【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评三　圆锥曲线性质的探讨

单元测评(三)　圆锥曲线性质的探讨
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是(　　)
A．1　 　　B.　 　　C.　 　　D.
解析：∵平面与圆柱截口图形为椭圆，其离心率为e＝cos60°＝.
答案：D
2．一个圆的正射影不可能是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．线段
解析：当圆所在平面与射影平面平行时射影是圆，不平行时是椭圆，垂直时是线段，故不可能是抛物线．
答案：C
3．方程x2－3x＋2＝0的两根可作为(　　)
A．两个椭圆的离心率
B．一双曲线、一条抛物线的离心率
C．两双曲线的离心率
D．一个椭圆、一条抛物线的离心率
解析：方程的两根分别为x1＝1，x2＝2，椭圆：0＜e＜1，双曲线：e＞1，抛物线：e＝1.
答案：B
4．平面π与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60°，则平面与圆锥交线的离心率是(　　)
A．2 B. C. D.
解析：设平面π与轴线夹角为β，母线与轴线夹角为α，由题意，知β＝0°，α＝60°，∴e＝＝＝2.故选A.21·cn·jy·com
答案：A
5．已知圆柱的底面半径为2，平面π与圆柱斜截口图形的离心率为，则椭圆的长半轴长是(　　)
A．2 B. C．4 D.
解析：由题意知，短半轴b＝2，＝＝，
∴＝，解得a＝.故选B.
答案：B
6．下列结论中正确的是(　　)
①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的射影不可能是圆　②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形(平行四边形所在平面与投射线不平行)　③圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析：∵平面图形的射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了．www.21-cn-jy.com
∴①是错误的，③是正确的．
∵当平行四边形所在平面与投射线不平行时，平行线的平行射影仍然是平行线，
∴平行四边形的平行射影仍然是平行四边形，故②也正确．
答案：B
7．已知双曲线－＝1的准线经过椭圆＋＝1(b＞0)的焦点，则b等于(　　)
A．3 B. C. D.
解析：∵双曲线的准线为x＝±＝±1，椭圆焦点应为F(±，0)．由题意有＝1，
∴b＝(b＞0)．
答案：C
8．平面与圆锥轴线的夹角为30°，与圆锥面交线的离心率为，则圆锥母线与轴线的夹角为(　　)
A．60° B．45°
C．30° D．无法确定
解析：由题意β＝30°，e＝，所求角为α.
∵e＝，∴cosα＝＝.
∴α＝60°.故选A.
答案：A
9．如图，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，则PQ的长为(　　)
A．6 B. C．7 D．8
解析：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由已知可得a＝10，b＝6，c＝＝8，e＝＝.21教育网
由椭圆定义PF1＋PF2＝G1G2＝20.
又∵PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.
由离心率定义，＝.
∴PQ＝PF1＝.
答案：B
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：a＞0时，F，直线l的方程为y＝2.
令x＝0得y＝－.
∴S△OAF＝··＝4，解得a＝8.
同理a＜0时，得a＝－8，
∴抛物线方程为y2＝±8x，故选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．一平面与圆柱母线的夹角为30°，则该平面与圆柱面交线的离心率为__________．
解析：交线为椭圆，其离心率e＝cos30°＝.
答案：
12．已知圆锥母线与轴线夹角为60°，平面π与轴线夹角为45°，则平面π与圆锥交线的形状是__________，其离心率为__________．
解析：∵α＝60°＞45°＝β，∴平面π与圆锥的交线为双曲线，其离心率e＝＝＝.
答案：双曲线　
13．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为，则Dandelin球的半径是__________．
解析：由题意知解得
∴b＝＝.
∴Dandelin球的半径为.
答案：
14．已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是__________．2·1·c·n·j·y
解析：由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝＝4b，∴c＝＝b.
∴e＝＝或e＝cos30°＝.
设点P到焦点F1的距离为d，则＝，
∴d＝b.又PF1＋PF2＝2a＝4b，
∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)圆柱被平面α所截．已知AC是圆柱口在平面α上的最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH.21·世纪*教育网
(1)比较EF，GH的大小；
(2)若圆柱的底面半径为R，截面α与母线的夹角为θ，求CD.
解：(1)∵EG∥FH且EG＝FH，
∴四边形EFHG是平行四边形．
∴EF＝GH.(6分)
(2)过D作DP⊥AC于P.
在Rt△CDP中，
＝sin∠DCP，
∴CD＝.(12分)
16．(12分)已知椭圆的中心在原点、焦点在x轴上，长轴长为2，焦距为2，右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交椭圆于B点，若FA＝3FB，求AF的长．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵2a＝2，∴a＝.∵2c＝2，∴c＝1.
设B在l上的射影为B1，F在l上的射影为H，如图所示．
∵＝e＝＝，∴BB1＝BF.
又FA＝3FB，∴AB＝2BF.(6分)
在Rt△ABB1中，cos∠ABB1＝＝＝，
∴cos∠BFH＝.(10分)
∵FH＝－c＝2－1＝1.
∴在Rt△AFH中，AF＝＝＝.
(12分)
17．(12分)如图所示，已知圆锥母线与轴线的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin球的半径分别为R，r，且α＜β，R＞r，求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.www-2-1-cnjy-com
解：连接O1F1，O2F2，O1O2交F1F2于O点，
在Rt△O1F1O中，OF1＝＝.
在Rt△O2F2O中，OF2＝＝.
∴F1F2＝OF1＋OF2＝.(6分)
同理，O1O2＝.
连接O1A1，O2A2，过O1作O1H⊥O2A2，在Rt△O1O2H中，O1H＝O1O2·cosα＝·cosα.21世纪教育网版权所有
又O1H＝A1A2，
由切线长定理，容易验证G1G2＝A1A2，
∴G1G2＝·cosα.(12分)
18．(14分)如图所示，设球O1，O2分别与平面β切于点F1，F2.圆柱面与平面β的交线为椭圆，其中长轴为G1G2，O为中心．21cnjy.com
(1)过F1作F1Q⊥G1G2，若△QF1F2为等腰直角三角形(Q为椭圆上的点)，求椭圆的离心率；
(2)过椭圆上一点P作PO⊥F1F2，已知∠PF1F2＝30°，S△PF1F2＝，求球O1的半径．2-1-c-n-j-y
解：(1)∵△QF1F2为等腰直角三角形，
∴QF1＝F1F2＝2c，QF2＝2c.
由椭圆定义得QF1＋QF2＝2a,2c＋2c＝2a.
∴e＝＝＝＝－1.(6分)
(2)设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c.
由题意，得(8分)
解得(12分)
∴OP＝b＝，∴球O1的半径为.(14分)