单元测评(一) 计数原理(A卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )21·cn·jy·com
A．70种 B．112种
C．140种 D．168种
解析：方法一(直接法)：
分类完成：
第1类，甲参加或乙参加，有CC种挑选方法；
第2类，甲、乙都参加，有CC种挑选方法．
所以不同的挑选方法共有CC＋CC＝140种．
方法二(间接法)：
从甲、乙等10人中挑选4人共有C种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C－C＝140种． 21*cnjy*com
答案：C
2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙，丁两本不能连排，则不同的排法共有( )
A．12种 B．20种
C．24种 D．48种
解析：甲，乙看作一本，除去丙，丁后排列，再将丙，丁插入，共有AAA＝2×3×2×2＝24种．
答案：C
3．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．－5 B．5
C．－10 D．10
解析：Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝C·x10－2k·k·(－1)k＝C·x10－3k·(－1)k.
由10－3k＝4知k＝2，
即含x4的项的系数为C(－1)2＝10.
答案：D
4．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A．320 B．160
C．96 D．60
解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法．
答案：A
5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A．40 B．74
C．84 D．200
解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法CC＋CC＋CC＝74种．
答案：B
6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A＝6；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.
答案：B
7．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4×(－2＋)4＝1.
答案：A
8．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )
A．6A B．3A
C．2A D．AAA
解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A种选法，这两名女歌手有A种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A种排法，根据分步乘法计数原理，有AAA种出场方案．【出处：21教育名师】
答案：D
9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )
A．24种 B．36种
C．60种 D．66种
解析：先排甲、乙外的3人，有A种排法，再插入甲、乙两人，有A种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有AA＝36(种)．21*cnjy*com
答案：B
10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96
C．108 D．144
解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的偶数个数有C·A(A＋A·A)＝108个．www-2-1-cnjy-com
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有__________种．
解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C种选法，再将3人安排到三个科目，有A种不同排法，因此共有CA＝18种不同方案．
答案：18
12.5的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．
解析：(化简三项为二项)：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
所以所求的常数项为＝.
答案：
13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答)．www.21-cn-jy.com
解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有CCC＝1 260种．
答案：1 260
14．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有__________种．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，有C种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C种，所以共有C(C－C)＝240种不同选法．21·世纪*教育网
答案：240
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知二项式n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，
(1)求n；
(2)求展开式中含x项的系数；
(3)求展开式中所有含x的有理项．
解：(1)由已知得：4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.
(2分)
(2)二项展开式的通项为：
C(5x)4－rr＝C54－r(－1)rx4－r，
令4－r＝1?r＝2
所以含x项的系数：C52(－1)2＝150.(7分)
(3)由(2)得：4－r∈Z，(r＝0,1,2,3,4)，
即r＝0,2,4.
所以展开式中所有含x的有理项为：
第1项625x4，第3项150x，第5项x－2.
(12分)
16．(12分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．21cnjy.com
解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；(5分)2-1-c-n-j-y
第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．(10分)【版权所有：21教育】
根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．(12分)
17．(12分)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？21世纪教育网版权所有
解：(1)可以组成无重复数字的三位数AA＝648(个)；(2分)
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第AA＋A＋A＝156(个)；(4分)21教育名师原创作品
(3)可以组成无重复数字的四位偶数
A＋AAA＝2 296(个)．(分0占个位和0不占个位两种情况)．(6分)
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有
AA＋CCA＝1 140(个)．(分选出的偶数是0和不是0两种情况)(9分)
(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有
C＋C＋C＋…＋C＝210－C－C＝1 013(个)．(12分)
18．(14分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？21教育网
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋子有2只成双，另两只不成双．
解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．(4分)2·1·c·n·j·y
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，即45种不同取法．(8分)
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋子中选取2双鞋有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
(14分)
单元测评(二) 计数原理(B卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
解析：1,2,3，…，9中共5个奇数，4个偶数，当所取4个数中分别有4个，2个，0个偶数时，其和为偶数，故共有C＋CC＋C＝66种不同取法．www-2-1-cnjy-com
答案：D
2．从集合M＝{0,1,2}到集合N＝{1,2,3,4}的不同映射的个数是( )
A．81个 B．64个
C．24个 D．12个
解析：依题意可知不同的映射有43＝64(个)．
答案：B
3．由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )
A．72 B．60
C．48 D．52
解析：只考虑奇偶相间，则有2AA种不同的排法，其中0在首位的有AA种不符合题意，所以共有2AA－AA＝60个．21世纪教育网版权所有
答案：B
4．某次文艺汇演，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
节目
如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有( )
A．192种 B．144种 C．96种 D．72种
解析：第一步，将C，D，E，F全排，共有A种排法，产生5个空，
第二步，将A，B捆绑有2种方法，
第三步，将A，B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C种．
所以一共有144种方法．
答案：B
5．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：第一个因式取x2，第二个因式取含的项得：1×C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.21·cn·jy·com
答案：D
6．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
金
榜
题
名
A.144种 B．72种 C．64种 D．84种
解析：方法一：第一类：用4种颜色涂，有A＝4×3×2×1＝24(种)．
第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有CCA＝48(种)．
第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A＝4×3＝12(种)．
共有24＋48＋12＝84(种)．
方法二：第一类，区域金与名同色，从4色中选1色，有C种方法，其余区域榜、题各有3种方法，有4×3×3＝36种方法．
第二类：区域金与名不同色，区域金有4种方法，区域名有3种方法，区域榜、题各有2种方法，共有4×3×2×2＝48种方法．
根据分类加法计数原理共有36＋48＝84种方法．
答案：D
7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )2-1-c-n-j-y
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC＝12种安排方案． 21*cnjy*com
答案：A
8．从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A．36种 B．12种 C．18种 D．48种
解析：分两类：若小张或小赵入选，则有选法CCA＝24种；若小张、小赵都入选，则有选法AA＝12种，共有选法36种，选A.
答案：A
9．绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能由左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有( )
A．6种 B．12种 C．20种 D．40种
解析：方法一：(树形图)
如图所示，为先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种．
方法二：依题意，本题属定序问题，所以＝20种．
答案：C
10．在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读(不能跳读)，共有不同的读法种数是( )
构
建 建
和 和 和
谐 谐 谐 谐
社 社 社 社 社
会 会 会 会 会 会
创 创 创 创 创
美 美 美 美
好 好 好
未 未
来
A．250 B．240 C．252 D．300
解析：方法一：解本题相当于在图中先在始点标上1，再在上半部两腰的各点旁标上1，然后从上到下依次逐点累加，图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一点．由此可见，共有252种不同读法．21教育网
方法二：考虑到杨辉三角，第n行第k个数为C，252是第10行第6个数，所以应为C＝252种．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．客厅里4个座位上依次坐着4人，现作如下调整：一人位置不变，其余三人位置均相互调换，则不同的调整方案的种数为__________．
解析：由题意得不同的调整方案有CCCC＝8种．
答案：8
12．C＋C＋C＋C＋C的值为__________．
解析：∵C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝26＝64，
∴C＋C＋C＋C＋C＝64－2＝62.
答案：62
13.6的展开式中x3的系数为__________(用数字作答)．
解析：Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Cx12－3r，令12－3r＝3，
∴r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝20.
答案：20
14．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中，最短路径有__________条．
解析：总览全局：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C＝35.2·1·c·n·j·y
答案：35
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
解：(1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同的方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．(4分)21cnjy.com
(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．(8分)21·世纪*教育网
(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．(12分)【来源：21·世纪·教育·网】
16．(12分)已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，并且(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a的值．
解：5展开式的常数项为
C4＝16，
(a2＋1)n展开式的系数之和2n＝16，n＝4.
(6分)
∴(a2＋1)n展开式的系数最大的项为C(a2)2×12＝6a4＝54，∴a＝±.(12分)
17．(12分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；
(2)其中的男生甲必须是课代表，但不能担任数学课代表；
(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表．
解：(1)所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，依题意得(C＋CC＋CC)A＝5 520种．(4分)【出处：21教育名师】
(2)先选出4人，有C种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有A·A种方法，∴方法数为C·A·A＝3 360种．(8分)【版权所有：21教育】
(3)由题意知甲和乙两个人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C＝20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，∴甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3A＝18；综上可知共有20×18＝360种．(12分)
18．(14分)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求在2n的展开式中，21教育名师原创作品
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
解：由题意22n－2n＝992，解得n＝5.
(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6＝T5＋1＝C(2x)55＝－8 064.(6分)
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，则Tr＋1＝C·(2x)10－rr＝(－1)rC210－rx10－2r，www.21-cn-jy.com
∴
得即
∴≤r≤，又r∈N，
∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，即
T4＝－15 360x4.(14分)
