【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评一　常用逻辑用语

单元测评(一)　常用逻辑用语
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(　　)
A．不存在x0∈R,2x0＞0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
解析：因为命题“存在x0∈R,2x0≤0”是特称命题，所以它的否定是全称命题．
答案：D
2．(2013·安徽卷)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定推出x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：B
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(　　)
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除
解析：一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题为已知命题的逆否命题．
答案：B
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x＝4知|a|＝＝5；反之，由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q　　　　　　　 B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：命题p为假，因为当x＜0时，2x＞3x.命题q为真，因为f(x)＝x3＋x2－1在(0，＋∞)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以在(0,1)内函数f(x)必存在零点．所以綈p∧q为真命题，故选B.
答案：B
6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题：
①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan＞tan.
其中正确的命题个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：当∠A、∠B均为锐角时，由函数的单调性及不等式的性质知都成立；当∠B为锐角，∠A为钝角或直角时，又有∠A、∠B为三角形的内角，所以≤∠A＜π，0＜∠B＜，∠A＋∠B＜π，即≤＜，0＜＜，∠B＜π－∠A＜，即tan＞tan，sin∠B＜sin(π－∠A)＝sin∠A，cos∠B＞cos(π－∠A)＝－cos∠A≥0，所以cos2∠A＜cos2∠B.
答案：D
7．下面说法正确的是(　　)
A．命题“?x0∈R，使得x＋x0＋1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2＋x＋1≥0”
B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件
C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“綈p∧綈q”也为假命题
D．命题“若α＝0，则cosα＝1”的逆否命题为真命题
解析：对A选项，命题的否定是：“?x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，故不正确，对于B选项，由x＞yA/?x2＞y2，且x2＞y2A/?x＞y，故不正确．对于C选项，若“p∨q”为假命题，
则“綈p∧綈q”为真命题，故不正确．
对于D选项，若α＝0，则cosα＝1是真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确．
答案：D
8．已知命题p：?x0∈R，使tanx0＝1，命题q：?x∈R，x2＞0.下面结论正确的是(　　)
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧綈q”是假命题
C．命题“綈p∨q”是真命题
D．命题“綈p∧綈q”是假命题
解析：∵p真，q假．故p∧q为假，p∧綈q为真．綈p∨q为假，綈p∧綈q为假，选D.
答案：D
9．下列结论错误的是(　　)
A．命题“若log2(x2－2x－1)＝1，则x＝－1”的逆否命题是“若x≠－1，则log2(x2－2x－1)≠1”
B．设α，β∈，则“α＜β”是“tanα＜tanβ”的充要条件
C．若“(綈p)∧q”是假命题，则“p∨q”为假命题
D．“?α∈R，使sin2α＋cos2α≥1”为真命题
解析：根据逆否命题定义知A选项正确．由正切函数单调性，可判断B选项正确．D选项作为特称命题正确，对于C选项，“綈p∧q”为假，则綈p，q中至少一个为假，故p∨q真假不定，故选C.
答案：C
10．给出下列三个命题：
①若a≥b＞－1，则≥；②若正整数m和n满足m≤n，则≤；③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①≥?1－≥1－?≤，又a≥b＞－1?a＋1≥b＋1＞0知本命题为真命题．
②用基本不等式：2xy≤x2＋y2(x＞0，y＞0)，取x＝，y＝，知本命题为真命题．
③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．
解析：∵命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1个．
答案：1个
12．命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，∴不等式ax2－2ax－3≤0对于任意的实数x恒成立，(1)当a＝0时，符合条件；(2)当即－3≤a＜0.
由(1)、(2)得实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－3}．
答案：－3≤a≤0
13．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵|x－1|＜a?1－a＜x＜1＋a，
又∵不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，
∴即∴a≥3.
答案：[3，＋∞)
14．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵“p∧q”为真命题，∴p，q均为真命题．
由p为真命题得a≤1.由q为真命题得a≤－2或a≥1.
∴当p，q同时为真时，有a≤－2或a＝1.
答案：a≤－2或a＝1
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．(3分)
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b＜0.(6分)
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．(9分)
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
(12分)
16．(12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：由题意p：－2≤x－3≤2，
∴1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.(4分)
q：m－1≤x≤m＋1，
∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.(8分)
又∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴
∴2≤m≤4.(12分)
17．(12分)设命题p：?x0∈R，x＋2ax0－a＝0.命题q：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：当命题p为真时，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，当命题q为真时，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，
∴a＋2＞0且16－4(a＋2)(a－1)≤0，即a≥2.(6分)
由题意得，命题p和命题q一真一假．
当命题p为真，命题q为假时，得a≤－1；
当命题p为假，命题q为真时，得a∈?；
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．(12分)
18．(14分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，
即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a＜－或a＞}．(7分)
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或－1≤a＜－}．(14分)