2023年吉林省松原市长岭县三校中考数学考前冲刺试卷（含解析）

2023年吉林省松原市长岭县三校中考数学考前冲刺试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某市某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的温差是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形中，不是正方体展开图的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 若“”，则下列不等式中，不成立的是( )
A. B. C. D.
5. 一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数小，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，是的直径，、是上的两点，连接、、、若则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 的算术平方根是______．
8. 分解因式： ______ ．
9. 一元二次方程的根的判别式的值为______ ．
10. 我国古代数学名著算法统宗中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少文钱？设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为______ ．
11. 如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处的距离，在外选一适当的点，连接、，并分别取线段、的中点、，测得，则 ______
12. 如图，在中，，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的周长为______ ．
13. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料图中弯管不计厚度有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为______ 结果保留．
14. 如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿折叠得到，延长交于点若，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字、、，每个小球除数字不同外其余均相同小红先从袋中随机取出一个球，记下数字后放回，小红再从袋中随机取出一个球，用列表或画树状图的方法，求小红两次取出的小球上的数字之积是非负数的概率．
17. 本小题分
某医院准备采购、两种型号的口罩，种口罩每箱单价比种口罩每箱单价多元，用元购进种口罩和用元购进种口罩的箱数相同，求种口罩每箱的单价是多少元？
18. 本小题分
如图，在中，，点、在边上，连接、，若，求证：．
19. 本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫格点，线段的顶点均在格点只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
在图中以为对角线画一个 ；
在图中以为对角线画一个只是轴对称图形的四边形，且；
在图中以为对角线画一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形．
20. 本小题分
为了增强同学们的消防安全意识和自防、自救、自我逃生的能力，切实加强消防安全管理，有效地预防火灾，共同创建一个安全、和谐的校园环境，我们特地举办了消防安全知识竞赛现在从我校八年级和九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩满分为分，分及以上为优秀进行整理、描述和分析成绩用表示，共分成四组：；；；；；；，下面给出了部分信息：抽取的八年级名学生在、两组中的所有竞赛成绩：，，，，，，，，，，，抽取的九年级名学生的所有竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽取的八年级、九年级学生竞赛成绩统计表抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
年级 平均数 中位数 众数 满分率
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
请填空： ______ ， ______ ，圆心角 ______ 度；
根据以上数据，你认为我校八年级和九年级的竞赛成绩谁更好？请说明理由写出一条理由即可；
若我校八年级有学生人，九年级有学生人，估计我校九年级和八年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人．
21. 本小题分
如图，小开家所在居民楼的楼底点的左侧米处有一个山坡，坡角为，点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为米，在图书馆点处测得小开家的窗户点的仰角为，、、、、在同一平面内求的高度结果精确到个位，参考数据：．
22. 本小题分
根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压单位：一定时，通过导体的电流单位：与导体的电阻单位：满足关系式，其中与满足反比例函数关系，它们的图象如图所示当时，．
求电流关于电阻的函数关系式；
若，求电阻的变化范围．
23. 本小题分
已知、两地之间有一条公路甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发，以每小时千米的速度匀速开往地，两车同时到达各自的目的地两车之间的距离千米与甲车行驶的时间小时之间的函数关系如图所示．
甲车的速度为______ 千米小时，的值为______ ；
求乙车出发后，与之间的函数关系式；
当甲、乙两车相距千米时，求甲车行驶的时间．
24. 本小题分
【阅读理解】如图，的面积与的面积相等吗？为什么？
解：相等．在和中，分别作，，垂足分别为，，
．
，
四边形是平行四边形，
．
形，．
．
【类比探究】如图，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积．
解：过点作于点，连接．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图，在正方形的右侧作正方形；点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积．
25. 本小题分
如图，是等边三角形，动点从点出发，沿以每秒的速度向终点运动，在延长线上取点，使将绕着点逆时针旋转得到，以、为邻边作 设 与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
用含的代数式表示的长；
当点落在边上时，求的值；
当 与重叠部分图形不是三角形时，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点点、在该抛物线上，其横坐标分别为、分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，以、为边构造矩形，设抛物线被该矩形截得的部分图象包括边界记为．
求该抛物线对应的函数关系式；
当抛物线的顶点在矩形的边上时，求的值；
当抛物线在矩形内部的图象对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围；
当，且图象的最低点到轴的距离是最高点到轴的距离的倍时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此即可计算．
本题考查有理数的减法，关键是掌握有理数减法法则．
2.【答案】
【解析】解：、、都可以折叠成正方体，
故选：．
根据正方体的展开图判断求解．
本题考查了几何体的展开图，熟记常见几何体的展开图是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意
解得．
故选：．
利用普吉岛定义，构建方程组即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
是圆的直径，
，
．
故选：．
由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质得到．
本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理求出．
7.【答案】
【解析】解：的算术平方根是．
故答案为：．
依据算术平方根的定义解答即可．
本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
直接提取公因式即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
9.【答案】
【解析】解：，，，
．
所以一元二次方程根的判别式的值为．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式即可求出值．
本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
10.【答案】
【解析】解：一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，
；
每尺罗布比绫布便宜文，
，
根据题意可列方程组．
故答案为：．
根据“一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，且每尺罗布比绫布便宜文”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
故选答案为：．
根据三角形中位线定理即可求出．
本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：观察图中尺规作图的痕迹，可知是的垂直平分线，
，
，
，
的周长为；
故答案为：．
观察图中尺规作图的痕迹知是的垂直平分线，可得，由三角形周长公式可得答案．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握垂直平分线的尺规作图方法．
13.【答案】
【解析】解：由题意得的长为．
故答案为：．
根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．
本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是正方形，
，，
由折叠得，，，，
，
，
又，
≌，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，
即，
故答案为：．
由折叠和正方形的性质可得，，，，进而证出≌，得出，设未知数，在中，由勾股定理可求出答案．
本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握折叠轴对称的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
15.【答案】解：
．
当时，
原式
．
【解析】先利用平方差公式、单项式乘多项式法则化简整式，再代入求值即可．
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的乘法公式、乘法法则及合并同类项法则是解决本题的关键．
16.【答案】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小红两次取出的小球上的数字之积是非负数的结果有种，
小红两次取出的小球上的数字之积是非负数的概率为．
【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中小红两次取出的小球上的数字之积是非负数的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设种口罩每件的单价为元，则种口罩的单价为元．
由题意，得：，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：种口罩的单价为元．
【解析】设种口罩每件的单价为元，则种口罩的单价为元．由题意：用元购进种口罩和用元购进种口罩的数量相同．列出分式方程，解方程即可
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
18.【答案】证明：作于点，则，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】作于点，先证明≌，得，再证明≌，得，即可根据等式的性质证明．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地构造出所需要的辅助线并且适当选择全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示，平行四边形即为所求；
如图所示，上四边形即为所求；
如图所示，四边形即为所求．
【解析】根据平行四边形的性质画图即可；
根据轴对称的性质画图即可；
根据轴对称的性质和中心对称的性质画图即可．
本题考是作图应用与设计作图，轴对称的性质，中心对称的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，
20.【答案】
【解析】解：八年级随机抽取名学生的知识竞赛分数中，满分率为，
满分的有人，
组有人，
组有人，
，
，
抽取的九年级名学生的所有竞赛成绩满分率为，
，
故答案为：，，；
九年级的竞赛成绩更好，理由：
九年级竞赛成绩的中位数和众数大于八年级学生竞赛成绩的中位数和众数．
人．
答：估计我校九年级和八年级竞赛成绩为优秀的学生共有人．
依据八年级随机抽取名学生的知识竞赛分数中，满分率为可得满分的有人，由组得百分比可得组有人，组有人，可得，根据抽取的九年级名学生的所有竞赛成绩可得的值，由组人数即可得到圆心角的值．
比较中位数和众数，即可得出九年级的竞赛成绩更好．
依据八、九年级的人数以及抽取的样本中的优秀率，即可得到九年级和八年级竞赛成绩为优秀的学生人数．
本题主要考查了众数、中位数的计算方法，扇形统计图、用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义和优秀率的意义是解题的关键．
21.【答案】解：如图，作于，作，交延长线于点，
得矩形，
，，
根据题意可知：米，，米，，
米，
米，
米，
米，
米，
答：的高度约为米．
【解析】作于，作，交延长线于点，根据题意可得米，，米，，然后利用特殊角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
22.【答案】解：设与满足反比例函数关系为，
根据图象可知，该函数过点，
，
，
，
电流关于电阻的函数关系式为；
当时，，
当时，，
若时，电阻的变化范围为．
【解析】设与满足反比例函数关系为，根据待定系数法即可求解；
分别求出当和时的值，再结合图象即可求解．
本题主要考查了反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，理解题意，正确求出对应的函数关系式是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意可知，甲车的速度为：千米小时；
，
故答案为：；；
设与的函数关系式为，
点的横坐标是，
当时，把、代入，得，
解得：，
；
当时，把、代入，得，
解得，
，
综上，与之间的函数关系式为；
当时，令，得，解得，
当时，令，得，解得，
综上，或．
根据图象可知甲车行驶行驶所走路程为千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶千米所用的时间即可求解；
运用待定系数法解得即可；
分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：类比探究过点作于点，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，
；
拓展应用如图，连接，
四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
，
．
【解析】类比探究由等腰三角形的性质可得，，可证，可得，由三角形的面积公式可求解；
拓展应用连接，由正方形的性质可得，可得，可得，由三角形的面积公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．
25.【答案】解：分两种情况在线段上即时，
动点从点出发，沿以每秒的速度向终点运动，
点的运动时间为，
，
，，
，
在线段延长线上即此时，如图
有题意可得：，
，，
，
；
当点落在边上时，如图：
有题意可得：，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在 中，
，且，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
解得：，
当点落在边上时，；
分三种情况：
全部在内部，即时，
重叠部分图形是 ，
作于点，
，，
，
，，
，
、两点重合，
即，，
，
即；
当在外部，在内部时，即，
如图：
四边形是平行四边形，
，，
由知：是正三角形，
，，
，
，
是正三角形，
，
，
；
当在内部，在外部时，即，
如图：
延长交于点，交于点，
根据已知易证：和均为正三角形，
，，
，
，
，，
，
，
综上所述：当时，；
当时，；
当时，
【解析】分两种情况在线段上即此时；在线段延长线上即此时；
当点落在边上时，先证明三角形是等边三角形可得，建立方程解决即可；
分三种情况，根据正三角形的面积公式和平行四边形的面积公式进行计算即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及正三角形的面积等于其边长平方的倍，理解题意，观察各种情况下，图形之间的面积关系是解决问题的关键．
26.【答案】解：将、代入，
，
解得，
；
，
抛物线的顶点为，
，，
，，，
当抛物线的顶点在上时，，
解得；
当抛物线的顶点在上时，，
此时无解；
当抛物线的顶点在上时，，
解得；
综上所述：的值为或；
抛物线的对称轴为直线，
时，矩形内部的图象值随的增大而减小，
，
当时，，此时矩形不存在，
且时，矩形内部的图象值随的增大而减小；
抛物线与轴的交点为，
当时，即，此时或，
当时，矩形内部的图象值随的增大而增大；
综上所述：且时，矩形内部的图象值随的增大而减小；当时，矩形内部的图象值随的增大而增大；
当时，或，
当时，矩形与边重合，此时矩形不存在，
当时，图象的最低点到轴的距离即为点到轴的距离，最高点到轴的距离即为点到轴的距离，
，
此时方程无解；
当时，解得或，
，
当时，、点都在轴下方，
当时，图象的最低点到轴的距离即为点到轴的距离，最高点到轴的距离即为点到轴的距离，
，
解得或舍；
当时，图象的最低点到轴的距离即为点到轴的距离，最高点到轴的距离即为点到轴的距离，
，
解得或舍；
综上所述：的值为或．
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
根据题意分别求出，，，，，再分三种情况讨论：当抛物线的顶点在上时，；当抛物线的顶点在上时，此时无解；当抛物线的顶点在上时，；
分两种情况讨论：当且时，矩形内部的图象值随的增大而减小，当时，矩形内部的图象值随的增大而增大；
当时，矩形与边重合，此时矩形不存在，所以分三种情况讨论：当时，图象的最低点到轴的距离即为点到轴的距离，最高点到轴的距离即为点到轴的距离，此时不成立；当时，图象的最低点到轴的距离即为点到轴的距离，最高点到轴的距离即为点到轴的距离，此时；当时，图象的最低点到轴的距离即为点到轴的距离，最高点到轴的距离即为点到轴的距离，此时．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．
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