单元测评(三) 随机变量及其分布(A卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若随机变量ξ的分布如下表所示，则p等于( )
ξ
－1
2
4
P
p
A.0 B. C. D．1
解析：由分布列的性质可知，＋＋p＝1，
所以p＝1－－＝.
答案：B
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝( )
A. B.
C. D.
解析：P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
答案：D
3．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是( )21教育网
A．甲科总体的标准差最小
B．乙科总体的标准差及平均数都居中
C．丙科总体的平均数最小
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
解析：由图易知三科的平均成绩相同，甲科总体的标准差最小．
答案：A
4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )2·1·c·n·j·y
A．0.16 B．0.24
C．0.96 D．0.04
解析：三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.2-1-c-n-j-y
答案：C
5．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C××2＝.
答案：A
6．小王乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( )【出处：21教育名师】
A．0.4 B．1.5 C．0.43 D．0.6
解析：途中遇到红灯次数X服从二项分布，所以E(X)＝3×0.5＝1.5.
答案：B
7．设随机变量ξ的分布列P(ξ＝i)＝c·i，i＝1,2,3，则c＝( )
A. B. C. D.
解析：由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得c＝.
答案：B
8．设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1＜x2，现已知：E(ξ)＝，D(ξ)＝，则x1＋x2的值为( )21世纪教育网版权所有
A. B. C．3 D.
解析：∵E(ξ)＝，D(ξ)＝，
P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，
∴x1＋x2＝，①
2＋2＝②
由①②可得或
∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.
故选C.
答案：C
9．一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．C×10×2
B．C×9××
C．C×9×2
D．C×9×2
解析：ξ＝12表示第12次取到红球，前11次中有9次取到红球，从而P(ξ＝12)＝C×9×2×. 21*cnjy*com
答案：B
10．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )21教育名师原创作品
A．0.45 B．0.6
C．0.65 D．0.75
解析：令事件A、B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P()P()＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝＝＝0.75.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝__________.【版权所有：21教育】
解析：由题意可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态分布密度曲线关于ξ＝0对称，又P(ξ＞2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－0.023－0.023＝1－0.046＝0.954.21*cnjy*com
答案：0.954
12．一牧场的10头牛，因误食含疯牛病毒的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝__________.
解析：由已知ξ服从二项分布：ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.
答案：0.196
13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________．
解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，
说明此选手第2个问题回答错误，
第3、第4个问题均回答正确，
第1个问题答对答错都可以．
因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.
答案：0.128
14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
解析：由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；
因为P(B|A1)＝＝＝，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，
P(B)＝×＋×＝.
答案：②④
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
(4分)
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝；
所以所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.(8分)
(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.(12分)
16．(12分)甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“入市”．若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同)．www.21-cn-jy.com
(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率．
解：(1)三人恰好买同一支股票的概率为
P1＝10×××＝.(6分)
(2)方法一：三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P2＝10×C×2×＝.
由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为P1＝，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.(12分)
方法二：至少有两人买到同一支股票的概率为
P2＝1－＝.(12分)
17．(12分)某市环保局举办2012年“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．
(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“绿色环保标志”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率；www-2-1-cnjy-com
(2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽．用ξ表示获奖的人数．求ξ的分布列及E(ξ)，D(ξ)．【来源：21cnj*y.co*m】
解：(1)设“环保会徽”卡有n张，由＝，得n＝6.
故“绿色环保标志”卡有4张．
抽奖者获奖的概率为＝.(6分)
(2)ξ～B，ξ的分布列为
P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4).
ξ
0
1
2
3
4
P
4
C··3
C22
C31
4
所以E(ξ)＝4×＝，
D(ξ)＝4××＝.(12分)
18．(14分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；21·cn·jy·com
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．(4分)
(2)①X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7，
所以X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为
E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
(6分)
X的方差为
D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(8分)
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为
D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.21cnjy.com
由以上的计算结果可以看出，D(X)＜D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)＜E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．(14分)21·世纪*教育网
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，E(X)＜E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．
(14分)
单元测评(四) 随机变量及其分布(B卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于( )
A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4
解析：由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：D
2．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：记事件A为“ 蓝骰子的点数为3或6”，A发生时红骰子的点数可以为1到6中任意一个，n(A)＝12，记B：“两颗骰子点数之和大于8”，则AB包含(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)5种情况，所以P(B|A)＝＝.
答案：D
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，则第999次出现正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
解析：每一次抛掷硬币，正面朝上的概率都是.
答案：D
4．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )【版权所有：21教育】
A. B. C. D.
解析：所求概率为×＋×＝.
答案：B
5．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
解析：电路不发生故障的概率P＝×＝×＝.
答案：A
6．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
解析：由题意Eξ＝6，Dξ＝2.4，又η＝8－ξ，则Eη＝E(8－ξ)＝8－Eξ＝8－6＝2，Dη＝D(8－ξ)＝Dξ＝2.4.2·1·c·n·j·y
答案：B
7．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是( )
A．E(X)＝0.01
B．P(X＝k)＝0.01k×0.9910－k
C．D(X)＝0.1
D．P(X＝k)＝C×0.01k×0.9910－k
解析：该试验为独立重复试验，故E(X)＝0.1，D(X)＝10×0.01×0.99＝0.099，P(X＝k)＝C×0.01k×0.9910－k，故选D.21教育名师原创作品
答案：D
8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )21*cnjy*com
A. B. C. D.
解析：先从3个兴趣小组中选1个，有C＝3种方法；甲、乙两位同学都参加这个兴趣小组的概率为×＝，故这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为C2＝.
答案：A
9．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列，则有结论( )
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法判断谁的质量好一些
解析：∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.
∵E(X甲)＞E(X乙)，
∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．
答案：B
10．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )21世纪教育网版权所有
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A.706元 B．690元
C．754元 D．720元
解析：节日期间这种鲜花需求量X的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．21·cn·jy·com
设利润为Y，则Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．2-1-c-n-j-y
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝__________.
解析：P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝.
答案：
12．某个部件由三个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．
解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为
P＝×＝.
答案：
13．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.5
0.10
0.1
0.20
请你找出丢失的数据后，求得均值为__________．
解析：由0.20＋0.10＋0.5＋0.10＋0.1＋0.20＝1知，两个方框内数字分别为2、5，故E(X)＝3.5.21·世纪*教育网
答案：3.5
14．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E(ξ)＝__________.21cnjy.com
解析：由分布的性质可知2？＋！＝1，
E(ξ)＝？＋2！＋3？＝4？＋2！＝2(2？＋！)＝2.
答案：2
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数，
(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；
(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)．
解：(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.(6分)
(2)X的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(12分)
16．(12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：【出处：21教育名师】
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
解：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝.(4分)
(1)P(A|B)＝＝.(6分)
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×＝.(12分)
17．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
p
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)由概率分布的性质知，0.1＋0.3＋2a＋a＝1，∴a＝0.2，则ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(6分)
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”，
事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”，事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”，则由事件的独立性可得
P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝(P(ξ＝1))2＝0.32＝0.09，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17，
故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17.(12分)
18．(14分)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．21教育网
解：(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X＝2)＝C×2×3＝.(4分)www.21-cn-jy.com
(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)＋P(12A3A4A5)＝3×2＋×3×＋2×3＝.(8分)www-2-1-cnjy-com
(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.
P(ξ＝0)＝P(123)＝3＝；
P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝×2＋××＋2×＝； 21*cnjy*com
P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；
P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＝2×＋×2＝；
P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝.(12分)
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
6
P
(14分)
