【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评一 相似三角形的判定及有关性质
文档属性
| 名称 | 【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评一 相似三角形的判定及有关性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-07 07:35:53 | ||
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文档简介
单元测评(一) 相似三角形的判定及有关性质
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．如图，已知l1∥l2，AF∶FB＝2∶5，BC∶CD＝4∶1，则＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵l1∥l2，∴＝，＝.
又＝，∴＝.
又＝，∴＝，
∴＝·＝×＝2，∴＝2.
答案：B
2．(2013·东莞模拟)如图，点E是?ABCD边BC上一点，＝4，AE交BD于点F，那么等于( )21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
解析：如图在AD上取点G，使AG∶GD＝1∶4.
连接CG交BD于点H，则CG∥AE，
∴＝＝4，＝＝4，
∴＝.
答案：A
3．(2013·海口模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )
A．13 B. C. D.
解析：过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．
∴AH＝FG.
∵折叠后点B与点E重合，
∴B与E关于折痕FG对称，
∴BE⊥FG，∴BE⊥AH，
∴∠ABE＝∠DAH，
∴△ABE∽△DAH，
∴＝.
∵AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，
∴BE＝＝13，
∴FG＝AH＝＝.
答案：C
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD∶BC＝1∶3，对角线AC，BD交于点O，那么S△AOD∶S△BOC∶S△AOB等于( )21·cn·jy·com
A．1∶3∶1 B．1∶9∶1
C．1∶9∶3 D．1∶3∶2
解析：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AOD∶S△COB＝(1∶3)2＝1∶9.
又∵OD∶OB＝AD∶BC＝1∶3，
∴S△AOD∶S△AOB＝OD∶OB＝1∶3，
∴S△AOD∶S△BOC∶S△AOB＝1∶9∶3.
答案：C
5．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为( )www.21-cn-jy.com
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
解析：∵∠BAD为直角，AE⊥BD，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴＝2＝，
∴AB∶DB＝1∶.
设AB＝k，则DB＝k，AD＝2k.
∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40，
∴k＝2，
∴BD＝10，AD＝4.
由S△ABD＝BD·AE，得×10×AE＝20，
∴AE＝4 cm.
答案：A
6．如图，在△ABC中，E为AB上一点，若AE∶EB＝3∶2，CD∶DB＝3∶1，P为CE和AD的交点，则CP∶PE的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：过点E作EM∥AD交CB于点M.
∵EM∥AD，
∴AE∶AB＝DM∶DB＝3∶5，
∴DM＝DB，
又CP∶PE＝CD∶DM＝CD∶DB，
∴＝·＝×＝5.
答案：D
7．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于点D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD的长为( )21cnjy.com
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：如图，连接AC，CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理，得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，
∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD＞BD，∴AD＝9.
答案：B
8．(2013·广州高二检测)如图所示，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，若S△ACP∶S△BDP＝16∶9，则AC∶BD等于( )
A．3∶4 B．4∶3 C．9∶16 D．16∶9
解析：由∠A＝∠D，∠B＝∠C，得△APC∽△DPB.又S△ACP∶S△DBP＝16∶9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得AC∶BD＝4∶3.
答案：B
9．(2013·常德模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5.将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接CE交BD于点F.已知BE＝3，则BF∶DF等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．3∶5 B．5∶3 C．3∶4 D．4∶3
解析：∵△DBE是由△ABC绕点B旋转90°得到的，
∴∠DEB＝90°，CB＝BE＝3，BD＝AB＝5，
在Rt△DBE中，由勾股定理，得DE＝4.
∵∠D＋∠DBE＝90°，∠CBF＋∠DBE＝90°，
∴∠CBF＝∠D.
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴△BCF∽△DEF，∴＝＝.
答案：C
10．如图，已知M是?ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与?ABCD的面积之比为( )2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
解析：S△BMD＝S△ABD＝S?ABCD，
由BM∥CD，得△DCE∽△BME，
则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，
∴S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3，
即S△DME＝S△BMD，
又S△DME＝S△BCE，
∴S阴影＝2S△DME＝S△BMD＝×S?ABCD＝S?ABCD，
即S阴影∶S?ABCD＝1∶3.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为__________．21·世纪*教育网
解析：∵AE∥BC，
∴△BGF∽△AGE，
∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.
又∵D为AC的中点，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1.
∵BC＝10，∴AE＝5.
答案：5
12．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，在B时又测得该树的影长为8 m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m.
解析：如图，在Rt△CDE中，EF⊥CD.由射影定理，得EF2＝CF·DF＝2×8＝16，
∴EF＝4 m.
答案：4
13．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，在AC上截取AD＝4，在AB上取一点E，使△ADE与原三角形相似，则DE＝__________.
解析：如图，存在两种情况．
①当DE1∥BC时，
△ADE1∽△ACB，
＝，DE1＝6；
②当DE2A∥BC，
∠AE2D＝∠C时，
△ADE2∽△ABC，
＝，DE2＝×18＝8，
所以DE的长是6或8.
答案：6或8
14．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶S四边形ANME＝______.2·1·c·n·j·y
解析：设S△DMN＝a，
∵DM＝DE，DE＝BC，
∴DM＝BC，∴DN∶BN＝1∶4，
又∵BD＝AD，∴DN∶BD＝DN∶AD＝1∶3，
又∵DM＝DE，
∴S△DNM＝S△ADE，
∴S△ADE＝6a，
∴S四边形ANME＝S△ADE－S△DNM＝5a，
∴S△DMN∶S四边形ANME＝1∶5.
答案：1∶5
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)(2013·湛江模拟)如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)若＝，求的值；
(2)若点P为BC边上的任意一点，求证：－＝1.
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥DC.
∴＝＝，∴DC＝3BQ，
∴＝＝＝.(6分)
(2)∵DC∥BQ，∴＝，
∴＝.
∴－＝－＝1＋－＝1.
(12分)
16．(12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB，DC于E，F，交DA，BC的延长线于G，H.
(1)求证：PE·PG＝PF·PH；
(2)当过P点的直线绕点P旋转到F，H，C重合时，请判断PE，PC，PG的关系，并给出证明．
解：(1)∵AB∥CD，∴＝，
∵AD∥BC，∴＝，
∴＝.
∴PE·PG＝PH·PF.(6分)
(2)由题意可得到图形，关系式为PC2＝PE·PG，
∵AB∥CD，∴＝，
∵AD∥BC，∴＝，
∴＝，即PC2＝PE·PG.(12分)
17．(12分)已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB. 21*cnjy*com
(1)若点P在梯形内部，如图(1)．求证：BP2＝PE·PF；
(2)若点P在梯形的外部，如图(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．www-2-1-cnjy-com
图(1)
图(2)
解：(1)连接PC，
∵MN是梯形ABCD的对称轴，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB.
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，
∴∠ABP＝∠DCP.
又∵CE∥AB，
∴∠E＝∠ABP＝∠DCP，
而∠CPE＝∠FPC，
∴△CPE∽△FPC.
∴＝，即PC2＝PE·PF，
又∵PC＝BP，
∴BP2＝PE·PF.(6分)
(2)结论成立，连接PC，由对称性知PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB.
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，
即∠ABP＝∠DCP.
∵CE∥AB，
∴∠ABP＋∠PEC＝180°，
而∠DCP＋∠PCF＝180°，
∴∠PEC＝∠PCF，
又∵∠EPC＝∠CPF，
∴△EPC∽△CPF.
∴＝，即PC2＝PE·PF，
∴BP2＝PE·PF.(12分)
18．(14分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB＝10，BC＝3.
(1)如果M为AB上一点，且满足∠DMC＝∠A，求AM的长；
(2)如果点M在AB边上移动(点M与A，B不重合)，且满足∠DMN＝∠A，MN交BC延长线于N，设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．21教育网
解：(1)如图，设AM的长为x，
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴∠A＝∠B.
又∵∠A＝∠DMC，
∠1＋∠2＋∠A＝∠2＋∠DMC＋∠3＝180°，
∴∠1＝∠3，∴△ADM∽△BMC.
∴＝，即＝，
解之得x1＝1，x2＝9，
经检验都是原分式方程的根．
∴AM＝1或9.(7分)
(2)由(1)可证得△ADM∽△BMN，
∴＝，即＝，
∴y＝－x2＋x－3，
所以y关于x的函数关系式为
y＝－x2＋x－3(1≤x≤9)．(14分)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．如图，已知l1∥l2，AF∶FB＝2∶5，BC∶CD＝4∶1，则＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵l1∥l2，∴＝，＝.
又＝，∴＝.
又＝，∴＝，
∴＝·＝×＝2，∴＝2.
答案：B
2．(2013·东莞模拟)如图，点E是?ABCD边BC上一点，＝4，AE交BD于点F，那么等于( )21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
解析：如图在AD上取点G，使AG∶GD＝1∶4.
连接CG交BD于点H，则CG∥AE，
∴＝＝4，＝＝4，
∴＝.
答案：A
3．(2013·海口模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )
A．13 B. C. D.
解析：过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．
∴AH＝FG.
∵折叠后点B与点E重合，
∴B与E关于折痕FG对称，
∴BE⊥FG，∴BE⊥AH，
∴∠ABE＝∠DAH，
∴△ABE∽△DAH，
∴＝.
∵AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，
∴BE＝＝13，
∴FG＝AH＝＝.
答案：C
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD∶BC＝1∶3，对角线AC，BD交于点O，那么S△AOD∶S△BOC∶S△AOB等于( )21·cn·jy·com
A．1∶3∶1 B．1∶9∶1
C．1∶9∶3 D．1∶3∶2
解析：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AOD∶S△COB＝(1∶3)2＝1∶9.
又∵OD∶OB＝AD∶BC＝1∶3，
∴S△AOD∶S△AOB＝OD∶OB＝1∶3，
∴S△AOD∶S△BOC∶S△AOB＝1∶9∶3.
答案：C
5．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为( )www.21-cn-jy.com
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
解析：∵∠BAD为直角，AE⊥BD，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴＝2＝，
∴AB∶DB＝1∶.
设AB＝k，则DB＝k，AD＝2k.
∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40，
∴k＝2，
∴BD＝10，AD＝4.
由S△ABD＝BD·AE，得×10×AE＝20，
∴AE＝4 cm.
答案：A
6．如图，在△ABC中，E为AB上一点，若AE∶EB＝3∶2，CD∶DB＝3∶1，P为CE和AD的交点，则CP∶PE的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：过点E作EM∥AD交CB于点M.
∵EM∥AD，
∴AE∶AB＝DM∶DB＝3∶5，
∴DM＝DB，
又CP∶PE＝CD∶DM＝CD∶DB，
∴＝·＝×＝5.
答案：D
7．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于点D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD的长为( )21cnjy.com
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：如图，连接AC，CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理，得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，
∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD＞BD，∴AD＝9.
答案：B
8．(2013·广州高二检测)如图所示，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，若S△ACP∶S△BDP＝16∶9，则AC∶BD等于( )
A．3∶4 B．4∶3 C．9∶16 D．16∶9
解析：由∠A＝∠D，∠B＝∠C，得△APC∽△DPB.又S△ACP∶S△DBP＝16∶9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得AC∶BD＝4∶3.
答案：B
9．(2013·常德模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5.将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接CE交BD于点F.已知BE＝3，则BF∶DF等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．3∶5 B．5∶3 C．3∶4 D．4∶3
解析：∵△DBE是由△ABC绕点B旋转90°得到的，
∴∠DEB＝90°，CB＝BE＝3，BD＝AB＝5，
在Rt△DBE中，由勾股定理，得DE＝4.
∵∠D＋∠DBE＝90°，∠CBF＋∠DBE＝90°，
∴∠CBF＝∠D.
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴△BCF∽△DEF，∴＝＝.
答案：C
10．如图，已知M是?ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与?ABCD的面积之比为( )2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
解析：S△BMD＝S△ABD＝S?ABCD，
由BM∥CD，得△DCE∽△BME，
则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，
∴S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3，
即S△DME＝S△BMD，
又S△DME＝S△BCE，
∴S阴影＝2S△DME＝S△BMD＝×S?ABCD＝S?ABCD，
即S阴影∶S?ABCD＝1∶3.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为__________．21·世纪*教育网
解析：∵AE∥BC，
∴△BGF∽△AGE，
∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.
又∵D为AC的中点，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1.
∵BC＝10，∴AE＝5.
答案：5
12．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，在B时又测得该树的影长为8 m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m.
解析：如图，在Rt△CDE中，EF⊥CD.由射影定理，得EF2＝CF·DF＝2×8＝16，
∴EF＝4 m.
答案：4
13．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，在AC上截取AD＝4，在AB上取一点E，使△ADE与原三角形相似，则DE＝__________.
解析：如图，存在两种情况．
①当DE1∥BC时，
△ADE1∽△ACB，
＝，DE1＝6；
②当DE2A∥BC，
∠AE2D＝∠C时，
△ADE2∽△ABC，
＝，DE2＝×18＝8，
所以DE的长是6或8.
答案：6或8
14．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶S四边形ANME＝______.2·1·c·n·j·y
解析：设S△DMN＝a，
∵DM＝DE，DE＝BC，
∴DM＝BC，∴DN∶BN＝1∶4，
又∵BD＝AD，∴DN∶BD＝DN∶AD＝1∶3，
又∵DM＝DE，
∴S△DNM＝S△ADE，
∴S△ADE＝6a，
∴S四边形ANME＝S△ADE－S△DNM＝5a，
∴S△DMN∶S四边形ANME＝1∶5.
答案：1∶5
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)(2013·湛江模拟)如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)若＝，求的值；
(2)若点P为BC边上的任意一点，求证：－＝1.
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥DC.
∴＝＝，∴DC＝3BQ，
∴＝＝＝.(6分)
(2)∵DC∥BQ，∴＝，
∴＝.
∴－＝－＝1＋－＝1.
(12分)
16．(12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB，DC于E，F，交DA，BC的延长线于G，H.
(1)求证：PE·PG＝PF·PH；
(2)当过P点的直线绕点P旋转到F，H，C重合时，请判断PE，PC，PG的关系，并给出证明．
解：(1)∵AB∥CD，∴＝，
∵AD∥BC，∴＝，
∴＝.
∴PE·PG＝PH·PF.(6分)
(2)由题意可得到图形，关系式为PC2＝PE·PG，
∵AB∥CD，∴＝，
∵AD∥BC，∴＝，
∴＝，即PC2＝PE·PG.(12分)
17．(12分)已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB. 21*cnjy*com
(1)若点P在梯形内部，如图(1)．求证：BP2＝PE·PF；
(2)若点P在梯形的外部，如图(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．www-2-1-cnjy-com
图(1)
图(2)
解：(1)连接PC，
∵MN是梯形ABCD的对称轴，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB.
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，
∴∠ABP＝∠DCP.
又∵CE∥AB，
∴∠E＝∠ABP＝∠DCP，
而∠CPE＝∠FPC，
∴△CPE∽△FPC.
∴＝，即PC2＝PE·PF，
又∵PC＝BP，
∴BP2＝PE·PF.(6分)
(2)结论成立，连接PC，由对称性知PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB.
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，
即∠ABP＝∠DCP.
∵CE∥AB，
∴∠ABP＋∠PEC＝180°，
而∠DCP＋∠PCF＝180°，
∴∠PEC＝∠PCF，
又∵∠EPC＝∠CPF，
∴△EPC∽△CPF.
∴＝，即PC2＝PE·PF，
∴BP2＝PE·PF.(12分)
18．(14分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB＝10，BC＝3.
(1)如果M为AB上一点，且满足∠DMC＝∠A，求AM的长；
(2)如果点M在AB边上移动(点M与A，B不重合)，且满足∠DMN＝∠A，MN交BC延长线于N，设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．21教育网
解：(1)如图，设AM的长为x，
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴∠A＝∠B.
又∵∠A＝∠DMC，
∠1＋∠2＋∠A＝∠2＋∠DMC＋∠3＝180°，
∴∠1＝∠3，∴△ADM∽△BMC.
∴＝，即＝，
解之得x1＝1，x2＝9，
经检验都是原分式方程的根．
∴AM＝1或9.(7分)
(2)由(1)可证得△ADM∽△BMN，
∴＝，即＝，
∴y＝－x2＋x－3，
所以y关于x的函数关系式为
y＝－x2＋x－3(1≤x≤9)．(14分)