【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修二单元测评二　平面解析几何初步

单元测评(二)　平面解析几何初步
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x的值为
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．7
解析：由题设知＝，解得x＝－1.
答案：B
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝＜1，∴直线与圆相交，圆心不在y＝x＋1上．
答案：B
3．已知两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：由两直线垂直的判定得a(a＋2)＋1＝0，
∴a＝－1.
答案：B
4．不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(1,0) D．(0，－2)
解析：直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0，由得所以直线过定点(－2,3)．
答案：A
5．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
解析：由题意知2(k－3)(4－k)＋2(k－3)＝0，即(k－3)·(5－k)＝0，∴k＝3或k＝5.
答案：C
6．直线l过点P(1,3)且与x，y轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，则l的方程是
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
解析：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则有解得所以所求直线的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.
答案：A
7．经过点A(2，－1)且与直线x＋y＝1相切，圆心在直线y＝－2x上的圆的方程为
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
D．(x－1)2＋(y－2)2＝2
解析：由题意知，过A(2，－1)且与直线x＋y＝1垂直的直线方程为y＝x－3.
因为圆心在直线y＝－2x上，所以解得即圆心C(1，－2)，且半径r＝|AC|＝＝.
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
答案：B
8．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是
A．2 B.
C. D.
解析：AB所在直线方程为－x＋＝1，即2x－y＋2＝0.|AB|＝＝，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝，点P到直线AB的最大距离为d′＝d＋1＝＋1.∴△PAB面积的最大值是××＝.
答案：B
9．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
解析：因为32＋02－4×3＝－3＜0，所以点P在圆内，故直线l必与圆相交．
答案：A
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：要使面积差最大，则PO⊥l.故kl＝－1，即l的方程为y－1＝－(x－1)，即l的方程为x＋y－2＝0，应选A.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．在空间直角坐标系中，已知M(2,0,0)，N(0,2,10)，若在z轴上有一点D，满足|MD|＝|ND|，则点D的坐标为__________．
解析：设D(0,0，z)，由|MD|＝|ND|得22＋02＋z2＝02＋22＋(10－z)2，∴z＝5，则D(0,0,5)．
答案：(0,0,5)
12．已知A(2,2)、B(－5,1)、C(3，－5)，则△ABC的外心的坐标为__________．
解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝10.
∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形，且∠A为直角．所以其外心为BC的中点(－1，－2)．
答案：(－1，－2)
13．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________．
解析：截距相等，应注意分截距为0和不为0两种情况讨论．
答案：2x－3y＝0或x＋y－5＝0
14．设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，则的最小值是__________．
解析：圆心M(0,1)到点Q(2,0)的距离为d＝＝，圆的半径r＝1，所以圆上的点P(x，y)到Q(2,0)距离的最小值为－1，即的最小值为－1.
答案：－1
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知两条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1⊥l2，且l1过点(－1,1)，求a，b的值．
解：∵l1过点(－1,1)，∴a－b－4＝0.(4分)
又∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋b＝0.(8分)
由解得或
(12分)
16．(12分)圆C与直线l1：x－6y－10＝0相切于点P(4，－1)，且圆心在直线l2：5x－3y＝0上，求圆C的方程．
解：设所求圆的圆心为C(a，b)，由于所求圆与直线l1：x－6y－10＝0切于点P(4，－1)，可设圆心所在直线方程为6x＋y＋c＝0.(2分)
将P(4，－1)代入方程得c＝－23，即圆心所在直线方程为6x＋y－23＝0，
则满足6a＋b－23＝0.①
又圆心C在直线l2：5x－3y＝0上，
则5a－3b＝0.②
联立①②解得a＝3，b＝5，即圆心C(3,5)．
(10分)
圆半径r＝|PC|＝＝，所以所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
(12分)
17．(12分)已知点A(1,4)，B(6,2)，试问在直线x－3y＋3＝0上是否存在点C，使△ABC的面积等于14？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
解：|AB|＝＝，
由两点式得直线AB的方程为＝，
即2x＋5y－22＝0.(2分)
假设在直线x－3y＋3＝0上存在点C，使得△ABC的面积等于14，
设点C的坐标为(m，n)，则有m－3n＋3＝0，　①(4分)
点C到直线AB的距离为d＝.
由于△ABC的面积等于14，则|AB|·d＝··＝14，整理得|2m＋5n－22|＝28，即2m＋5n＝50，　②(6分)
或2m＋5n＝－6.　③(8分)
联立①②解得m＝，n＝.
联立①③解得m＝－3，n＝0.(10分)
综上所述，在直线x－3y＋3＝0上存在点C或C(－3,0)使得△ABC的面积等于14.
(12分)
18．(14分)已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝.(2分)
因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．
所以斜率k的取值范围是.(6分)
(2)不能．(8分)
由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.
圆C的圆心坐标为C(4，－2)，半径r＝2.
所以圆心C到直线l的距离d＝.(10分)
由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.(12分)
若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．(14分)