC，
∴∠GDB＝∠BDC.
故△BCD∽△GBD.(12分)
18．(14分)如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB2＝FA·FD；
(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．
解：(1)∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，
又∠DAC＝∠FBC，
∴∠FBC＝∠FCB.
∴FB＝FC.(4分)
(2)∵∠FBC＝∠FAB＝∠FCB，
∠AFB＝∠BFD，
∴△FBA∽△FDB，＝，
∴FB2＝FA·FD.(8分)
(3)AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠EAC＝120°，
∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.
∴∠D＝30°，
∵BC＝6 cm，
∴AC＝2 cm，
∴AD＝2AC＝4 cm.(14分)
