1.2空间向量基本定理 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
人教A版2019选修第一册
第 1 章空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；
3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。
01复习回顾
复习回顾
（1） 向量共线
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
（2） 向量共面
三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
02空间向量基本定理
空间向量基本定理
观察右图并回答以下问题，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
问题1：e1，e2，e3共面吗？
不共面
问题2：试用e1，e2，e3表示
问题3：若，M为A1B1的中点试用e1，e2，e3表示
空间向量基本定理
因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。
如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，
而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ .
我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。
空间向量基本定理
如果三个向量,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x +yb+zc.
空间向量基本定理
1.定理
2.基底
我们把定理中的叫做空间的一个基底, ,b,c都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量基本定理
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
3.单位正交基底
空间向量基本定理
空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底
思考1：空间中怎样的向量能构成基底？
思考2：基底中能否有零向量？
不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.
思考3：空间向量的基底唯一吗？
不唯一，只要三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底。
空间向量基本定理
思考4：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？
基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同.
思考5：基底与基向量的概念有什么不同？
一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
二者是相关联的不同概念 .
03空间向量基底的辨析
空间向量基底的辨析
1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(　　)
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(　　)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(　　)
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(　　)
×
√
√
√
空间向量基底的辨析
2.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3＝－3e1＋e2＋2e3，
＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底
空间向量基底的辨析
判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
方法总结
空间向量基底的辨析
3.下列能使向量，， 成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
C
对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，所以选项A无法构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，，，共面，故D错误.
04用基底表示向量
用基底表示向量
1.如图， 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 ＝a，＝b，＝c，则 ＝________.
解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
－a＋b－c
用基底表示向量
用基底表示向量时，
若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；
若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
方法总结
用基底表示向量
2.已知三棱锥O-ABC 中，点 M 为棱 OA 的中点，点 G 为ABC 的重心，设，，，则向量（ ）
A． B． C． D
A.
解：连接CG 并延长交 AB 于点 E ，连接 OE ，则 E 为 AB 的中点，且 ，
=，
，
M为 OA 的中点，.
用基底表示向量
3.如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．
(1) ＝x＋y＋z
(2)＝x＋y＋z
用基底表示向量
3.如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．
(1) ＝x＋y＋z
(2)＝x＋y＋z
05空间向量基本定理的应用
空间向量基本定理的应用
1.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1．
空间向量基本定理的应用
2如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，AC=BC=AA’，，D，E 分别为 AB ，BB’的中点
（1）求证：CE；
（2）求异面直线 CE 与 A’C所成角的余弦值.
解：设 ，，，
根据题意得 ，且 ∴ ，
.∴ =，∴ ，即CE .
空间向量基本定理的应用
2如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，AC=BC=AA’，，D，E 分别为 AB ，BB’的中点
（1）求证：CE；
（2）求异面直线 CE 与 A’C所成角的余弦值.
（2）∵ ，∴，，
∵=，∴cos.
∴异面直线CE与A’C所成角的余弦值为.
空间向量基本定理的应用
利用空间向量基本定理解决几何问题的步骤：
(1)把几何问题转化为向量问题．
(2)选择空间的某个基底表示未知向量．
(3)证明垂直问题时，需结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
求异面直线所成角，利用夹角公式cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(4)将向量问题回归到几何问题．
方法总结
空间向量基本定理的应用
3.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设 ＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量 ；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
空间向量基本定理的应用
3.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设 ＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量 ；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
∴|a＋b＋c|＝， ∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝ .
06课堂小结
课堂小结
1.空间向量基本定理及推论；
2.空间向量的基底；
3.空间向量的正交分解