1.2.3直线的一般式方程 讲义（含答案）

编号：004 课题:§1.2.3 直线的一般式方程
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握确定直线位置的几何要素．
2、理解并掌握直线方程的几种形式．
3、理解并掌握直线的一般式方程．
4、理解并掌握含参数的直线的一般式方程．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：直线的一般式方程．
难点：含参数的直线的一般式方程．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 直线的一般式方程
(1)方程:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为 ___ )叫作 ______ ,简称一般式.
(2)本质:直线的一般式方程是直线的定量刻画,直线是二元一次方程的几何意义.
(3)应用:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式,用一般式表示直线方程.
【思考】
(1)方程y-y0=0是二元一次方程吗
(2)直线与二元一次方程的关系是什么
【课前基础演练】
题1．直线-2x+y+3=0的斜率k= ( )
A.2 B.-2 C. D.-
题2.直线2x+3y+1=0在y轴上的截距为 ( )
A. B.- C. D.-
题3.若ax+by+c=0表示的直线是y轴,则系数a,b,c满足的条件是 ( )
A.bc=0 B.a≠0
C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=c=0
题4.已知点A(-2,0),B(2,0),C(0,3),则△ABC底边AB的中线的方程是 ( )
A.x=0 B.x=0(0≤y≤3)
C.y=0 D.y=0(0≤x≤2)
题5（多选题）．关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　　)
A．过点(，－2) B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1
题6.若直线mx+3y-5=0经过点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则m= .
题7.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是 .
题8.已知直线经过两点A(2+a2,1+a2),B(-1,-5).
(1)若a=1,求直线AB的斜截式方程;
(2)求当斜率kAB最大时,直线AB的一般式方程.
【当堂巩固训练】
题9．直线+=1,化成一般式方程为 ( )
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
题10.下列直线中,斜率为-,且不经过第一象限的是 ( )
A.3x+4y+7=0 B.4x+3y+7=0
C.4x+3y-42=0 D.3x+4y-42=0
题11.直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于 ( )
A. B.-5 C. D.-3
题12.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为 ( )
A. B.-6 C.- D.6
题13（多选题）．三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3围成一个三角形，则a的取值可以是(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．5
题14(多选题)．下列说法正确的是(　　)
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝
D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0
题15．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
题16．直线l：mx＋y－1－m＝0过定点________，过此定点，且倾斜角为的直线方程为______________．
题17．设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为 .
题18．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
①直线l的斜率为－1；
②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
题19.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
①直线l的斜率为-1;
②直线l在x轴,y轴上的截距之和等于0.
【课堂跟踪拔高】
题20．直线x-y+1=0的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
题21.直线x-y-1=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A. B.2 C.1 D.
题22.若AC>0,BC<0,则直线Ax+By+C=0不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
题23.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A,点A也在直线mx+ny+2=0上,其中m,n均为正数,则+的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.6
题24.已知点A(2,-3),B(-3,-2).若直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,则实数m的取值范围是 ( )
A. (-∞,-]∪[4,+∞) B. [-,4]
C. (,+∞) D. [-4,]
题25(多选题).直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象不可能是 ( )
题26.与直线3x-2y+5=0的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为 .
题27.已知直线l的方程为x+y-=0,则直线l的倾斜角为 ,在y轴上的截距为 .
题28.已知直线l过点P(-1,2),若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求l的方程.
题29．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值．
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
题30.已知直线l经过点P(2,),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O是坐标原点,若 ,求直线l的一般式方程.试从下列所给的2个条件中任选1个补充在前面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积是6.
编号：004 课题:§1.2.3 直线的一般式方程
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握确定直线位置的几何要素．
2、理解并掌握直线方程的几种形式．
3、理解并掌握直线的一般式方程．
4、理解并掌握含参数的直线的一般式方程．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：直线的一般式方程．
难点：含参数的直线的一般式方程．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 直线的一般式方程
(1)方程:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为 0 )叫作直线的 一般式方程 ,简称一般式.
(2)本质:直线的一般式方程是直线的定量刻画,直线是二元一次方程的几何意义.
(3)应用:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式,用一般式表示直线方程.
【思考】
(1)方程y-y0=0是二元一次方程吗
提示:是,是A为0的二元一次方程.
(2)直线与二元一次方程的关系是什么
提示:直线的方程都可以化为二元一次方程;二元一次方程都表示直线.
【课前基础演练】
题1．直线-2x+y+3=0的斜率k= ( )
A.2 B.-2 C. D.-
【解析】选A.直线方程化为斜截式为y=2x-3,
所以斜率k=2.
题2.直线2x+3y+1=0在y轴上的截距为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.令x=0,则2×0+3y+1=0,得y=-.所以直线在y轴上的截距为-.
题3.若ax+by+c=0表示的直线是y轴,则系数a,b,c满足的条件是 ( )
A.bc=0 B.a≠0
C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=c=0
【解析】选D.因为y轴方程表示为x=0,所以a,b,c满足的条件为a≠0且b=c=0.
题4.已知点A(-2,0),B(2,0),C(0,3),则△ABC底边AB的中线的方程是 ( )
A.x=0 B.x=0(0≤y≤3)
C.y=0 D.y=0(0≤x≤2)
【解析】选B.点A(-2,0),B(2,0),C(0,3),可得底边AB的中点坐标为D(0,0),所以△ABC底边AB的中线的方程是x=0(0≤y≤3).
题5（多选题）．关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　　)
A．过点(，－2) B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1
【解析】选BC.对于直线l：x－y－1＝0，当x＝时，y＝2，故A错误；当x＝0时，y＝－1，即直线在y轴上的截距为－1，故D错误；化直线方程为斜截式：y＝x－1，可得直线的斜率为，故B正确；设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝，θ＝60°，故C正确．
题6.若直线mx+3y-5=0经过点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则m= .
【解析】线段AB的中点坐标为(1,1),代入直线方程得m+3-5=0,所以m=2.
答案:2
题7.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是 .
【解析】直线方程可化为y-1=m(x+2).
由直线的点斜式可知直线过定点(-2,1).
答案:(-2,1)
题8.已知直线经过两点A(2+a2,1+a2),B(-1,-5).
(1)若a=1,求直线AB的斜截式方程;
(2)求当斜率kAB最大时,直线AB的一般式方程.
【解析】(1)根据题意,当a=1时,点A的坐标为(3,2),又B(-1,-5),
所以kAB==,
所以直线AB的点斜式方程为y-2=(x-3),变形可得y=x-.
即直线AB的斜截式方程为y=x-;
(2)因为A(2+a2,1+a2),B(-1,-5),
所以kAB==1+,
当a2=0,即a=0时,kAB取得最大值2,
此时直线AB的点斜式方程为y+5=2(x+1),变形可得2x-y-3=0.
故直线AB的一般式方程为2x-y-3=0.
【当堂巩固训练】
题9．直线+=1,化成一般式方程为 ( )
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
【解析】选C.直线+=1化成一般式方程为4x+3y-12=0.
题10.下列直线中,斜率为-,且不经过第一象限的是 ( )
A.3x+4y+7=0 B.4x+3y+7=0
C.4x+3y-42=0 D.3x+4y-42=0
【解析】选B.将一般式化为斜截式,斜率为-的有B,C两项.又y=-x+14过点(0,14),即直线过第一象限,所以只有B项符合题意.
题11.直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于 ( )
A. B.-5 C. D.-3
【解析】选D.令y=0,可得x=-3,所以直线在x轴上的截距等于-3.
题12.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为 ( )
A. B.-6 C.- D.6
【解析】选B.依题意知直线过点(3,0),
代入直线方程得3(m+2)=2m,解得m=-6.
题13（多选题）．三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3围成一个三角形，则a的取值可以是(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．5
【解析】选CD.直线x＋y＝0，x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不能经过原点，故只需直线x＋ay＝3与另两条直线均不平行，即a≠±1.
题14(多选题)．下列说法正确的是(　　)
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝
D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0
【解析】选AB.选项A中，直线在x轴和y轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，所以A正确；选项B中，点在直线y＝x＋1上，且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确；选项C，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故C错误；选项D，还有一条横、纵截距都为0的直线y＝x满足条件，故D错误．
题15．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
【解析】依题意可知k＝tan 45°＝1，所以－＝1，且a2－9≠0.
解得a＝－或a＝3(舍去).
答案：－
题16．直线l：mx＋y－1－m＝0过定点________，过此定点，且倾斜角为的直线方程为______________．
【解析】直线l的方程可化为y－1＝－m(x－1).故直线l过定点(1，1).又当倾斜角为时，直线垂直于x轴，所以过点(1，1)，且倾斜角为的直线方程为x＝1.
答案：(1，1)　x＝1
题17．设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为 .
【思路导引】分别将直线l的方程化为斜截式和截距式求解.
【解析】把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.即解得a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
题18．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
①直线l的斜率为－1；
②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
【解析】①因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.
由题意得－＝－1，解得k＝5.
②直线l的方程可化为＋＝1.
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
题19.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
①直线l的斜率为-1;
②直线l在x轴,y轴上的截距之和等于0.
【思路导引】分别将直线l的方程化为斜截式和截距式求解.
【解析】①因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-x+2.
由题意得-=-1,解得k=5.
②直线l的方程可化为+=1.
由题意得k-3+2=0,解得k=1.
【课堂跟踪拔高】
题20．直线x-y+1=0的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由已知得y=x+1,故直线斜率k=,由于倾斜角的范围是[0,π),则倾斜角为.
题21.直线x-y-1=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A. B.2 C.1 D.
【解析】选D.由题意得直线与坐标轴交点为(1,0),(0,-1),故三角形面积为.
题22.若AC>0,BC<0,则直线Ax+By+C=0不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.由题意知,直线方程为y=-x-,因为AC>0,BC<0,所以<0,>0,=·<0,于是,->0,->0,故直线经过第一、第二和第三象限,不经过第四象限.
题23.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A,点A也在直线mx+ny+2=0上,其中m,n均为正数,则+的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.6
【解析】选B.已知直线kx-y+2k-1=0,整理得y+1=k(x+2),
直线恒过定点A,即A(-2,-1).点A也在直线mx+ny+2=0上,
所以2m+n=2,整理得m+=1,
由于m,n均为正数,则+=( m+)(+) =1+++1≥2+2=4,取等号时,即.
题24.已知点A(2,-3),B(-3,-2).若直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,则实数m的取值范围是 ( )
A. (-∞,-]∪[4,+∞) B. [-,4]
C. (,+∞) D. [-4,]
【解析】选A.
设直线l过定点P(x,y),则直线l:mx+y-m-1=0可写成m(x-1)+y-1=0,令解得所以直线l必过定点P(1,1).kPA==-4,kPB==.因为直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,
由图知,-m≥或-m≤-4,解得m≤-或m≥4,则实数m的取值范围是(-∞,-]∪[4,+∞).
题25(多选题).直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象不可能是 ( )
【解析】选BD.将l1与l2的方程化为l1:y=ax+b,l2:y=bx+a.
A中,由l1的图象可知,a<0,b<0,由l2的图象可知b<0,a<0,故正确;
B中,由l1的图象可知,a<0,b>0,由l2的图象知b>0,a>0,两者矛盾,故B错;
C中,由l1的图象可知,a>0,b>0,由l2的图象可知,a>0,b>0,故正确;
D中,由l1的图象可知,a>0,b<0,由l2的图象可知a>0,b>0,两者矛盾,故D错.
题26.与直线3x-2y+5=0的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为 .
【解析】直线3x-2y+5=0的斜率为,故所求直线方程为y-3=(x+4),即y=x+9.
答案:y=x+9
题27.已知直线l的方程为x+y-=0,则直线l的倾斜角为 ,在y轴上的截距为 .
【解析】将直线方程x+y-=0化为斜截式方程得y=-x+,
故直线l的斜率为-,倾斜角为120°,在y轴上的截距为.
答案:120°
题28.已知直线l过点P(-1,2),若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求l的方程.
【解析】因为直线l在两坐标轴上的截距和为零,
所以直线l的斜率存在且不为0,故不妨设斜率为k,则直线l的方程为y-2=k(x+1),所以直线在x,y轴上截距分别为-1-,k+2,
所以-1-+k+2=0,整理得k2+k-2=0,解得k=-2或k=1,
所以直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0.
题29．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值．
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
【解析】(1)由直线l在x轴上的截距为－3，则直线l过点(－3，0)，即(m2－2m－3)×(－3)－(2m2＋m－1)×0＋6－2m＝0.
即3m2－4m－15＝0.得m＝－或m＝3(舍去).所以m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，直线l化为斜截式方程得y＝x＋，则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去).所以m＝－2.
题30.已知直线l经过点P(2,),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O是坐标原点,若 ,求直线l的一般式方程.试从下列所给的2个条件中任选1个补充在前面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积是6.
【解析】设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
(1)若△AOB的周长为12.
解答如下:由已知可知a+b+=12①,
又因为直线l过P(2,),所以+=1②,
联立①②,解得,
所以直线l的一般式方程为3x+4y-12=0.
(2)若△AOB的面积是6.解答如下:
由已知可知,所以,所以,
所以直线l的一般式方程为3x+4y-12=0.