第1章全等三角形（探究全等三角形中常见模型之一线三等角模型+半角模型+手拉手模型） （无答案）2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形（探究全等三角形中常见模型之一线三等角模型+半角模型+手拉手模型）
【典型例题】 题型一：一线三等角模型 “一线三等角”：指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的构图，这个角可以是直角、锐角或钝角。 【例题】在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【变式训练】 1.如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D． （1）求证：△BCE ≌△CAD； （2）若AD =12， BE =5，求ED的长． 2.（1）如图1，直线m经过等边三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°．求证：BD＋CE＝DE； （2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB＝120°，∠AEC＝120°．若BD＝3，CE＝7，求DE的长． 3.（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 4.已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，． （1）若直线经过的内部，． ①如图1，，，直接写出，，间的等量关系：__________． ②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明； （2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 题型二：半角模型(一般通过旋转构造全等三角形，再利用SAS证明全等) 【例题】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN. (1)求证：MN＝BM＋NC； (2)求△AMN的周长． 【变式训练】 1.如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 2.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证MN＝BM＋DN． （2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． 3.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间数量关系． （1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM＋CN． （2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM＋CN还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． （3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系． 4.问题背景： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． （2）小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； （3）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 5.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE＋FD成立； （1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 题型三：手拉手模型（一般利用SAS证明三角形全等） 【例题】图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． （1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论； （2）线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数； （3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 【变式训练】 1.已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE＝α，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当α＝60°时，求出∠AEB的度数． （2）如图2，当α＝90°时，若∠CBE＝∠BAE，CF＝2，AB＝4+2，求△ABF的面积． 2.如图，C为AB上一点，△ACD和△BCE为等边三角形，AE交CD于M，DB交CE于N．求证： （1）AE＝DB； （2）MN∥AB； （3）PC平分∠APB； （4）PC+PE＝PB． 3.已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． （1）发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系________，位置关系________； ②线段、、之间的关系是_________； （2）尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，则线段的长为________． 4.已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N． （1）以下结论正确的有； ①AD=BE ②∠EFD=60° ③MC=NC ④∠AMB=∠END （2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示． ①问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由； ②连接FC，如图3所示，求证：FC平分∠BFD 5.已知：等腰和等腰中，，，． （1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ； （2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．