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11.1.1三角形的边
人教版八年级上册
教材分析
与三角形有关的线段是初中数学图形与几何的内容。三角形的边是第一课时的内容。在此之前，学生已经学习了角、线段、相交线、平行线等知识，为本节课的学习做了良好的铺垫，另一方面。本节课的学习从类别以及三边关系加深学生对三角形的认识，对后续学习其他图形奠定基础。因此，本节课起着承上启下的作用。
教学目标
1.认识三角形，了解三角形的定义，认识三角形的边，内角，顶点，能用符号语言表示三角形.
2.能从不同角度对三角形进行分类.
3.掌握三角形三边的不等关系，并能运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题.
新知导入
【问题】
(1)从古埃及的金字塔到现代的飞机；
从宏伟的建筑物到微小的分子结构,都有什么样的形象
(2)在我们的生活中有没有这样的形象呢 试举例.
新知讲解
思考：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形.
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形
要点
不在同一条直线上
要点1
三条线段
要点2
首尾顺次相接
要点3
新知讲解
A
B
C
顶点
a
b
c
边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边.
顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点.
角：∠A,∠B,∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角.
通常：顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边CA用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
新知讲解
A
B
C
a
c
b
“三角形”用符号“Δ”表示，如果顶点是A，B，C的三角形记做“ΔABC”，读做“三角形ABC”.
三角形的表示方法
思考：请表示出三角形中的边和角.
角
边
顶点
BC AC AB
∠A ∠B ∠C
a b c
顶点A 顶点B 顶点C
新知讲解
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序。即：可以记作△ABC，也可记作△ACB.
角的对边
在△ABC 中，
AB 边所对的角是：
∠A 所对的边是：
再说几个对边与对角的关系试试.
B
C
A
∠C
BC
新知讲解
回想一下，三角形按照三个内角的大小可以分成几类？按照边的关系呢？
按角分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
新知讲解
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.
腰
腰
底
顶角
底角
底角
A
B
C
A
B
C
新知讲解
按边分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
典例精析
【问题】在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它选择A B路线,而不选择A C B路线,难道小狗
也懂数学？
C
B
A
新知讲解
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 ：
AB＋AC＞BC ①
同理有
AC＋BC＞AB ②
AB＋BC＞AC ③
一般地，我们有
三角形两边的和大于第三边.
由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB. 这就是说，
三角形两边的差小于第三边.
典例精析
例、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,x+2x+2x=18. 解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有4+2x=18.
解得x=7.
典例精析
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有2×4+x=18.
解得x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以该情况不存在.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
【点精】等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确，需要分类讨论，再检验是否符合三边关系.
练一练
解：∵三角形的三边长分别为4，7，x，
∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
归纳总结
三角形的第三边长 x 满足两边之差＜x＜两边之和.
若三角形的三边长分别为a，b，
则第三边长度x应该满足：|a-b|
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.1cm、 2cm、3cm B.1cm、4cm、 2cm
C.2cm、4cm、3cm D.6cm、2cm、 3cm
2.△ABC中，AB=3，BC=4，则AC边的长满足( )
A. AC=5 B. AC>1 C. AC<7 D.1C
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．一个三角形的三边长分别为x、8、2，那么x的取值范围是__________.
4．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是____，最小值是___．
6＜x＜10
19
15
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，
7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又∵x为奇数，则第三边的长为7.
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长。
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.已知a,b,c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足,(a-b)2+试判断△ABC的形状；
（2）化简：+-.
解：（1）∵(a-b)2+| |=0
∴(a-b)2=0且| |=0
∴ a=b=c
∴△ABC是等边三角形．
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长
∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0
原式=
=a+c-b+a-b+c-b-c+a
=3a-3b+c
课堂练习
【综合拓展类作业】
7．已知的三边长分别为a， b， c.
(1)若a， b， c满足(a-b)2+(b-c)2=0，试判断△ABC的形状：
(2)若a=5， b=2， 且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值.
解：(1)∵ (a-b)2+(b-c)2=0 ，
∴a-b=0，b-c=0
∴.a=b=c，
∴ △ABC是等边三角形.
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)∵a=5， b=2，
∴5-2∵c为整数，
∴c=4，5，6，
∴当c=4时，△ABC的周长最小，最小值=5+2+4=11；
当c=6时，△ABC的周长最大，最大值=5+2+6=13.
课堂总结
三角形
定义及其基本要素
顶点、角、边
分类
按角分类
按边分类分类
不重不漏
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
|a-b|b,x为第三边）
应用
板书设计
三角形
一、三角形及相关概念
二、三角形的分类
三、三角形三边关系
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．28
2.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为___________ .
A
18cm或21cm
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.小王准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养家兔,已知第一条边长为a m,由于受地势限制,第二条边长只能比第一条边长的2倍多2 m.
(1)请用含a的式子表示第三条边长;
(2)第一条边长可以为7 m吗 请说明理由.
解：(1)由题意,得第二条边长为(2a+2)m,
∴第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)m.
(2)解:第一条边长不可以为7 m.
理由:当a=7时,三条边长分别为7 m,16 m,7 m.
∵7+7<16,
∴不能构成三角形,即第一条边长不可以为7 m.
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《11.1.1三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 与三角形有关的线段是初中数学图形与几何的内容。三角形的边是第一课时的内容。在此之前，学生已经学习了角、线段、相交线、平行线等知识，为本节课的学习做了良好的铺垫，另一方面。本节课的学习从类别以及三边关系加深学生对三角形的认识，对后续学习其他图形奠定基础。因此，本节课起着承上启下的作用。
学习者分析 关于三角形的分类以及基本知识点学生在小学已经有初步了解，通过本节课学习，学生将系统认识三角形的概念，各元素名称以及表示方法，重点是三角形三边关系和运用辨别能否构成三角形，是小学知识的延伸。
教学目标 1.了解三角形的概念及其基本要素，并按不同标准把三角形分类。 2.掌握三角形三边不等的关系。 3.懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题。
教学重点 了解三角形的概念及其基本要素，并按不同标准把三角形分类。掌握三角形三边不等的关系
教学难点 在具体的图形中正确识别所有的三角形，利用三角形三边关系判定三条线段能否组成三角形.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 观察下列图形，有你熟悉的几何图形吗？ (1)从古埃及的金字塔到现代的飞机； 从宏伟的建筑物到微小的分子结构,都有什么样的形象 (2)在我们的生活中有没有这样的形象呢 试举例. 学生活动1： 观看图片，根据老师的提问思考并回答问题活动意图说明：通过观察生活中常见物体的图片引入，增强学生的代入感，让学生能够感知三角形，为后面引出三角形的概念作铺垫.环节二：新知探究教师活动2： 思考：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形. 三角形的概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 【注意】：三条线段必须： ①不在一条直线上， ②三条线段 ③首尾顺次相接. 2.构成三角形的要素有哪些呢？ 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点. 三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的BC可用a表示. 3.如何用符号表示三角形？ 符号表示为：△ABC(△BCA、△CAB) 【注意】①.字母没有先后顺序；②.通常情况下按逆时针的顺序写. 学生活动2： 观察、思考并回答 学生自主作答 学生思考并回答 活动意图说明：通过一些图形，让学生直观感受，三条线段要满足什么条件才能构成三角形.引出三角形的概念，在三角形概念的基础上，进一步学习三角形的构成元素，强化符号意识环节三：新知讲解教师活动3： 思考：回想一下，三角形按照三个内角的大小可以分成几类？按照边的关系呢？ 观察下面三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 底边和腰相等的等腰三角形也叫作等边三角形.（即：三条边都相等的三角形是等边三角形） 由此可知，等边三角形是特殊的等腰三角形 按边分类： 学生活动3： 小组交流，然后回答问题 小组交流，然后展示成果，教师汇总并补充.活动意图说明：通过对三角形按角、边两个不同的角度进行分类，巩固所学知识，同时让学生进一步理解等腰三角形与等边三角形不是独立的两类环节四：新知讲解教师活动4： 【问题】在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它选择A B路线,而不选择 A C B路线,难道小狗 也懂数学？ 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 AB＋AC＞BC ① 同理有 AC＋BC＞AB ② AB＋BC＞AC ③ 一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边. 由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB. 这就是说， 三角形两边的差小于第三边. 学生活动4： 学生思考并回答活动意图说明：以情境创设来引发学生对三角形的三边关系的深入理解。为学生提供探索与交流的时间与空间，同时注重数学的实际应用，使学生体会到数学的应用价值及其学习数学的重要性、必要性。环节五：典例精析教师活动5： 例、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 练一练 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( ) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 归纳： 三角形的第三边长 x 满足 两边之差＜x＜两边之和. 若三角形的三边长分别为a，b， 则第三边长度x应该满足： |a-b|板书设计 一、三角形及相关概念 二、三角形的分类 三、三角形三边关系
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.1cm、 2cm、3cm B.1cm、4cm、 2cm C.2cm、4cm、3cm D.6cm、2cm、 3cm 2.△ABC中，AB=3，BC=4，则AC边的长满足( ) A. AC=5 B. AC>1 C. AC<7 D.1课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ） A．14 B．15 C．16 D．28 2.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为___________ . 选做题： 3.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 【综合拓展类作业】 4.小王准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养家兔,已知第一条边长为a m,由于受地势限制,第二条边长只能比第一条边长的2倍多2 m. (1)请用含a的式子表示第三条边长; (2)第一条边长可以为7 m吗 请说明理由.
教学反思 本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十一章
课标要求 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念；了解三角形的稳定性.2.探索并证明“三角形任意两边之和大于第三边”，了解三角形重心的概念.3.探索并证明三角形内角和定理，掌握它的推论.4.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.了解多边形、凹、凸多边形、正多边形、多边形的内角、外角、对角线等基本概念.6.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程,体会数学与现实生活的联系.7.掌握多边形内角和公式的推导，并能运用公式解决些实际问题.8.难点掌握多边形内角和公式,并能运用多边形内角和公式和外角和结论解决问题.
内容分析 首先结合引言中的实际例子抽象得出三角形的概念.进而通过由表及里的寻找特征，研究三角形的分类.对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边，接下来，给出了三角形的高、中线与角平分线的概念，结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念，最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.对于三角形的内角，通过动手操作、观察实验推理论证得出三角形内角和定理.然后由这个定理推出直角三角形的性质；直角三角形的两个锐角互余，最后给出三角形的外角的概念，并由三角形内角和定理推出，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.以三角形的有关概念和性质为基础，类比得出多边形的有关概念与多边形的内角和，外角和公式，三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形介绍多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来.三角形是最简单的多边形.因而常常将多边形分为几个三角形，利用三角形的性质研究多边形，多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的，将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排.可以加强它们之间的联系，便于学生学习.
学情分析 "三角形”是《课程标准》”几何与图形”的重要内容.在第四章《几何图形初步》、第五章《相交线与平行线》中,学生已经学习了直线、线段、射线、角等基本的平面图形,研究了两条直线的位置关系:平行与相交.本章知识是在此基础上,全面研究三角形的有关线段、有关的角,以及多角形的有关线段、有关的角.既是已学知识的深入,同时也是今后学习“全等三角形”、"特殊三角形” 、"四边形” 等内容的重要基础。
单元目标 （一）教学目标1.知道三角形的有关概念以及三角形的分类, 初步体会分类思想；掌握三角形的任意两边之和大于第三边”的性质2.通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高(所在直线)的交点情况.3.通过对三角形的内角和的探究,经历操作、归纳、猜测和说理证实的过程,感知数学探索和科学发现的方法；掌握三角形内角和的性质，了解直观经验与理性思考的联系和区别.4.理解三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.在参与知识形成和运用所学知识解决问题的活动中,增强推理意识,丰富几何语言,体会几何演绎思想和逻辑推理方法，了解逻辑推理的叙述方式和表达要求.（二）教学重点、难点教学重点：三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式.教学难点：三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及与简单的平面镶嵌设计.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1与三角形有关的线段311.2与三角形有关的角211.3多边形及其内角和2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1.1三角形的边1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.2.掌握三角形的三边关系. 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.学生能够认识三角形并了解三角形的分类能掌握三角形三边关系并运用三边关系解决问题任务1.引言得出三角形有关概念任务2.探究三角形三边关系任务3.出示例题任务4.归纳总结11.1.2三角形的高，中线与角平分线1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.学生会画三角形的高，中线，角平分线；并且能根据概念解决问题任务1：由实际问题引出三角形的高任务2：探究三角形中线的概念以及中线的相关知识任务3：三角形角平分线的概念以及画法与运用 11.1.3三角形稳定性1.了解三角形的稳定性. 2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.了解三角形的稳定性任务1：由实例引出三角形的稳定性任务2：举例任务3：例题11.2.1三角形内角和1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.会运用三角形内角和定理进行计算. 学生会证明三角形的内角和定理，会运用内角和进行计算任务1：思考三角形内角和任务2：探究三角形内角和定理任务3：通过例题掌握三角形内角和定理。11.2.2三角形外角1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和． 3.会利用三角形的外角性质解决有关问题.学生掌握三角形外角的概念，以及掌握三角形外角的性质，利用三角形外角性质和外角和解决实际问题任务1：引出三角形外角的概念任务2：探究三角形外角的性质任务3：由实例得出三角形外角和任务4：例题 11.3.1多边形1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形。2.掌握正多边形的概念。3.会求多边形的对角线的条数。学生掌握多边形的概念以及正多边形的概念；会求多边形对角线的条数任务1.多边形的概念任务2.探究多边形对角线任务3.认识正多边形11.3.2多边形内角和1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.学生能够熟练掌握多边形内角和公式的探究，并能利用多边形内角和和外角和解决问题任务1：探究多边形的内角和公式任务2：例题解析任务3：认识多边形外角和
《第十一章 三角形》单元教学设计
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