模块综合测评(一) 选修2－2(A卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是( )
①因为指数函数y＝ax(a＞1)是增函数；②所以y＝2x是增函数；③而y＝2x是指数函数．
A．① B．②
C．①② D．③
答案：D
2．函数f(x)＝x2在区间[－1,3]上的平均变化率是( )
A．4 B．2
C. D.
解析：因为f(x)＝x2，∴＝＝＝2.
答案：B
3．下列各函数的导数：①()′＝x；②(ax)′＝a2lnx；③(sin2x)′＝cos2x；④′＝.其中正确的有( )21教育网
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：()′＝(x)′＝x，①正确；(ax)′＝axlna，②错误；(sin2x)′＝2cos2x，③错误；′＝＝，④错误．
答案：B
4．函数y＝＋sinx的图象大致是( )
A
B
C
D
解析：由y′＝＋cosx与x＞0时，y＝＋sinx＞0可知原函数图象大致为C.
答案：C
5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)＞k2成立时，总可推出f(k＋1)＞(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)≤1成立，则f(9)≤81成立
B．若f(2)≤4成立，则f(1)＞1成立
C．若f(3)＞9成立，则当k≥1时，均有f(k)＞k2成立
D．若f(3)＞16成立，则当k≥3时，均有f(k)＞k2成立
答案：D
6．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5，
∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i＝－3＋5i.
∴复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.
答案：B
7．设函数f(x)＝(x3－1)2，下列结论中正确的是( )
A．x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝0是极大值点
B．x＝1及x＝0均是f(x)的极大值点
C．x＝1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值
D．函数f(x)无极值
解析：f′(x)＝2(x3－1)·3x2，令f′(x)＝0，解得：x＝0或x＝1，判断单调性可知选C.21·世纪*教育网
答案：C
8．定义A*B，B*C，D*C，D*B分别对应如图中的图形
①
②
③
④
那么如下图中的图形，
(1)
(2)
(3)
(4)
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(2)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
答案：C
9．积分dx＝( )
A.πa2 B.πa2
C．πa2 D．2πa2
解析：定积分dx表示的是关于半个圆的面积，圆心为原点，半径为a，因此答案为B.
答案：B
10．f0(x)＝cosx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2007(x)为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
解析：因为(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，故先求
f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，
f4(x)＝cosx，
∴4是周期，则f2007(x)＝f3(x)＝sinx.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题__________．
解析：平行线类比为平行面．
答案：夹在两平行平面间的平行线段相等
12．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．21cnjy.com
解析：∵y′＝3x2－10.
设切点P(x0，y0)
(x0＜0，y0＞0)，则点P处切线斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2(x0＜0)．
∴P(－2,15)．
答案：(－2,15)
13．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为__________．
解析：
答案：2ln2
14．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，若f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，且f(x)＝ax·g(x)(a＞0且a≠1)及＋＝，则a的值为__________．21·cn·jy·com
解析：∵′＝，
又∵f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，
′＝＜0.
∴为减函数．
∴0＜a＜1.
∵＋＝，
∴a＋a－1＝.
解得a＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解：z＝＝＝＝＝1－i，4分
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，
得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，8分
所以
所以12分
16．(12分)观察下表：
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15.
…
问：
(1)此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2 012是第几行的第几个数？
解：(1)此表n行的第1个数为2n－1，第n行共有2n－1个数，依次构成公差为1的等差数列.4分
由等差数列的通项公式，此表第n行的最后一个数是2n－1＋(2n－1－1)×1＝2n－1.6分
(2)由等差数列的求和公式，此表第n行的各个数之和为＝22n－2＋22n－3－2n－2或2n－1×2n－1＋×1＝22n－2＋22n－3－2n－2.2·1·c·n·j·y
8分
(3)设2 012在此数表的第n行．
则2n－1≤2 012≤2n－1，可得n＝11.
故2 012在此数表的第11行.10分
设2 012是此数表的第11行的第m个数，而第11行的第1个数为210，
因此，2 012是第11行的第989个数.12分
17．(12分)已知函数f(x)＝x－＋1－alnx，a＞0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a＝3，求f(x)在区间[1，e2]上的值域，其中e＝2.71828…是自然对数的底数．
解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，
导函数f′(x)＝1＋－＝.
2分
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.
此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.4分
②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.
此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
6分
③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根，
x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
此时f(x)在上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.9分
(2)当a＝3时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝1，x2＝2.
由(1)知，在(1，e2)内，当x＝2时f(x)取得极值，f(1)＝0，f(2)＝2－3ln2，
f(e2)＝e2－2e－2－5.
因为f(2)＜f(1)＜f(e2)，
所以f(x)在区间[1，e2]上的值域为[2－3ln2，e2－2e－2－5].12分
18．(14分)设函数f(x)＝lnx－ax2－bx.
(1)当a＝b＝时，求函数f(x)的单调区间；
(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0＜x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；21世纪教育网版权所有
(3)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．www.21-cn-jy.com
解：(1)依题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
1分
当a＝b＝时，f(x)＝lnx－x2－x，
f′(x)＝－x－＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．
3分
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，
当x＞1时，f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞).5分
(2)F(x)＝lnx＋，x∈(0,3]，
则有k＝F′(x0)＝≤在(0,3]上恒成立.7分
所以a≥max，
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值.9分
所以a≥.10分
(3)当a＝0，b＝－1时，f(x)＝lnx＋x，
由f(x)＝mx，得lnx＋x＝mx，
又x＞0，∴m＝1＋.11分
要使方程f(x)＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解．
只需m＝1＋有唯一实数解，
令g(x)＝1＋(x＞0)，∴g′(x)＝，
由g′(x)＞0，得0＜x＜e.
g′(x)＜0，得x＞e，
∴g(x)在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．
g(1)＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋，
13分
∴m＝1＋或1≤m＜1＋.14分
模块综合测评(二) 选修2－2(B卷)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )21世纪教育网版权所有
A．192 B．202
C．212 D．222
解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝2＝212.
答案：C
2．复数2＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：2＝＝－3－4i.
答案：A
3．函数y＝(sinx2)3的导数是( )
A．y′＝3xsinx2·sin2x2
B．y′＝3(sinx2)2
C．y′＝3(sinx2)2cosx2
D．y′＝6sinx2cosx2
解析：y′＝[(sinx2)3]′＝3(sinx2)2·(sinx2)′＝3(sinx2)2·cosx2·2x＝3×2sinx2·cosx2·x·sinx2＝3x·sinx2·sin2x2，故选A.21cnjy.com
答案：A
4．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)．则f′(0)等于( )www.21-cn-jy.com
A．0 B．－4
C．－2 D．2
解析：因为f(x)＝x2＋2x·f′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)，f′(0)＝2f′(1)．因为f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，故f′(0)＝－4.
答案：B
5．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )21·世纪*教育网
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
答案：A
6．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，函数y＝f(x)的图象大致是图中的( )2-1-c-n-j-y
A
B
C
D
解析：由y＝xf′(x)的图象可得当x＜－1时，f′(x)＞0，所以当x＜－1时f(x)为增函数；当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,0)上为减函数；当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)上为减函数；当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上为增函数，所以选择C.【出处：21教育名师】
答案：C
7．若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则有( )
A．f(a)＞f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)＜f(b) D．f(a)·f(b)＞1
解析：f′(x)＝，在(0，e)上，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，e)上为增函数．
∴f(a)＜f(b)．
答案：C
8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．(－∞，－2] B.
C．[－2,3] D.
解析：由题图可知d＝0.不妨取a＝1，
∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－1.5，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.
当x＞时，y′＞0，
∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.
答案：D
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为－
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
解析：由题设条件知
所以所以
所以f(x)＝x3－2x2＋x，进而可求得f(1)是极小值，f是极大值．
答案：A
10．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
解析：∵f′(x)＝sinθx2＋cosθx，f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin，
∵θ∈，∴θ＋∈.
∴sin∈.
∴2sin∈[，2]．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f()的值是__________．
解析：∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i，
∴＝4－3i.
∵f(z)＝，∴f(4－3i)＝＝4＋3i.
答案：4＋3i
12．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则a＋b的值为__________．
解析：函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，得x＝0是导函数2ax＋b＝0的解，则b＝0，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，得2a＋b＝2，所以a＝1，a＋b＝1.2·1·c·n·j·y
答案：1
13．由曲线y＝(x－2)2＋1，横坐标轴及直线x＝3，x＝5围成的图形的面积等于__________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：S＝[(x－2)2＋1]dx
＝(x2－4x＋5)dx
＝＝.
答案：
14．观察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3 13＋23＝9
1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝__________.(n∈N*，用含有n的代数式表示)
解析：观察对比左右数列，可以发现右边是左边的平方，
所以13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，2分
故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.4分
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.6分
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数.10分
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且
f(1＋m)＝m3＋m2－.12分
16. (12分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．21教育网
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积；
(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：www-2-1-cnjy-com
(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1.
试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P－ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义．
解：(1)∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB.
又∵·＝－4＋4＋0＝0，
∴AP⊥AD.2分
∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，
∴AP⊥底面ABCD.4分
(2)设与的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝.
6分
V＝||·||·sinθ·||
＝··＝16.8分
(3)|(×)·|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P－ABCD体积的3倍.10分
猜测：|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).12分
17. (12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．21·cn·jy·com
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5小时，要耗油×2.5＝17.5(升)．即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.4分 21*cnjy*com
(2)当速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得：
h(x)＝·＝x2＋－(0＜x≤120)，7分
h′(x)＝－＝(0＜x≤120).8分
令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；
当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数.10分
∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，
∴它是最小值．
即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.12分
18. (14分)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝＋a.
(1)若f(x)的一个极值点到直线l：2x＋y＋a＋5＝0的距离为1，求a的值；
(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数．
解：(1)由f′(x)＝＝0，得x＝0，1分
故f(x)仅有一个极小值点M(0,0)，2分
根据题意得：
d＝＝1.
∴a＝－2或a＝－8.4分
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x2＋1)－－a，
h′(x)＝＋＝2x.6分
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)≥0，
当x∈(－∞，－1)∪(－1,0)时，h′(x)＜0.
因此，h(x)在(－∞，－1)，(－1,0)上时，h(x)单调递减，
在(0,1)，(1，＋∞)上时，h(x)单调递增.8分
又h(x)为偶函数，当x∈(－1,1)时，h(x)的极小值为h(0)＝1－a.
当x→－1－时，h(x)→－∞，当x→－1＋时，h(x)→＋∞，
当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞.10分
故f(x)＝g(x)的根的情况为：
当1－a＞0时，即a＜1时，原方程有2个根；
当1－a＝0时，即a＝1时，原方程有3个根．
当1－a<0时，即a>1时，原方程有4个根．
14分
