单元测评(五) 数系的扩充与复数的引入(A卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．已知i是虚数单位，则＝( )
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
解析：＝＝1＋2i.
答案：D
2．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴＝－1－i.
答案：A
3．复数z＝－1在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：－1＝－1＝－1＝－1＋i.
答案：B
4．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i为纯虚数，∴b＝2.
答案：D
5．若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )
A. B.
C. D．2
解析：由题意，得z＝2i＋＝2i＋＝1－i，
复数z的模|z|＝＝.
答案：B
6．已知f(n)＝in－i－n(i2＝－1，n∈N)，集合{f(n)|n∈N}的元素个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．无数个
解析：f(0)＝i0－i0＝0，
f(1)＝i－i－1＝i－＝2i，
f(2)＝i2－i－2＝0，
f(3)＝i3－i－3＝－2i，
由in的周期性知
{f(n)|n∈N}＝{0，－2i,2i}．
答案：B
7．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：由题意可得(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0?－1＋b＋c＋(2＋b)i＝0，
所以?
答案：B
8．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的模等于( )
A．0 B.
C．5 D.
解析：∵2＋ai＝b－i，a，b∈R，
∴a＝－1，b＝2，
∴|z|＝＝.
答案：D
9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：由定义知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
答案：A
10．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．线段
C．两个点 D．两个圆
解析：由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3或|z|＝－1(舍去)，
∴复数z对应点的轨迹为一个圆．
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∴x＝1.
答案：1
12．若复数z同时满足z－＝2i，＝iz(i为虚数单位)，则z＝________.
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
解得，
∴z＝－1＋i.
答案：－1＋i
13．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．
其中错误命题的序号是________．
解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；④若z＝bi(b≠0)为纯虚数，则z2＝－b2<0，故①②③均是错误命题，④是正确的．
答案：①②③
14．已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析：因为z＝(3＋i)2＝8＋6i，所以|z|＝＝10.
答案：10
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1·z2；(2).
解：z2＝＝1－3i.4分
(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.8分
(2)＝＝＋i.12分
16．(12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则
解得∴z＝－4＋3i，8分
∴＝
＝
＝3＋4i.12分
17．(12分)已知复数z1＝－2i(1＋i)．
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解：(1)∵z1＝－2i(1＋i)＝2－2i，
∴|z1|＝＝2.6分
(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.12分
18．(14分)设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．
(1)求z1；
(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数满足|z·|＝125，求z.
解：(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i4分
(也可设z1＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件求解．)
(2)由|(3±4i)3·(a－i)|＝125，得125＝125，a＝±2.10分
当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；12分
当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.14分
单元测评(六) 数系的扩充与复数的引入(B卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数．其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：A
2．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
答案：D
3．复数z满足方程z＝(z＋2)i，则z所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为z＝(z＋2)i，所以z(1－i)＝2i，所以z＝＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z所对应的点在第二象限．
答案：B
4．若复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．－1 B．1
C．－ D.
解析：因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，又复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，所以即a＝－1.
答案：A
5．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，
??
∴＝＝＝±i.
答案：D
6．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i，
所以解得
所以z＝＋i.
答案：D
7．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A. B.
C．－ D．2
解析：因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.
答案：C
8．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为＝＝＝＋i，又为实数，所以＝0，即m＝－.
答案：D
9．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a≠0，b＝0时，ab＝0，则a＋是实数，故不是充分条件；若复数a＋为纯虚数，且a＋＝a－bi，则a＝0且b≠0，所以ab＝0，故是必要条件．
答案：B
10．若z＝cosθ－isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的一个θ值是( )
A．0 B.
C．π D．2π
解析：因为z2＝(cosθ－isinθ)2＝cos2θ－isin2θ，又z2＝－1，所以再由选择项验证得θ＝.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________.
解析：因为z＝1－2i，所以z·＝|z|2＝5，所以z·＋z＝6－2i.
答案：6－2i
12．i是虚数单位，能使得(1＋i)2n＝－2n·i成立的最小正整数是________．
解析：由(1＋i)2n＝－2n·i，得(2i)n＝2n·in＝－2n·i，所以in＝－i，即n＝4k＋3，k∈N，所以最小的正整数为3.
答案：3
13．若复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，则＝________.
解析：因为复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，所以a＝2，所以＝＝＝－i.
答案：－i
14．已知复数z＝1＋i，则－z＝________.
解析：－z＝－1－i＝×－1－i＝－2i.
答案：－2i
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(12分)若f(z)＝1－(z∈C)，已知z1＝2＋3i，z2＝5－i，求f.
解：因为z1＝2＋3i，z2＝5－i，所以＝2－3i，＝5＋i，所以＝＝－i.6分
又因为f(z)＝1－，
所以f＝1－＝－i.12分
16．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
6分
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.12分
17．(12分)设复数z＝1＋i，且＝1－i，求实数a，b的值．
解：因为z＝1＋i，所以z2＋az＋b＝(a＋2)i＋a＋b，z2－z＋1＝i，所以＝＝(a＋2)－(a＋b)i.6分
又＝1－i，
所以a＝－1，b＝2.12分
18．(14分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
解：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，
即|z1|＝1，还可得z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.7分
(2)ω＝＝＝＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．
14分
