1.4两条直线的交点 讲义（含答案）

编号：006 课题:§1.4 两条直线的交点
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握求两条直线的交点坐标的方法．
2、理解并掌握过定点的直线．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条直线的交点坐标的求法．
难点：定点直线系问题．
教学过程赏析
基础知识积累
两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1,l2的公共点 ______个 无数个 _____个
直线l1,l2的位置关系 相交 _______ 平行
【课前基础演练】
题1．直线x=1与直线y=2的交点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,1) D.(2,2)
题2.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为 ( )
A.(-4,-3) B.(4,3)
C.(-4,3) D.(3,4)
题3.若三条直线2x+ky+8=0,x-y-1=0和2x-y=0交于一点,则k的值为 ( )
A.-2 B.- C.3 D.
题4.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
题5(多选题)．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值可以是(　　)
A．－24 B．6 C．－6 D．0
题6.直线l1:2x-by-6=0与直线l2:x+y+a=0的交点为(2,2),则a+b= .
题7.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是 .
题8.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线方程是 .
题9. 求证:不论λ为何实数,直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3都恒过一定点.
【当堂巩固训练】
题10．直线4x+2y-2=0与直线3x+y-2=0的交点坐标是 ( )
A.(2,2) B.(2,-2) C.(1,-1) D.(1,1)
题11.若直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是 ( )
A.( -,) B. (-,)
C. (,+∞) D. (-,+∞)
题12.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是 ( )
A.-24 B.6 C.±6 D.24
题13.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为 ( )
A.-2 B.- C.2 D.
题14（多选题）．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值为(　　)
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝－2 D．a＝2
题15(多选题)．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则(　　)
A．Ax0＋By0＋C≠0
B．Ax0＋By0＋C＝0
C．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线
D．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线
题16．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________.
题17.经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程是 .
题18．直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为(0，2)，则a＝________，b＝________.
题19．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线的方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
题20. 求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.
【课堂跟踪拔高】
题21．经过直线x-y+4=0与直线x+y+2=0的交点,且平行于直线y=2x的直线方程为 ( )
A.2x-y-7=0
B.2x-y+7=0
C.x-2y+1=0
D.x+2y+1=0
题22.若直线2x+3y+7=0,x-y+1=0和x+my=0相交于一点,则m= ( )
A.- B. C.-2 D.2
题23.方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线 ( )
A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线
题24.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为 ( )
A. (-,-) B. (,)
C. (,-) D. (-,)
题25.若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.0°<α<60° B.30°<α<60°
C.30°<α<90° D.60°<α<90°
题26（多选题）.已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的可能取值为 ( )
A.- B. C. D.-
题27.经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线l的方程为 .
题28.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
题29．求经过两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
题30.已知直线l1:x-3y-2=0,l2:3x-2y+1=0,设直线l1,l2的交点为P.
(1)求P的坐标;
(2)若直线l过点P且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
题31.已知直线l1:3x+2y+6=0,直线l2:2x-3m2y+18=0,直线l3:2mx-3y+12=0.
(1)若l1与l2的倾斜角互补,求m的值;
(2)当m为何值时,三条直线能围成一个直角三角形.
编号：006 课题:§1.4 两条直线的交点
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握求两条直线的交点坐标的方法．
2、理解并掌握过定点的直线．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条直线的交点坐标的求法．
难点：定点直线系问题．
教学过程赏析
基础知识积累
两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1,l2的公共点 __一个_ 无数个 __零__个
直线l1,l2的位置关系 相交 __重合___ 平行
【课前基础演练】
题1．直线x=1与直线y=2的交点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,1) D.(2,2)
【解析】选A.直线x=1与直线y=2是互相垂直的直线,其交点坐标是(1,2).
题2.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为 ( )
A.(-4,-3) B.(4,3)
C.(-4,3) D.(3,4)
【解析】选C.由解得即交点坐标是(-4,3).
题3.若三条直线2x+ky+8=0,x-y-1=0和2x-y=0交于一点,则k的值为 ( )
A.-2 B.- C.3 D.
【解析】选C.联立得.
把代入2x+ky+8=0得k=3.
题4.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,
由得
故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1),
又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限.
题5(多选题)．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值可以是(　　)
A．－24 B．6 C．－6 D．0
【解析】选BC.因为两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，设交点为(0，b)，所以消去b，可得m＝±6.
题6.直线l1:2x-by-6=0与直线l2:x+y+a=0的交点为(2,2),则a+b= .
【解析】由于(2,2)为两直线的交点,所以代入直线方程,可得2×2-2b-6=0,2+2+a=0,解得b=-1,a=-4,故a+b=-5.
答案:-5
题7.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是 .
【解析】l1与l2相交,则有:≠,所以a≠2.
答案:a≠2
题8.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线方程是 .
【解析】直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点为(1,6),垂直于直线x-2y=0的直线方程可设为2x+y+m=0,所以2+6+m=0,m=-8,即2x+y-8=0.
答案:2x+y-8=0
题9. 求证:不论λ为何实数,直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3都恒过一定点.
【思路导引】给λ任取两个特殊值,得两条直线的方程,联立得交点;也可整理为关于λ的一次式,令系数与常数项都为零解得交点.
【证明】方法一:(特殊值法)取λ=0,得到直线l1:2x+y+3=0,取λ=1,得到直线l2:x=-3,
故l1与l2的交点为P(-3,3).
将点P(-3,3)代入方程左边,得(λ+2)×(-3)-(λ-1)×3=-6λ-3,所以点(-3,3)在直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3上.所以直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒过定点(-3,3).
方法二:(分离参数法)由(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3,整理得(2x+y+3)+λ(x-y+6)=0.则直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3通过直线2x+y+3=0与x-y+6=0的交点.
由方程组得
所以直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒过定点(-3,3).
【当堂巩固训练】
题10．直线4x+2y-2=0与直线3x+y-2=0的交点坐标是 ( )
A.(2,2) B.(2,-2) C.(1,-1) D.(1,1)
【解析】选C.解方程组得
所以交点坐标为(1,-1).
题11.若直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是 ( )
A.( -,) B. (-,)
C. (,+∞) D. (-,+∞)
【解析】选B.将直线方程联立,
解得,
因为直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,
所以,解得-题12.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是 ( )
A.-24 B.6 C.±6 D.24
【解析】选C.设交点P(0,y),代入2x+3y-k=0,得y=,所以P,代入x-ky+12=0,得0-+12=0,
所以k=±6.
题13.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为 ( )
A.-2 B.- C.2 D.
【解析】选B.易求直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2),代入x+ky=0,得k=-.
题14（多选题）．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值为(　　)
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝－2 D．a＝2
【解析】选ABC.①当 l1和l3平行，或l2和l3平行，或l1和l2平行时．
若l1和l3平行，则＝，求得a＝1；
若l2和l3平行，则 ＝，求得a＝1.
若 l1和l2平行，则＝，求得a＝±1.
②当三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0交于同一个点时，a＝－2；
综上可得，实数a所有可能的值为－1，1，－2.
题15(多选题)．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则(　　)
A．Ax0＋By0＋C≠0
B．Ax0＋By0＋C＝0
C．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线
D．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线
【解析】选AD.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.
题16．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________.
【解析】由得
由于交点在第一象限，故x>0，且y>0，解得k>.
答案：
题17.经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程是 .
【解析】方法一:由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(-2,2).
因为直线过坐标原点,所以其斜率k==-1.
故直线方程为y=-x,即x+y=0.
方法二:因为l2不过原点,所以可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),
即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.
将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,
所以直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.
答案:x+y=0
题18．直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为(0，2)，则a＝________，b＝________.
【解析】将点(0，2)代入直线x＋by＝1，解得b＝，将点(0，2)代入直线x－y＝a，解得a＝－2.
答案：－2　
题19．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线的方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
【解析】解方程组得交点P(1，1).
(1)若直线与l1平行，
因为k1＝2，所以斜率k＝2，所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)若直线与l2垂直，因为k2＝，所以斜率k＝－＝－，
所以所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
题20. 求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.
【解析】方法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,
令m=0,得x-3y-11=0;
令m=1,得x+4y+10=0.
解方程组得两条直线的交点坐标为(2,-3).
将点(2,-3)代入直线方程,得
(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0.
这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).
方法二:将已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,
整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.
由于m取值的任意性,有
解得
所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).
【课堂跟踪拔高】
题21．经过直线x-y+4=0与直线x+y+2=0的交点,且平行于直线y=2x的直线方程为 ( )
A.2x-y-7=0
B.2x-y+7=0
C.x-2y+1=0
D.x+2y+1=0
【解析】选B.由,解得,
即两直线的交点坐标为(-3,1),
设所求直线的方程为y=2x+b,
则有1=2×(-3)+b,解得b=7,
所以所求直线方程为y=2x+7,即2x-y+7=0.
题22.若直线2x+3y+7=0,x-y+1=0和x+my=0相交于一点,则m= ( )
A.- B. C.-2 D.2
【解析】选C.由得即交点为(-2,-1),代入直线方程x+my=0,解得m=-2.
题23.方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线 ( )
A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线
【解析】选A.(a-1)x-y+2a+1=0化为ax-x-y+2a+1=0,
因此-x-y+1+a(x+2)=0,由得
题24.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为 ( )
A. (-,-) B. (,)
C. (,-) D. (-,)
【解析】选B.由题意得2a-(a+1)=0,解得a=1.联立解得所以这两条直线的交点坐标为(,).
题25.若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.0°<α<60° B.30°<α<60°
C.30°<α<90° D.60°<α<90°
【解析】选C.由得所以两直线的交点坐标为(,),由交点在第一象限知解得k>,
即tan α>,α是锐角,故30°<α<90°.
题26（多选题）.已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的可能取值为 ( )
A.- B. C. D.-
【解析】选ACD.因为三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,所以直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0,4x+3y+5=0平行,或者直线mx-y-1=0过2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点,直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0,4x+3y+5=0分别平行时,m=或-,直线mx-y-1=0过2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点时,m=-,所以实数m的取值集合为.
题27.经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线l的方程为 .
【解析】由方程组得
又所求直线与直线3x+y-1=0垂直,故k=,
所以直线方程为y+=( x+),
即5x-15y-18=0.
答案:5x-15y-18=0
题28.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
【解析】由题设所求直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0,令x=0,得y=;令y=0,得x=.因为所求直线方程在两坐标轴上的截距相等,所以=,即λ=或λ=,所以所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.
答案:x+y+1=0或3x+4y=0
题29．求经过两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【解析】由所以，
所以直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点为P.
①当所求直线经过原点时，符合在两坐标轴上的截距相等，设方程为y＝kx，将P代入得k＝－，此时直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0；
②当所求直线不经过原点时，设方程为x＋y＝a，
将P代入可得a＝1，此时直线方程为x＋y－1＝0.
综上所述，所求直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.
题30.已知直线l1:x-3y-2=0,l2:3x-2y+1=0,设直线l1,l2的交点为P.
(1)求P的坐标;
(2)若直线l过点P且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
【解析】(1)联立方程解得P(-1,-1);
(2)因为直线l在两坐标轴上的截距相等,
所以直线l的斜率为-1或经过原点,
当直线l过原点时,因为直线l过点P,所以l的方程为y=x,即x-y=0;
当直线l斜率为-1时,因为直线l过点P,
所以l的方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,
综上,直线l的方程为x+y+2=0或x-y=0.
题31.已知直线l1:3x+2y+6=0,直线l2:2x-3m2y+18=0,直线l3:2mx-3y+12=0.
(1)若l1与l2的倾斜角互补,求m的值;
(2)当m为何值时,三条直线能围成一个直角三角形.
【解析】(1)因为l1与l2的倾斜角互补,
所以=-,
直线l1:3x+2y+6=0变形为l1:y=-x-3,故=-,
所以==,解得m=±;
(2)由题意知,若l1:3x+2y+6=0和l2:2x-3m2y+18=0垂直可得,
3×2+2×(-3m2)=0,解得m=±1,
当m=1时,l2:2x-3y+18=0,l3:2x-3y+12=0,l2∥l3,构不成三角形,
当m=-1时,经验证符合题意,
故m=-1;
同理,若l1:3x+2y+6=0和l3:2mx-3y+12=0垂直可得,6m-6=0,解得m=1,舍去;
若l2:2x-3m2y+18=0和l3:2mx-3y+12=0垂直可得,4m+9m2=0,解得m=0或m=-,经验证符合题意,故m的值为0,-1,-.
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