1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共28张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共28张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-26 05:05:08 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
人教A版2019选修第一册
第 1 章空间向量与立体几何
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
1.掌握空间向量的夹角的概念．
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．
4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
01复习回顾
复习回顾
（1） 平面向量的夹角：
A
O
B
B
注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
(2)平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量, ，则|| ||
，叫做向量, 的数量积，记作
复习回顾：平面向量的数量积
即 || ||
并规定0
02空间向量的夹角
空间向量的夹角
(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ．
(2)范围：〈，〉∈ .
特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线；
当〈，〉＝π时，两向量， ，
所以若∥，则〈，〉＝0或π；
当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 .
∠AOB
〈〉
[0，π]
0
反向共线
垂直
⊥
O
A
B
O
A
B
O
A
B
03空间向量的数量积
空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.
空间向量的数量积
注意：.两个向量的数量积是数量,而不是向量
即 ||||
（1）空间向量数量积的定义
空间向量的数量积
①(λ)·＝ ；
②交换律：·＝ ；
③分配律：·(＋)＝ .
λ(·)
·
·＋·
(2)运算律
注意：向量的数量积不满足结合律
（3）性质
①⊥ ·＝0;
②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2;
③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0;
④ |·|≤||·||.
⑤cos〈，〉=
空间向量的数量积
证明两个向量垂直
求模长
夹角公式
04投影向量
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。
类似地，向量在向量 上的投影有什么意义？
向量 向向量的投影呢？向量 向向量 的投影呢？
投影向量
投影向量
内，
，。
05空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
1.下列命题中，假命题是( )
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A. a＝b B. a＋b为实数0
C. a与b方向相同 D. |a|＝3
空间向量的数量积
D
3.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
空间向量的数量积
6
4.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)；(3) ·.
(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝，
所以＝.
(2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ .
(3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－.
空间向量的数量积
数量积运算
空间向量的数量积
在几何体中求空间向量的数量积：
首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
最后利用数量积的定义求解即可．
注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．
方法总结
数量积运算
空间向量的数量积
5.已知正四面体OABC的棱长为1.求：
(1)·；(2)(＋)·(＋)．
(1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(-＋－)＝()·(－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
数量积运算
6.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
求cos〈，〉的值．
解 因为＝－＝＋－， ＝＋，
所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝2－2＝22－12＝3，
所以cos〈，〉＝＝＝
利用数量积求夹角
空间向量的数量积
空间向量的数量积
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉=
方法总结
7.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
利用数量积求长度
空间向量的数量积
空间向量的数量积
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用||＝，通过计算求出||，即得所求距离．
方法总结
利用数量积求长度
空间向量的数量积
8.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
利用数量积证明垂直关系
06课堂小结
课堂小结
1.空间向量数量积的公式
2.数量积公式应用（求模长，夹角，垂直问题等）
人教A版2019选修第一册
第 1 章空间向量与立体几何
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
1.掌握空间向量的夹角的概念．
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．
4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
01复习回顾
复习回顾
（1） 平面向量的夹角：
A
O
B
B
注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
(2)平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量, ，则|| ||
，叫做向量, 的数量积，记作
复习回顾：平面向量的数量积
即 || ||
并规定0
02空间向量的夹角
空间向量的夹角
(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ．
(2)范围：〈，〉∈ .
特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线；
当〈，〉＝π时，两向量， ，
所以若∥，则〈，〉＝0或π；
当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 .
∠AOB
〈〉
[0，π]
0
反向共线
垂直
⊥
O
A
B
O
A
B
O
A
B
03空间向量的数量积
空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.
空间向量的数量积
注意：.两个向量的数量积是数量,而不是向量
即 ||||
（1）空间向量数量积的定义
空间向量的数量积
①(λ)·＝ ；
②交换律：·＝ ；
③分配律：·(＋)＝ .
λ(·)
·
·＋·
(2)运算律
注意：向量的数量积不满足结合律
（3）性质
①⊥ ·＝0;
②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2;
③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0;
④ |·|≤||·||.
⑤cos〈，〉=
空间向量的数量积
证明两个向量垂直
求模长
夹角公式
04投影向量
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。
类似地，向量在向量 上的投影有什么意义？
向量 向向量的投影呢？向量 向向量 的投影呢？
投影向量
投影向量
内，
，。
05空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
1.下列命题中，假命题是( )
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A. a＝b B. a＋b为实数0
C. a与b方向相同 D. |a|＝3
空间向量的数量积
D
3.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
空间向量的数量积
6
4.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)；(3) ·.
(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝，
所以＝.
(2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ .
(3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－.
空间向量的数量积
数量积运算
空间向量的数量积
在几何体中求空间向量的数量积：
首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
最后利用数量积的定义求解即可．
注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．
方法总结
数量积运算
空间向量的数量积
5.已知正四面体OABC的棱长为1.求：
(1)·；(2)(＋)·(＋)．
(1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(-＋－)＝()·(－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
数量积运算
6.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
求cos〈，〉的值．
解 因为＝－＝＋－， ＝＋，
所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝2－2＝22－12＝3，
所以cos〈，〉＝＝＝
利用数量积求夹角
空间向量的数量积
空间向量的数量积
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉=
方法总结
7.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
利用数量积求长度
空间向量的数量积
空间向量的数量积
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用||＝，通过计算求出||，即得所求距离．
方法总结
利用数量积求长度
空间向量的数量积
8.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
利用数量积证明垂直关系
06课堂小结
课堂小结
1.空间向量数量积的公式
2.数量积公式应用（求模长，夹角，垂直问题等）