【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评二 直线与圆的位置关系
文档属性
| 名称 | 【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评二 直线与圆的位置关系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-07 07:35:17 | ||
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文档简介
单元测评(二) 直线与圆的位置关系
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝70°，则∠ABC的度数是( )
A．20° B．40°
C．70° D．45°
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
又∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝90°－70°＝20°.
答案：A
2．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，则BC＝( )
A．2 B．1
C．2 D．2－2
解析：延长BC交AD的延长线于点P，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠P＝30°，
∠CDP＝∠B＝90°.
在Rt△CDP中，CD＝1，
∴PC＝2.
在Rt△ABP中，
BP＝AB＝2，
∴BC＝BP－PC＝2－2.
答案：D
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点P，PA＝2，PC＝6，PD＝4，则AB等于( )
A．3 B．8
C．12 D．14
解析：要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知PA·PB＝PC·PD，解得PB＝＝＝12，故AB＝PA＋PB＝14.
答案：D
4．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，已知PA＝6，PO＝12，AB＝，则⊙O的半径为( )
A．4 B．6－
C．6＋ D．8
解析：设⊙O的半径为r，
由割线定理有PA·PB＝PC·PD，
∴PA(PA＋AB)＝(PO－r)(PO＋r)．
∴6×＝(12－r)(12＋r)，解得r＝8.
答案：D
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝，AC＝2，则cosB的值是( )
A. B.
C. D.
解析：在⊙O中，＝，所以∠B＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，
∴DC＝＝，
∴cosB＝cosD＝＝.
答案：B
6．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为( )
A．78 B．65
C．45 D．37
解析：如图所示，不妨设⊙O与AB交于F，分别连接OE，DF.
根据切线的性质，可得OE⊥BC.
∵OE，AB，CD都是平行的，
又∵O是AD的中点，
∴r＝OE＝(AB＋CD)
＝×(9＋4)＝.
又∵AF＝AB－CD＝5，
在Rt△ADF中，
DF＝＝＝12，
∴S＝(AB＋CD)·DF
＝×13×12＝78.
答案：A
7．如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B为切点，则∠AOB等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：连接O′A，O′B，OO′，有O′A⊥OA，O′B⊥OB，
∵OO′＝2O′A＝2O′B，
∴∠AOO′＝∠BOO′＝30°，
∴∠AOB＝60°.
答案：C
8．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC等于( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：∵AB是直径，∴AC⊥CB.
∴cos∠ABC＝＝.
∴∠B＝60°.
由弦切角定理得∠DCA＝∠B＝60°，
又AD⊥l，故∠DAC＝30°.
答案：B
9．如图，AB，AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD.如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )
A．70° B．64°
C．62° D．51°
解析：∵AB，AC为⊙O的切线，
∴∠CAO＝∠BAO，又∵OB＝BD，
∴∠OAB＝∠DAB，∵∠DAC＝78°，
∴∠OAD＝×78°＝52°，∴∠ADO＝64°.
答案：B
10．如图，PA，PB切⊙O于点A，B， ( http: / / www.21cnjy.com )过P点在∠APB内引一割线PEF，过B点作BC∥PE，与⊙O交于点C，连接AC，与EF交于点M，则下列结论成立的是( )
A．EM＞FM B．EM＜FM
C．EM＝FM D．EM＝2FM
解析：∵PB切⊙O于点B，
∴∠1＝∠2.
又∵PE∥BC，
∴∠2＝∠3，
故有∠1＝∠3.
∴B，M，A，P四点共圆．
而O，A，P，B四点也共圆，
∵过A，P，B三点的圆只有一个，
∴O，M，A，P，B五点共圆．
连接OA，OM，有OA⊥PA，即∠OAP＝90°.
又∵∠OMP＝∠OAP＝90°，即OM⊥EF，
∴EM＝FM.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为__________．
解析：取AB的中点为E，连接OC，OE，则CD＝＝，要求CD的最大值，则点D与E重合，可知结果为2.
答案：2
12．如图，CD是⊙O的直径，BE切⊙O于B点，DC的延长线交BE于A，∠A＝20°，则∠DBE＝__________.
解析：在Rt△OBA中，
∵∠A＝20°，∴∠AOB＝70°.
∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.
又∵∠DBE＝∠BOD，∴∠DBE＝55°.
答案：55°
13．如图所示，过圆C外一点P作一条直线与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆C交于A，B两点，BA＝2AP，PT与圆C相切于T点，已知圆C的半径为2，∠CAB＝30°，则PT＝__________.
解析：如图所示，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，CA＝2，
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
所以AD＝.
则AB＝2AD＝2，
又PT是圆C的切线，
所以PT2＝PA·PB＝AB·AB＝AB2＝(2)2＝9，所以PT＝3.
答案：3
14．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝4，则CD＝__________.
解析：根据射影定理得CB2＝BD·BA，即(4)2＝BD(BD＋2)，∴BD＝6，∴CD2＝AD×BD＝12，得CD＝2.
答案：2
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点，求证：∠DPB＝∠DCP.
证明：因为PA与圆O相切于点A，
所以DA2＝DB·DC.(2分)
因为D为PA中点，所以DP＝DA，
所以DP2＝DB·DC，即＝.(6分)
因为∠BDP＝∠PDC，所以△BDP∽△PDC，
所以∠DPB＝∠DCP.(12分)
16．(12分)如图所示，已知半圆的直径A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝6 cm，CD是半圆上长为2 cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由．
解：是．理由如下，如图所示，连接BC.
∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，
∴∠PBC为定值，
∴∠P＝∠ACB－∠PBC＝90°－∠PBC，为定值．(6分)
∵∠PCD＝∠PBA，
∴△PCD∽△PBA，
∴＝＝＝.
在Rt△PBC中，cos∠P＝＝，
∴sin∠P＝ ＝.(12分)
17．(12分)如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．
解：如图所示，连接CE.
∵ PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，
∴PA2＝PB·PC.
又∵PA＝10，PB＝5，
∴PC＝20，BC＝15.
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAB＝∠ACP.(6分)
又∠P为公共角，△PAB∽△PCA，
∴＝＝＝.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AC2＋AB2＝BC2＝225，
∴AC＝6，AB＝3，
又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB.
∴△ACE∽△ADB，
∴＝，
∴AD·AE＝AB·AC＝90.(12分)
18．(14分)已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.
(1)如图，求证：EB＝EC＝ED；
(2)试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC.若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)连接BD，由于ED，EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OE，即OE∥AC，
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED.(6分)
(2)在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C，
①当∠DEC＞∠C时，有180°－2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F满足条件，
在△DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求，
这是因为：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE，
∴DE2＝DF·DC，
即2＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，
即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，
于是，DF＝DC＝DE，仍有
BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③当∠DEC＜∠C时，
即180°－2∠C＜∠C,60°＜∠C＜90°，
所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.
综上可知：当0°＜∠C≤60°时，在线段DC上存在点F，满足BC2＝4DF·DC.F位置如图所示．(14分)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝70°，则∠ABC的度数是( )
A．20° B．40°
C．70° D．45°
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
又∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝90°－70°＝20°.
答案：A
2．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，则BC＝( )
A．2 B．1
C．2 D．2－2
解析：延长BC交AD的延长线于点P，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠P＝30°，
∠CDP＝∠B＝90°.
在Rt△CDP中，CD＝1，
∴PC＝2.
在Rt△ABP中，
BP＝AB＝2，
∴BC＝BP－PC＝2－2.
答案：D
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点P，PA＝2，PC＝6，PD＝4，则AB等于( )
A．3 B．8
C．12 D．14
解析：要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知PA·PB＝PC·PD，解得PB＝＝＝12，故AB＝PA＋PB＝14.
答案：D
4．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，已知PA＝6，PO＝12，AB＝，则⊙O的半径为( )
A．4 B．6－
C．6＋ D．8
解析：设⊙O的半径为r，
由割线定理有PA·PB＝PC·PD，
∴PA(PA＋AB)＝(PO－r)(PO＋r)．
∴6×＝(12－r)(12＋r)，解得r＝8.
答案：D
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝，AC＝2，则cosB的值是( )
A. B.
C. D.
解析：在⊙O中，＝，所以∠B＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，
∴DC＝＝，
∴cosB＝cosD＝＝.
答案：B
6．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为( )
A．78 B．65
C．45 D．37
解析：如图所示，不妨设⊙O与AB交于F，分别连接OE，DF.
根据切线的性质，可得OE⊥BC.
∵OE，AB，CD都是平行的，
又∵O是AD的中点，
∴r＝OE＝(AB＋CD)
＝×(9＋4)＝.
又∵AF＝AB－CD＝5，
在Rt△ADF中，
DF＝＝＝12，
∴S＝(AB＋CD)·DF
＝×13×12＝78.
答案：A
7．如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B为切点，则∠AOB等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：连接O′A，O′B，OO′，有O′A⊥OA，O′B⊥OB，
∵OO′＝2O′A＝2O′B，
∴∠AOO′＝∠BOO′＝30°，
∴∠AOB＝60°.
答案：C
8．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC等于( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：∵AB是直径，∴AC⊥CB.
∴cos∠ABC＝＝.
∴∠B＝60°.
由弦切角定理得∠DCA＝∠B＝60°，
又AD⊥l，故∠DAC＝30°.
答案：B
9．如图，AB，AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD.如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )
A．70° B．64°
C．62° D．51°
解析：∵AB，AC为⊙O的切线，
∴∠CAO＝∠BAO，又∵OB＝BD，
∴∠OAB＝∠DAB，∵∠DAC＝78°，
∴∠OAD＝×78°＝52°，∴∠ADO＝64°.
答案：B
10．如图，PA，PB切⊙O于点A，B， ( http: / / www.21cnjy.com )过P点在∠APB内引一割线PEF，过B点作BC∥PE，与⊙O交于点C，连接AC，与EF交于点M，则下列结论成立的是( )
A．EM＞FM B．EM＜FM
C．EM＝FM D．EM＝2FM
解析：∵PB切⊙O于点B，
∴∠1＝∠2.
又∵PE∥BC，
∴∠2＝∠3，
故有∠1＝∠3.
∴B，M，A，P四点共圆．
而O，A，P，B四点也共圆，
∵过A，P，B三点的圆只有一个，
∴O，M，A，P，B五点共圆．
连接OA，OM，有OA⊥PA，即∠OAP＝90°.
又∵∠OMP＝∠OAP＝90°，即OM⊥EF，
∴EM＝FM.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为__________．
解析：取AB的中点为E，连接OC，OE，则CD＝＝，要求CD的最大值，则点D与E重合，可知结果为2.
答案：2
12．如图，CD是⊙O的直径，BE切⊙O于B点，DC的延长线交BE于A，∠A＝20°，则∠DBE＝__________.
解析：在Rt△OBA中，
∵∠A＝20°，∴∠AOB＝70°.
∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.
又∵∠DBE＝∠BOD，∴∠DBE＝55°.
答案：55°
13．如图所示，过圆C外一点P作一条直线与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆C交于A，B两点，BA＝2AP，PT与圆C相切于T点，已知圆C的半径为2，∠CAB＝30°，则PT＝__________.
解析：如图所示，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，CA＝2，
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
所以AD＝.
则AB＝2AD＝2，
又PT是圆C的切线，
所以PT2＝PA·PB＝AB·AB＝AB2＝(2)2＝9，所以PT＝3.
答案：3
14．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝4，则CD＝__________.
解析：根据射影定理得CB2＝BD·BA，即(4)2＝BD(BD＋2)，∴BD＝6，∴CD2＝AD×BD＝12，得CD＝2.
答案：2
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点，求证：∠DPB＝∠DCP.
证明：因为PA与圆O相切于点A，
所以DA2＝DB·DC.(2分)
因为D为PA中点，所以DP＝DA，
所以DP2＝DB·DC，即＝.(6分)
因为∠BDP＝∠PDC，所以△BDP∽△PDC，
所以∠DPB＝∠DCP.(12分)
16．(12分)如图所示，已知半圆的直径A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝6 cm，CD是半圆上长为2 cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由．
解：是．理由如下，如图所示，连接BC.
∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，
∴∠PBC为定值，
∴∠P＝∠ACB－∠PBC＝90°－∠PBC，为定值．(6分)
∵∠PCD＝∠PBA，
∴△PCD∽△PBA，
∴＝＝＝.
在Rt△PBC中，cos∠P＝＝，
∴sin∠P＝ ＝.(12分)
17．(12分)如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．
解：如图所示，连接CE.
∵ PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，
∴PA2＝PB·PC.
又∵PA＝10，PB＝5，
∴PC＝20，BC＝15.
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAB＝∠ACP.(6分)
又∠P为公共角，△PAB∽△PCA，
∴＝＝＝.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AC2＋AB2＝BC2＝225，
∴AC＝6，AB＝3，
又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB.
∴△ACE∽△ADB，
∴＝，
∴AD·AE＝AB·AC＝90.(12分)
18．(14分)已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.
(1)如图，求证：EB＝EC＝ED；
(2)试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC.若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)连接BD，由于ED，EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OE，即OE∥AC，
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED.(6分)
(2)在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C，
①当∠DEC＞∠C时，有180°－2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F满足条件，
在△DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求，
这是因为：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE，
∴DE2＝DF·DC，
即2＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，
即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，
于是，DF＝DC＝DE，仍有
BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③当∠DEC＜∠C时，
即180°－2∠C＜∠C,60°＜∠C＜90°，
所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.
综上可知：当0°＜∠C≤60°时，在线段DC上存在点F，满足BC2＝4DF·DC.F位置如图所示．(14分)