【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评二 圆锥曲线与方程
文档属性
| 名称 | 【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评二 圆锥曲线与方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 312.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-06 17:02:26 | ||
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文档简介
单元测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．F1、F2是定点，|F1F2|＝7，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝7，则M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．圆
解析：由于点M满足|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，点M在线段F1F2上，故选C.
答案：C
2．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )21·cn·jy·com
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：∵y2＝8x焦点是(2,0)，∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又∵虚半轴长b＝1且a＞0，www.21-cn-jy.com
∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
答案：D
3．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是( )2·1·c·n·j·y
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析：由|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，当|PF1|＋|PF2|＝6时轨迹为线段，当|PF1|＋|PF2|＞6时轨迹为椭圆．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：D
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：设与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋c＝0，与抛物线联立方程组得消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c)＝0，解得c＝－，则抛物线与直线4x＋3y－8＝0平行的切线是4x＋3y－＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d＝＝，故选A.www-2-1-cnjy-com
答案：A
5．设k＜3，k≠0，则二次曲线－＝1与＋＝1必有( )
A．不同的顶点 B．不同的准线
C．相同的焦点 D．相同的离心率
解析：当0＜k＜3时，则0＜3－k＜3，
∴－＝1表示实轴为x轴的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.
∴两曲线有相同焦点；
当k＜0时，－k＞0且3－k＞－k，
∴＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
a2＝3－k，b2＝－k.∴a2－b2＝3＝c2与已知椭圆有相同焦点．
答案：C
6．(2013·广东惠州一调)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C.或 D.或7
解析：因4，m,9成等比数列，则m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时圆锥曲线为椭圆＋y2＝1，其离心率为；当m＝－6时圆锥曲线为双曲线y2－＝1，其离心率为，故选C. 21*cnjy*com
答案：C
7．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )【出处：21教育名师】
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．21·世纪*教育网
因此满足条件的C点有4个，故应选A.
答案：A
8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：设P(a，b)为抛物线上在第一象限内的点，则a＋＝4，得a＝3，因为点P(a，b)在抛物线上，所以b＝2，所以S△POF＝××2＝2，故选C.【版权所有：21教育】
答案：C
9．已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：如图所示，双曲线的渐近线方程为：y＝±x，若∠AOB＝，则θ＝，tanθ＝＝，
∴a＝＞.
又∵c＝＝2，∴e＝＝＝.
答案：A
10．(2013·四川卷)从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P，∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，－＝－，b＝c，21教育名师原创作品
∴该椭圆的离心率e＝，选C.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为__________．
解析：设正方形边长为1，则|AB|＝2c＝1，
∴c＝，|AC|＋|BC|＝1＋＝2a，
∴a＝，∴e＝＝＝－1.
答案：－1
12．以抛物线y2＝8x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x±y＝0的双曲线方程为__________．2-1-c-n-j-y
解析：抛物线y2＝8x的焦点F为(2，0)，设双曲线方程为x2－3y2＝λ，＝(2)2，∴λ＝9，双曲线方程为－＝1.21*cnjy*com
答案：－＝1
13．直线y＝x＋3与曲线－＝1的公共点的个数为__________个．
解析：当x≥0时，方程－＝1化为－＝1；当x＜0时，－＝1化为＋＝1，∴曲线－＝1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图象可知(如图)，直线y＝x＋3与曲线－＝1的公共点的个数为3个．
答案：3个
14．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的取值范围是__________．
解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝m(x－3)对称，A，B中点M(x，y)，则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在点关于它对称．
当m≠0时，
?＝＝＝－，
所以y＝－，所以M的坐标为，
∵M在抛物线内，则有＞2，
得－＜m＜且m≠0，
综上所述，m∈(－，)．
答案：(－，)
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(0，－2)，F2(0,2)，且离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为－，求直线l斜率的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知c＝2，又＝，解得a＝3，所以b＝1，
故所求方程为＋x2＝1.(6分)
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t(k≠0)代入椭圆方程整理得(k2＋9)x2＋2ktx＋t2－9＝0，
由题意得
解得k＞或k＜－.(12分)
16．(12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？
解：如图所示，(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(4分)
(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x2＝4y，当直线AB斜率为0时|PQ|＝4.
当直线AB斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x＝4y1，x＝4y2，
两式作差得x－x＝4(y1－y2)，
即得k＝＝，
则直线方程为y－2＝(x－t)，与x2＝4y联立得x2－2tx＋2t2－8＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，
|PQ|＝
＝
＝
＝≤6，
即|PQ|的最大值为6.(12分)
17．(12分)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，若右准线l：x＝与两条渐近线相交于P，Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．21cnjy.com
(1)求双曲线C的离心率e的值；
(2)若双曲线C被直线y＝ax＋b截得弦长为，求双曲线C的方程．
解：(1)双曲线C的右准线l的方程为：x＝，与x轴的交点为M，两条渐近线方程为：y＝±x.
∴两交点坐标为P，Q.
∵△PFQ为等边三角形，则有|MF|＝|PQ|(如图)．
∴c－＝·，即＝.
解得b＝a，c＝2a，
∴e＝＝2.(4分)
(2)由(1)得双曲线C的方程为－＝1.
把y＝ax＋a代入得
(a2－3)x2＋2a2x＋6a2＝0.
依题意
∴a2＜6，且a2≠3.
∴双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为
＝
＝
＝ .
∵＝12a，
∴144a2＝(1＋a2)·，
整理得13a4－77a2＋102＝0.
∴a2＝2或a2＝，
∴双曲线C的方程为－＝1或－＝1.
(12分)
18．(14分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：21教育网
(1)动点P的轨迹方程；
(2)||的最小值与最大值．
解：(1)直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．
将①代入②并化简得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
∴
于是＝(＋)＝
＝，(6分)
设点P的坐标为(x，y)，则消去参数k得4x2＋y2－y＝0③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0,0)，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.(8分)
(2)由点P的轨迹方程知x2≤，即－≤x≤.
∴||2＝2＋2
＝2＋y2－y＋
＝2＋－4x2
＝－32＋，
故当x＝时，||取得最小值，最小值为.
当x＝－时，||取得最大值，最大值为.(14分)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．F1、F2是定点，|F1F2|＝7，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝7，则M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．圆
解析：由于点M满足|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，点M在线段F1F2上，故选C.
答案：C
2．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )21·cn·jy·com
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：∵y2＝8x焦点是(2,0)，∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又∵虚半轴长b＝1且a＞0，www.21-cn-jy.com
∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
答案：D
3．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是( )2·1·c·n·j·y
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析：由|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，当|PF1|＋|PF2|＝6时轨迹为线段，当|PF1|＋|PF2|＞6时轨迹为椭圆．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：D
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：设与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋c＝0，与抛物线联立方程组得消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c)＝0，解得c＝－，则抛物线与直线4x＋3y－8＝0平行的切线是4x＋3y－＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d＝＝，故选A.www-2-1-cnjy-com
答案：A
5．设k＜3，k≠0，则二次曲线－＝1与＋＝1必有( )
A．不同的顶点 B．不同的准线
C．相同的焦点 D．相同的离心率
解析：当0＜k＜3时，则0＜3－k＜3，
∴－＝1表示实轴为x轴的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.
∴两曲线有相同焦点；
当k＜0时，－k＞0且3－k＞－k，
∴＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
a2＝3－k，b2＝－k.∴a2－b2＝3＝c2与已知椭圆有相同焦点．
答案：C
6．(2013·广东惠州一调)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C.或 D.或7
解析：因4，m,9成等比数列，则m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时圆锥曲线为椭圆＋y2＝1，其离心率为；当m＝－6时圆锥曲线为双曲线y2－＝1，其离心率为，故选C. 21*cnjy*com
答案：C
7．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )【出处：21教育名师】
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．21·世纪*教育网
因此满足条件的C点有4个，故应选A.
答案：A
8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：设P(a，b)为抛物线上在第一象限内的点，则a＋＝4，得a＝3，因为点P(a，b)在抛物线上，所以b＝2，所以S△POF＝××2＝2，故选C.【版权所有：21教育】
答案：C
9．已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：如图所示，双曲线的渐近线方程为：y＝±x，若∠AOB＝，则θ＝，tanθ＝＝，
∴a＝＞.
又∵c＝＝2，∴e＝＝＝.
答案：A
10．(2013·四川卷)从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P，∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，－＝－，b＝c，21教育名师原创作品
∴该椭圆的离心率e＝，选C.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为__________．
解析：设正方形边长为1，则|AB|＝2c＝1，
∴c＝，|AC|＋|BC|＝1＋＝2a，
∴a＝，∴e＝＝＝－1.
答案：－1
12．以抛物线y2＝8x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x±y＝0的双曲线方程为__________．2-1-c-n-j-y
解析：抛物线y2＝8x的焦点F为(2，0)，设双曲线方程为x2－3y2＝λ，＝(2)2，∴λ＝9，双曲线方程为－＝1.21*cnjy*com
答案：－＝1
13．直线y＝x＋3与曲线－＝1的公共点的个数为__________个．
解析：当x≥0时，方程－＝1化为－＝1；当x＜0时，－＝1化为＋＝1，∴曲线－＝1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图象可知(如图)，直线y＝x＋3与曲线－＝1的公共点的个数为3个．
答案：3个
14．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的取值范围是__________．
解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝m(x－3)对称，A，B中点M(x，y)，则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在点关于它对称．
当m≠0时，
?＝＝＝－，
所以y＝－，所以M的坐标为，
∵M在抛物线内，则有＞2，
得－＜m＜且m≠0，
综上所述，m∈(－，)．
答案：(－，)
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(0，－2)，F2(0,2)，且离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为－，求直线l斜率的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知c＝2，又＝，解得a＝3，所以b＝1，
故所求方程为＋x2＝1.(6分)
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t(k≠0)代入椭圆方程整理得(k2＋9)x2＋2ktx＋t2－9＝0，
由题意得
解得k＞或k＜－.(12分)
16．(12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？
解：如图所示，(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(4分)
(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x2＝4y，当直线AB斜率为0时|PQ|＝4.
当直线AB斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x＝4y1，x＝4y2，
两式作差得x－x＝4(y1－y2)，
即得k＝＝，
则直线方程为y－2＝(x－t)，与x2＝4y联立得x2－2tx＋2t2－8＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，
|PQ|＝
＝
＝
＝≤6，
即|PQ|的最大值为6.(12分)
17．(12分)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，若右准线l：x＝与两条渐近线相交于P，Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．21cnjy.com
(1)求双曲线C的离心率e的值；
(2)若双曲线C被直线y＝ax＋b截得弦长为，求双曲线C的方程．
解：(1)双曲线C的右准线l的方程为：x＝，与x轴的交点为M，两条渐近线方程为：y＝±x.
∴两交点坐标为P，Q.
∵△PFQ为等边三角形，则有|MF|＝|PQ|(如图)．
∴c－＝·，即＝.
解得b＝a，c＝2a，
∴e＝＝2.(4分)
(2)由(1)得双曲线C的方程为－＝1.
把y＝ax＋a代入得
(a2－3)x2＋2a2x＋6a2＝0.
依题意
∴a2＜6，且a2≠3.
∴双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为
＝
＝
＝ .
∵＝12a，
∴144a2＝(1＋a2)·，
整理得13a4－77a2＋102＝0.
∴a2＝2或a2＝，
∴双曲线C的方程为－＝1或－＝1.
(12分)
18．(14分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：21教育网
(1)动点P的轨迹方程；
(2)||的最小值与最大值．
解：(1)直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．
将①代入②并化简得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
∴
于是＝(＋)＝
＝，(6分)
设点P的坐标为(x，y)，则消去参数k得4x2＋y2－y＝0③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0,0)，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.(8分)
(2)由点P的轨迹方程知x2≤，即－≤x≤.
∴||2＝2＋2
＝2＋y2－y＋
＝2＋－4x2
＝－32＋，
故当x＝时，||取得最小值，最小值为.
当x＝－时，||取得最大值，最大值为.(14分)