1.3两条直线的平行与垂直 讲义（含答案）

编号：005 课题:§1.3 两条直线的平行与垂直
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握两条直线平行的条件．
2、理解并掌握两条直线垂直的条件．
3、理解并掌握两条直线平行的判定与应用．
4、理解并掌握两条直线平行的判定与应用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条直线平行、垂直的适用条件．
难点：两条直线平行、垂直的判定与应用．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 两条直线的平行
(1)当直线l1,l2的斜率均存在时,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则:l1与l2平行 k1=k2且_________;
当直线l1,l2的斜率都不存在时,那么它们都与x轴垂直,所以l1∥l2.
(2)直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是 ___ ,重合的充要条件是__ .
2.两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 __________.
(2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则l1⊥l2 ______________.
【思考】
两直线互相垂直,一定能得到两直线的斜率之积等于-1吗
【课前基础演练】
题1．已知直线l1的斜率k1=1,直线l2的斜率k2=-1,则l1与l2的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不确定
题2.直线y=2与直线x=0的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上都不对
题3.过点P(-1,2)且平行于l:2x-y+1=0的直线方程为 ( )
A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.2x-y+4=0
题4.已知直线l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1⊥l2,则a= ( )
A. B.- C.3 D.-3
题5（多选题）．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有(　　)
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若l1∥l2，则k1＝k2
D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α
题6.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m= .
题7.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是 .
题8. 已知直线l1:(1-a)x+ay-2=0,l2:ax+(2a+1)y+3=0,若l1⊥l2,求a的值.
题9.△ABC的三个顶点分别为A(2,0),B(4,4),C(0,3),求:
①AC边所在直线的方程.
②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程.
【当堂巩固训练】
题10．过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 ( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0
C.x-2y+7=0 D.x-2y+5=0
题11.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
题12. 若直线2x+3y-1=0与直线4x+my+11=0平行,则m的值为 ( )
A. B.- C.-6 D.6
题13（多选题）．下列结论中正确的有(　　)
A．过点且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为2x－y＋4＝0
B．过点且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为x＋2y－3＝0
C．若直线l1：ax＋3y＋4＝0与直线l2：x＋y＋a2－5＝0平行，则a的值为－1或3
D．过点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y＋1＝0
题14(多选题)．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，有下面四个结论，其中正确的结论是(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
题15．若直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,则实数a= .
题16．直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1，2)，
B(a－1，3).
(1)若l1∥l2，则a的值为________.
(2)若l1⊥l2，则a的值为________.
题17．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为________时，AB⊥CD.
题18．直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
【课堂跟踪拔高】
题19．直线l:x+y+2=0,若l1⊥l,则l1的倾斜角是 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
题20.已知直线l过点(2,3)且与直线m:x-2y+5=0平行,则直线l的方程为 ( )
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D.x-2y+1=0
题21.已知△ABC三个顶点为A(-5,0),B(2,4),C(0,2),则BC边上的高所在直线的方程为 ( )
A.y=-x-5 B.y=-x+5 C.y=x+5 D.y=x-5
题22.已知A(3,1),B(1,-2),C(1,1),则过点C且与线段AB平行的直线方程为 ( )
A.3x+2y-5=0 B.3x-2y-1=0
C.2x-3y+1=0 D.2x+3y-5=0
题23.已知直线l1:y=-x-1,l2:y=k2x-2,则“k=2”是“l1⊥l2”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题24.已知直线l1:(a-1)x+y-3=0,l2:2x+(2a+1)y+3=0,则“a=”是“l1∥l2”的 条件 ( )
A.必要不充分 B.充分不必要
C.充要 D.既不充分也不必要
题25(多选题).已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,则a的值可以是 ( )
A.-4 B.-3 C.3 D.4
题26(多选题).已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),则点B的坐标为 ( )
A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2)
题27.已知直线l1:x+my-2m-2=0,直线l2:mx+y-1-m=0,则当l1⊥l2时,m= ;当l1∥l2时,m= .
题28．如图所示，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0).
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
题29.已知直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.
编号：005 课题:§1.3 两条直线的平行与垂直
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握两条直线平行的条件．
2、理解并掌握两条直线垂直的条件．
3、理解并掌握两条直线平行的判定与应用．
4、理解并掌握两条直线平行的判定与应用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条直线平行、垂直的适用条件．
难点：两条直线平行、垂直的判定与应用．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 两条直线的平行
(1)当直线l1,l2的斜率均存在时,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则:l1与l2平行 k1=k2且b1≠b2;
当直线l1,l2的斜率都不存在时,那么它们都与x轴垂直,所以l1∥l2.
(2)直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是 C1≠C2 ,重合的充要条件是C1=C2 .
2.两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 k1k2=-1.
(2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 .
【思考】
两直线互相垂直,一定能得到两直线的斜率之积等于-1吗
提示:不一定,因为两直线互相垂直,可能其中一条直线的斜率不存在.
【课前基础演练】
题1．已知直线l1的斜率k1=1,直线l2的斜率k2=-1,则l1与l2的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不确定
【解析】选B.因为k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
题2.直线y=2与直线x=0的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上都不对
【解析】选B.直线y=2与直线x=0垂直.
题3.过点P(-1,2)且平行于l:2x-y+1=0的直线方程为 ( )
A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.2x-y+4=0
【解析】选D.因为直线l:2x-y+1=0的斜率为2,所以所求直线的斜率也为2,由点斜式可得所求直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
题4.已知直线l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1⊥l2,则a= ( )
A. B.- C.3 D.-3
【解析】选A.因为l1⊥l2,所以·（-）=-1,解得a=.
题5（多选题）．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有(　　)
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若l1∥l2，则k1＝k2
D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α
【解析】选AD.对于A选项，平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，A对；对于B选项，平面直角坐标系中倾斜角为90°的直线没有斜率，B错；对于C选项，当l1，l2都与x轴垂直时，l1，l2的斜率都不存在，但l1∥l2，C错；对于D选项，若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α，D对．
题6.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m= .
【解析】由题得-=3,所以m=-.
答案:-
题7.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是 .
【解析】因为l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,不妨设斜率分别为k1,k2,则k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
答案:垂直
题8. 已知直线l1:(1-a)x+ay-2=0,l2:ax+(2a+1)y+3=0,若l1⊥l2,求a的值.
【解析】根据直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的等价条件是:A1A2+B1B2=0,根据题意得到:(1-a)a+a(2a+1)=0整理为:a2+2a=0,解得a=0或-2.
题9.△ABC的三个顶点分别为A(2,0),B(4,4),C(0,3),求:
①AC边所在直线的方程.
②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程.
【思路导引】①直接根据两点坐标求出斜率,代入整理即可.
②显然所求直线斜率存在,由垂直关系可求出斜率,由点斜式求出直线方程,再化为一般式.
【解析】①直线AC的斜率为k=-,
由点斜式得直线方程为y-0=-(x-2),
即3x+2y-6=0.
②直线AC的斜率为k=-,AC⊥DE,
直线DE斜率为,线段AC的中点坐标为,由点斜式可得直线DE的方程为y-=(x-1),即4x-6y+5=0.
【当堂巩固训练】
题10．过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 ( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0
C.x-2y+7=0 D.x-2y+5=0
【思路导引】显然斜率存在,两直线平行斜率相等,由点斜式求出直线方程,再化为一般式.
【解析】选C.由已知,所求直线的斜率是k=,由点斜式方程可得y-3=(x+1),即x-2y+7=0.
题11.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
【思路导引】根据斜率存在不存在分类讨论,若存在斜率,则斜率相等.
【解析】选C.由两直线平行得,
①当k-3=0时,两直线的方程分别为y=-1和y=,显然两直线平行.
②当k-3≠0时,由=≠,可得k=5.
综上,k的值是3或5.
题12. 若直线2x+3y-1=0与直线4x+my+11=0平行,则m的值为 ( )
A. B.- C.-6 D.6
【解析】选D.直线2x+3y-1=0的斜率为-,直线4x+my+11=0的斜率为-,
因为两直线平行,所以-=-,则m=6.
题13（多选题）．下列结论中正确的有(　　)
A．过点且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为2x－y＋4＝0
B．过点且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为x＋2y－3＝0
C．若直线l1：ax＋3y＋4＝0与直线l2：x＋y＋a2－5＝0平行，则a的值为－1或3
D．过点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y＋1＝0
【解析】选AB.对于A，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则过点且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为y－2＝2，即2x－y＋4＝0，A正确；对于B，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则过点且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为y－2＝－，即x＋2y－3＝0，B正确；对于C，直线l1：ax＋3y＋4＝0的斜率为－，因为直线l1与直线l2平行，则直线l2的斜率存在，且－＝－，解得a＝－1或3，当a＝－1时，两直线重合，当a＝3，两直线平行，C错误；对于D，因过点M，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为y＝－x，当截距不为0时，直线方程为x＋y＋1＝0，D错误．
题14(多选题)．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，有下面四个结论，其中正确的结论是(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
【解析】选ABD.由斜率公式知，kPQ＝＝
－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，所以PQ∥SR，PS⊥PQ，PR⊥QS，而kPS≠kQS所以PS与QS不平行．
题15．若直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,则实数a= .
【思路导引】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可.
【解析】(因为直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,所以有2a-(a+1)·(-a)=0 a=0或a=-3.
答案:0或-3
题16．直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1，2)，
B(a－1，3).
(1)若l1∥l2，则a的值为________.
(2)若l1⊥l2，则a的值为________.
【解析】(1)直线l2的斜率k2＝＝，由l1∥l2，得k1＝k2，所以＝，所以a＝.
(2)由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，所以×＝－1，所以a＝.
答案：(1)　(2)
题17．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为________时，AB⊥CD.
【解析】设点D(x，0)，因为kAB＝＝4≠0，所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9，0)
题18．直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
【解析】①当l1，l2斜率都存在时，
所以m≠0且m≠3.
由l1∥l2，得－＝－，解得m＝－4.
此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0，
显然，l1与l2不重合，满足条件．
②当l1，l2斜率不存在时，解得m＝3.
此时l1：x＝－，l2：x＝，满足条件．
综上所述，m＝－4或m＝3.
【课堂跟踪拔高】
题19．直线l:x+y+2=0,若l1⊥l,则l1的倾斜角是 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选B.因为直线l:x+y+2=0,所以k=-,又l1⊥l,所以l1的斜率为k1=,因为倾斜角的范围为[0,π),所以l1的倾斜角为60°.
题20.已知直线l过点(2,3)且与直线m:x-2y+5=0平行,则直线l的方程为 ( )
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D.x-2y+1=0
【解析】选C.因为直线l与直线m:x-2y+5=0平行,
所以直线l的斜率为,又直线l过点(2,3),
所以直线l的方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0.
题21.已知△ABC三个顶点为A(-5,0),B(2,4),C(0,2),则BC边上的高所在直线的方程为 ( )
A.y=-x-5 B.y=-x+5 C.y=x+5 D.y=x-5
【解析】选A.直线BC的斜率为kBC==1,故BC边上的高所在直线的斜率为-1,因此,BC边上的高所在直线的方程为y=-(x+5)=-x-5.
题22.已知A(3,1),B(1,-2),C(1,1),则过点C且与线段AB平行的直线方程为 ( )
A.3x+2y-5=0 B.3x-2y-1=0
C.2x-3y+1=0 D.2x+3y-5=0
【解析】选B.因为A(3,1),B(1,-2),C(1,1),
所以kAB==,
则所求直线的斜率为,所以过点C且与线段AB平行的直线方程为y-1=(x-1),即3x-2y-1=0.
题23.已知直线l1:y=-x-1,l2:y=k2x-2,则“k=2”是“l1⊥l2”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当k=2时,直线l2:y=4x-2,因为(-)×4=-1,所以l1⊥l2,充分性成立,当l1⊥l2时,因为直线l1的斜率存在,且不为0,所以(-)×k2=-1,解得k=±2,必要性不成立,所以“k=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
题24.已知直线l1:(a-1)x+y-3=0,l2:2x+(2a+1)y+3=0,则“a=”是“l1∥l2”的 条件 ( )
A.必要不充分 B.充分不必要
C.充要 D.既不充分也不必要
【解析】选C.由=,解得a=或a=-1,当a=时,l1:x+2y-6=0,l2:x+2y+=0,满足l1∥l2;当a=-1时,l1:2x-y+3=0,l2:2x-y+3=0,不满足l1∥l2;所以l1∥l2 a=,即“a=”是“l1∥l2”的充要条件.
题25(多选题).已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,则a的值可以是 ( )
A.-4 B.-3 C.3 D.4
【解析】选AC.设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,
则k2==-.
若l1⊥l2,①当k2=0时,此时a=0,k1=-,不符合题意;
②当k2≠0时,l1的斜率存在,此时k1=.
由k1k2=-1,可得·(-) =-1,
解得a=3或a=-4.所以当a=3或a=-4时,l1⊥l2.
题26(多选题).已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),则点B的坐标为 ( )
A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2)
【解析】选AC.设B(x,y),因为等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),
所以解得或,所以点B的坐标为(2,0)或(4,6).
题27.已知直线l1:x+my-2m-2=0,直线l2:mx+y-1-m=0,则当l1⊥l2时,m= ;当l1∥l2时,m= .
【解析】若l1⊥l2,则1×m+m×1=0,得m=0;
若l1∥l2,则m2-1=0,且(-1-m)×1-m(-2m-2)≠0,解得m=1.
答案:0 1
题28．如图所示，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0).
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
【解析】(1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，设直线CD的方程为2x－y＋m＝0，
将点C(2，0)代入上式得m＝－4，所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2，0)代入上式得n＝－2. 所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
题29.已知直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.
【解析】设直线l2的斜率为k2,则k2==-.
因为l1⊥l2,且k1=,所以k1·k2=-1,
所以×=1,即a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.
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