【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修二单元测评一　立体几何初步

单元测评(一)　立体几何初步
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
解析：可根据圆锥、圆柱的定义知该几何体由一个圆柱、两个圆锥组合而成．
答案：D
2．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是
A.π　　　　　　　 B.π
C.π D.π
解析：过A作AD垂直于直线BC，则所求几何体的体积V＝V大圆锥－V小圆锥＝πr2(1＋1.5－1)＝π.
答案：D
3．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l?α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①由α⊥γ，β⊥γ，可知α、β有可能平行，也有可能相交，例如墙角处的三个墙面互相垂直．②m，n相交才能成立．只有③④才符合定理．
答案：B
4．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
答案：B
5．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是
A. B．2
C．4 D．8
解析：由条件知这个四面体的四个面的面积都相等，表面积等于一个面的面积的4倍，表面积为4××2××2＝4.
答案：C
6．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是
A．2R3 B.πR3
C.R3 D.R3
解析：设正方体的棱长为a，则其体对角线的平方为3a2，而球的直径为正方体体对角线长，故4R2＝3a2，所以a＝R，所以正方体的体积为a3＝R3.
答案：C
7．如图所示，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是
A．4　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8
解析：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD.∴直角三角形有：△PAB，△PAC，△PAD，△BAC，△ADB，△ADC，△PDB，△PDC.
答案：D
8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
解析：连接A1B，∵E是AB1中点，∴E∈A1B，
∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故D不成立．
答案：D
9．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
解析：∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴∠BCB1＝45°.又∵AD∥BC，∴AD与CB1所成的角为45°.∴D不正确．
答案：D
10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6　　　　B．9　　　　C．12　　　　D．18
解析：由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形，有一条长为3的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是3)，可知底面等腰直角三角形斜边上的高为3，故该几何体的体积是V＝××6×3×3＝9.故选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知正四棱锥V－ABCD的底面面积为16，一条侧棱长为2，则它的斜高为__________．
解析：由正四棱锥V－ABCD的底面面积为16，由于底面为正方形，则底面边长为4，由侧棱长为2，则斜高为＝＝2.
答案：2
12．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为__________．
解析：设球的直径为d，V圆柱＝π·2·d＝，V圆锥＝·π·2·d＝，V球＝·π·3＝，∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝∶∶＝3∶1∶2.
答案：3∶1∶2
13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是__________．
解析：如图所示，由直棱柱的表面积公式S＝S侧＋2S底＝(2＋5＋5＋4)×4＋2××(2＋5)×4＝92.
答案：92
14．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为__________cm3.
解析：由题中特征知四棱锥A－BB1D1D的体积为长方体体积的，而长方体体积为18，所以所求四棱锥体积为6.
答案：6
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)如图所示，一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，长宽分别是4 cm和2 cm，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．
(1)求该几何体的全面积．
(2)求该几何体的外接球的体积．
解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)．
故几何体的全面积是64 cm2.(6分)
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d，球的半径是r，d＝＝＝6，所以球的半径r＝3.
因此球的体积V＝πr3＝36π(cm3)，所以外接球的体积是36π cm3.(12分)
16．(12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点．求证：
(1)MN∥平面ABCD；
(2)MN⊥平面B1BG.
证明：(1)取CD的中点，记为E，连接NE、AE，如图所示．由N、E分别为CD1与CD的中点可得NE∥D1D且NE＝D1D，又AM∥D1D且AM＝D1D，所以AM∥EN且AM＝EN，即四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，
又AE?面ABCD，MN?面ABCD，
所以MN∥面ABCD.(6分)
(2)由AG＝DE，∠BAG＝∠ADE＝90°，DA＝AB，可得△EDA与△GAB全等，所以，∠ABG＝∠DAE，又∠DAE＋∠AED＝90°，∠AED＝∠BAE，所以∠BAE＋∠ABG＝90°，所以，AE⊥BG，又BB1⊥AE，且BG∩BB1＝B，所以AE⊥面B1BG，又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG.
(12分)
17．(12分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
(1)PA∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥平面BDE.
证明：(1)连接OE，如图所示．
∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴ OE∥AP.
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE.(6分)
(2)∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD.
又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，
∴BD⊥平面PAC.
而BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE.(12分)
18．(14分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
证明：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC⊥BC.
又∵CC1⊥底面ABC，
∴CC1⊥AC.
∵CC1∩BC＝C，
∴AC⊥平面BCC1B1，
又B1C?平面BCC1B1，
∴AC⊥BC1.(6分)
(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE.
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1.(10分)
∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.(14分)