单元测评(一) 导数及其应用(A卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．下列各式正确的是( )
A．(sina)′＝cosa(a为常数)
B．(cosx)′＝sinx
C．(sinx)′＝cosx
D．(x－5)′＝－x－6
解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6.只有C正确．21教育网
答案：C
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：A
3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )21cnjy.com
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.
答案：B
4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f′(－3)＝0.
∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
答案：D
5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．21·cn·jy·com
答案：A
6．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A．在区间(－2,1)内f(x)是增函数
B．在区间(1,3)内f(x)是减函数
C．在区间(4,5)内f(x)是增函数
D．在x＝2时，f(x)取极小值
解析：由图象可知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(4,5)内为增函数．
答案：C
7．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．－5 B．7
C．10 D．－19
解析：∵y′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
∴函数在[－2，－1]内单调递减，
最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值为f(－1)＝a－5＝－5.
答案：A
8．曲线y＝x2－1与x轴围成图形的面积等于( )
A. B.
C．1 D.
解析：函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为
S＝2(1－x2)dx＝2|＝2×＝.
答案：D
9．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B.
C. D.
解析：f(x)dx＝x2dx＋dx
＝x3|＋lnx|＝.
答案：A
10．若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是( )
A．eaf(a)>ebf(b) B．ebf(a)>eaf(b)
C．ebf(b)>eaf(a) D．eaf(b)>ebf(a)
解析：∵′＝
＝<0，
∴y＝单调递减，又a>b，
∴<，
∴eaf(b)>ebf(a)．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．2·1·c·n·j·y
解析：存在与x轴平行的切线，即f′(x)＝3x2－6b＝0有解．
又∵x∈(0,1)，∴b＝∈.
答案：
12．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________.
解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，
∴?或
当时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.
答案：4
13．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．
解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，根据条件4R＋2h＝4，得h＝2－2R,0
∴V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，
由V′＝4πR－6πR2＝0得R＝，且当R∈时，函数V递增；R∈时，函数V递减，
故R＝时，V取最大值π.
答案：π
14．一动点P从原点出发，沿x轴运动，其速度v(t)＝2－t(速度的正方向与x轴的正方向一致)，则t＝3时，动点P移动的路程为________．
解析：由v(t)＝2－t≥0得0≤t≤2，
∴t＝3时，点P移动的路程为
s＝(2－t)dt－(2－t)dt
＝|－|＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在x＝2处的切线方程；
(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
解：(1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线斜率k＝y′|x＝2＝4.
又x＝2时y＝4，
∴在点P(2,4)处的切线方程：4x－y－4＝0.4分
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，
则切线斜率k＝y′|x＝x0＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.8分
∵点P(2,4)在切线上，
∴x－3x＋4＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，x0＝2.
故所求的切线方程为y＝x＋2或y＝4x－4，即4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.12分
16．(12分)设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)f′(x)＝aex－，
当f′(x)>0，即x>－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；
当f′(x)<0，即x<－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．
①当00，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－lna)＝2＋b；
②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.6分www.21-cn-jy.com
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.
故a＝，b＝.12分
17．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－lnx在x＝1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及极值．
解：(1)f′(x)＝2ax＋2－，
由f′(1)＝2a＋＝0，得a＝－.4分
(2)f(x)＝－x2＋2x－lnx(x>0)．
f′(x)＝－x＋2－＝
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.8分
①当f′(x)>0时1②当f′(x)<0时02.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘?
↗
－ln2
?↘
因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为f(1)＝，极大值为f(2)＝－ln2.12分
18．(14分)已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x.
(1)若对任意x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围；
(2)若对任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围．21世纪教育网版权所有
解：(1)∵f(x)≤g(x)恒成立，
∴c≥(－2x3＋3x2＋12x)max.
令F(x)＝－2x3＋3x2＋12x，x∈[－3,3]，
∴F′(x)＝－6x2＋6x＋12，x∈[－3,3]，
令F′(x)＝0得x＝－1或x＝2.
∴当x∈[－1,2]，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当x∈[－3，－1)或x∈(2,3]，f′(x)<0，
f(x)单调递减，4分
又∵F(2)＝20，F(－3)＝45，
∴F(x)max＝F(－3)＝45，∴c≥45.7分
(2)∵f(x1)＝7(x1－2)2－28－c，x1∈[－3,3]，
∴f(x1)max＝f(－3)＝147－c，
∵g(x)＝2x3＋4x2－40x，
∴g′(x)＝6x2＋8x－40.
∵x∈[－3,3]，
∴当x∈[－3,2]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减；
x∈(2,3)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
∴x2∈[－3,3]时，g(x2)min＝g(2)＝－48.10分
又∵f(x1)≤g(x2)对任意x1，x2∈[－3,3]都成立，
∴147－c≤－48，即c≥195，
即实数c的取值范围为[195，＋∞).14分
单元测评(二) 导数及其应用(B卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．函数f(x)在x＝1处的导数为1，则
的值为( )
A．3 B．－
C. D．－
答案：D
2．函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1] 上的图象如图所示，则m，n的值可能是( )
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2
C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1
答案：B
3．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为( )
A. B.
C. D．1
答案：A
4．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )
A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dx D．S＝(y－)dy
解析：两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝
(x－x2)dx.
答案：B
5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x，当x＝b时取到极大值c，则ad等于( )21世纪教育网版权所有
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：y′＝－1，令y′＝0得x＝－1，当－20，当x>－1时，y′<0，∴b＝－1，c＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad＝bc＝－1，故选A.21教育网
答案：A
6．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为( )21cnjy.com
(1)
(2)
(3)
A. B．－
C. D．－或
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是第一个图；第二个图中，a＝0，f′(x)＝x2－1，但已知a≠0，故f′(x)的图象为第三个图，∴f′(0)＝0，∴a＝±1，又其对称轴在y轴右边，∴a＝－1，
∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－，故选B.
答案：B
7．已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(－1,0)
B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(－1,0)∪(0，＋∞)
D．a∈R且a≠0，a≠－1
解析：若存在实数m，使直线l是曲线y＝f(x)的切线，
∵f′(x)＝2sinxcosx＋2a＝sin2x＋2a，∴方程sin2x＋2a＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.
答案：B
8．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝( )
A．±1 B.
C．± D．2
解析：f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝|＝9a＋3b.
由f(x)dx＝3f(x0)得，9a＋3b＝3ax＋3b，∴x＝3，
∴x0＝±.
答案：C
9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：设F(x)＝，则
F′(x)＝，
由题意知：F(x)为奇函数，F(x)在(－∞，0)上递增，F(3)＝0，数形结合易得F(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，从而f(x)g(x)<0的解集也为(－∞，－3)∪(0,3)．2·1·c·n·j·y
答案：D
10．已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2 012的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，21·世纪*教育网
∴f(x)＝4x2－1，
∴＝＝·
＝，
∴数列{}的前n项和为
Sn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝＝，
∴S2 012＝.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．y＝，－π解析：y′＝＝，
令＝2，得cosx＝－，
∵－π答案：±π
12．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)(a>0)成立，则a＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：
答案：
13．函数y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－3＝0，则f′(1)＋f(1)＝________.www-2-1-cnjy-com
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝－2，又根据(1，f(1))在切线上得f(1)＝1，所以，f′(1)＋f(1)＝－1.2-1-c-n-j-y
答案：－1
14．f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围为________． 21*cnjy*com
解析：问题转化为f′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
故b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，
∵x2＋2x>(－1)2＋2×(－1)＝－1，
∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值．
解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，
∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，
∴f(1)＝2，
∴(1,2)在y＝f(x)上，
∴2＝－a＋a2－1＋b.
又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，
解得a＝1，b＝.6分
(2)∵f(x)＝x3－x2＋，
∴f′(x)＝x2－2x，
由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗?
极大值
↘?
极小值
↗?
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．
∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在区间[－2,4]上的最大值为8.12分
16．(12分)已知x＝1是函数f(x)＝的极值点．
(1)求a的值；
(2)函数y＝f(x)－m有2个零点，求m的范围．
解：(1)∵x>0时，f′(x)＝(x2＋ax＋2x＋a)ex，
∴f′(1)＝(3＋2a)e，
由题意得f′(1)＝0，故a＝－.2分
(2)问题可转化为y＝f(x)与y＝m图象有2个交点，
x>0时，f(x)＝ex，
∴f′(x)＝ex.
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－(舍)，
∴易知f(x)在(0,1)上递减，
在(1，＋∞)上递增，
∴当x>0时，f(x)min＝f(1)＝－.4分
①当b<0时，f(x)的草图如图①：
①
故m>－时满足题意；6分
②当b＝0时f(x)的草图如图②：
②
故－③当b>0时f(x)的草图如图③：
③
故m＝－或m＝0时满足题意.10分
综上所述：当b<0时，m>－；
当b＝0时，－当b>0时，m＝－或m＝0.12分
17．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直，21·cn·jy·com
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，
∴a＋b＝4. ①
f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，由已知得f′(1)·(－)＝－1，即3a＋2b＝9， ②www.21-cn-jy.com
由①②式解得a＝1，b＝3.6分
(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)．
由条件知m≥0或m＋1≤－2，
∴m≥0或m≤－3.12分
18．(14分)设函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)．
(1)若a＝－4，写出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若在区间[0,1]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，求实数a的取值范围．
解：(1)a＝－4，f(x)＝x2－4ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝2x－＝(x>－1)，
∴当－11时f′(x)>0，
∴函数f(x)在(－1,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.4分
(2)f′(x)＝2x＋＝(x>－1)．
∵函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴2x2＋2x＋a≥0在[2，＋∞)上恒成立，
令t＝2x2＋2x＝22－(x≥2)，则t≥12，
∴a≥－12.8分
(3)对于方程2x2＋2x＋a＝0，Δ＝4－8a，
当Δ≤0时，f′(x)≥0，f(x)在区间[0,1]上单调递增不合题意，
当Δ>0时，设x1，x2(x1根据题意有x1<0f(1)，
∴解得a<－log2e，
∴实数a的取值范围为(－∞，－log2e).14分
