单元测评(三) 推理与证明(A卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sinx，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sinx是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.21·cn·jy·com
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．
答案：C
2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) 21*cnjy*com
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析：大前提错误，小前提正确．
答案：C
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( )
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
解析：其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．
答案：B
4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；
(2)假设n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．21cnjy.com
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．则以下说法正确的是( )
A．命题、推理都正确
B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确
D．命题、推理都不正确
解析：命题正确，但证明n＝k＋1时没有用到归纳假设，推理不正确．
答案：B
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：设an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
6．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．
答案：C
7．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是( )
A．(0,6] B．[6，＋∞)
C．[1＋，＋∞) D．(0,1＋]
解析：x＋y＋3＝xy≤2?(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，当且仅当x＝y＝3时等号成立．www-2-1-cnjy-com
答案：B
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )【出处：21教育名师】
A. B.
C. D.
解析：∵Sn＝n2·an(a≥2)，a1＝1，
∴S2＝4·a2＝a1＋a2?a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4?a4＝＝.
∴猜想an＝.
答案：B
9．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为( )【版权所有：21教育】
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
解析：∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，
∴4－4m>0，∴m<1，
由f(1－x)≥－1得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，
即x2＋m≥0，∴m≥－x2，
∵－x2的最大值为0，∴0≤m<1.
答案：B
10．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为( )2·1·c·n·j·y
A．n2 B．nn
C．2n D．22n－2
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.www.21-cn-jy.com
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到三棱锥中得到的命题为__________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：在三棱锥A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
12．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．2-1-c-n-j-y
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
答案：n2＋n
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．21世纪教育网版权所有
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
14．若符号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b＝，则a＋(b*c)用含有运算符号“*”和“＋”表示的另一种形式是________．
解析：a＋(b*c)＝a＋＝＝＝(a＋b)*(a＋c)．
答案：(a＋b)*(a＋c)
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.21·世纪*教育网
证明：假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
于是有－<1＋a＋b<， ①
－<4＋2a＋b<， ②
－<9＋3a＋b<， ③6分
①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1，
所以－3<8＋4a＋2b<－1，
所以－<4＋2a＋b<－.8分
这与②－<4＋2a＋b<矛盾，
所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.12分
16．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.4分
(2)方法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝.6分21教育名师原创作品
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.12分
方法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝.6分
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°·sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.12分
17．(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.21教育网
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：(1)连接AC，设AC∩BD＝O，连接EO，
∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点，
∴OE为△PAC的中位线，
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
4分
(2)∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PDC.
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE.8分
又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，
∴PD⊥DC，而PD＝DC，
∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC
又BC∩PC＝C，
∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB，DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面DEF.12分
18．(14分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)S1＝a1＝，得a＝1，
∵an>0，∴a1＝1.
S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，
∴a2＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝.
得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.4分
(2)猜想an＝－(n∈N*)．
证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立；6分
②假设n＝k时，ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，即
ak＋1＝－
＝－.
∴a＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1时，命题成立.12分
由①②知，an＝－对任意n∈N*都成立.14分
单元测评(四) 推理与证明(B卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；
钝角三角形的面积等于底乘高的一半；
所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．
以上推理运用的推理规则是( )
A．三段论推理 B．假言推理
C．关系推理 D．完全归纳推理
解析：所有三角形按角分，只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．
答案：D
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )
A.
B.
C.
D.
解析：记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，……，可知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系21教育网
答案：B
3．有一段演绎推理是这样的：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )21·cn·jy·com
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．不是以上错误
解析：大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.
答案：C
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )www.21-cn-jy.com
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋
3＋4，故应选D.
答案：D
5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )2·1·c·n·j·y
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
解析：类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1，
即x2－x－a2＋a＋1>0.
不等式恒成立的充要条件是：
Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
即4a2－4a－3<0.
解得－
答案：C
6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.
答案：D
7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：方法一：∵a＋b＋c＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0.
∴ab＋ac＋bc＝－≤0.
方法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.21·世纪*教育网
答案：D
8．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
解析：∵＝＝，由正弦定理得，
＝＝，
∴＝＝＝.
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC.
∴∠B＝∠C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
答案：C
9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于( )www-2-1-cnjy-com
A．f(k)＋ B．f(k)＋π
C．f(k)＋π D．f(k)＋2π
解析：由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
答案：B
10．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011＝( )2-1-c-n-j-y
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
A.1 B．2 C．4 D．5
解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，……数列{xn}是周期为4的数列，所以x2011＝x3＝4.故应选C. 21*cnjy*com
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①【来源：21cnj*y.co*m】
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：____________________________，你所写的式子可用语言叙述为____________________________．【出处：21教育名师】
答案：′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
12．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2k＋1)－f(2k)＝__________.【版权所有：21教育】
解析：f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋，
f(2k)＝1＋＋＋…＋
f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
答案：＋＋…＋
13．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.由两式的结构特点可提出一个猜想的等式为__________．
解析：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.
可以证明此结论是正确的，证明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋sin(30°＋2α)－＝－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝.21世纪教育网版权所有
答案：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝
14．给出下列不等式：
①a＞b＞0，且a2＋＝1，则ab＞a2b2；②a，b∈R，且ab＜0，则≤－2；③a＞b＞0，m＞0，则＞；④≥4(x≠0)．
其中正确不等式的序号为__________．
解析：①a>b>0，∴a≠.
∴a2＋＝1＞2＝ab.
∴1－ab>0.∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0.∴ab>a2b2.①正确．
②＋2＝.
∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2.②正确；
③－＝.
∵a>b>0，m>0，
∴b(b＋m)>0，b－a<0.
∴<0.
∴＜.③不正确．
④＝|x|＋≥4.④正确．
答案：①②④
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.
求证：a2＋b2＋c2≥.
证明：由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.4分
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝
(a＋b＋c)2.8分
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1.
即a2＋b2＋c2≥.12分
16．(12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos＝，
2cos＝ ，
2cos＝ ，
……
证明：2cos＝2·＝.3分
2cos＝2＝2·＝.6分
2cos＝2 ＝2
＝ .9分
……
归纳一般性的结论：
2cos＝ .12分
17．(12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．
证明：(1)证法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1且ax1＞0，21cnjy.com
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.1分
又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴－＝
＝＞0.4分
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0.
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.6分
证法二：f′(x)＝axlna＋＝axlna＋，3分
∵a＞1，∴lna＞0.∴axlna＋＞0.5分
f′(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立．
即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.6分
(2)设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，7分
则ax0＝－，且0＜ax0＜1.9分
∴0＜－＜1.即＜x0＜2.与假设x0＜0矛盾．
11分
故方程f(x)＝0没有负数根.12分
18．(14分)当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，
Tn＝＋＋＋…＋.
(1)求S1，S2，T1，T2；
(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
解：(1)S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝.
T1＝＝，T2＝＋＝.4分
(2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)即：
1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋.(n∈N*)5分
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已证S1＝T1.6分
②假设当n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，即：
1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋.8分
则Sk＋1＝Sk＋－
＝Tk＋－10分
＝＋＋＋…＋＋－11分
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝Tk＋1.
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．
14分
