【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评三 空间向量与立体几何
文档属性
| 名称 | 【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评三 空间向量与立体几何 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 901.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-06 17:03:03 | ||
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文档简介
单元测评(三) 空间向量与立体几何
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )
①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
解析：∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－b，
∴a∥b；而①④中的向量不平行．
答案：B
2．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．www-2-1-cnjy-com
答案：C
3．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．2·1·c·n·j·y
则＝(b，a，－c)，＝(－b，a,0)，＝(0，－a，0)，＝(b,0，－c)，＝(0，a，－c)，＝(b,0,0)，＝(0,0，－c)，＝(－b,0,0)．
∴·＝－b2＋a2不一定为0.
·＝0，·＝0，·＝0.
答案：A
4．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·等于( )21·世纪*教育网
A．15 B．3
C．－3 D．5
解析：(6a)·＝3a·b＝3(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.
答案：B
5．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为( )2-1-c-n-j-y
A．1 B．2
C. D.
解析：||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴||＝.
答案：C
6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )21·cn·jy·com
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C. D.
解析：由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．【出处：21教育名师】
又BH⊥OA，∴·＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.
答案：C
7．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )【版权所有：21教育】
A．90° B．60°
C．30° D．0°
解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．21教育名师原创作品
答案：A
8．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，l所以＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则?
∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∵cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.
答案：C
9．在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A-PB-C的平面角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，
∴＝(0，－2,2)，
＝(，－1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．
则即
令y＝1，则x＝ ，z＝1.
即n＝.
易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．
则cos〈m，n〉＝＝＝.
∴正切值tan〈m，n〉＝.
答案：A
10．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B.
C. D.
解析：∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则＝(1－x,2－x,3－2x)，
＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，
∴x＝时，·最小，
这时Q.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．
解析：因为a与b的夹角为钝角，于是－1＜cos〈a，b〉＜0，因此a·b＜0，且a与b的夹角不为π，即cos〈a，b〉≠－1.
解得x∈∪.
答案：∪
12．如图所示，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为__________．
解析：＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
cos〈，〉＝
＝
＝.
答案：
13．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝__________.
解析：由题意知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
答案：(－64，－26，－17)
14．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝3，现用基向量、、表示向量，并设＝x·＋y·＋z·，则x、y、z的和为__________．www.21-cn-jy.com
解析：＝＋＝＋＝＋＝－＋＋－＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
∴x＋y＋z＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知a＝(1,2，－2)．
(1)求与a共线的单位向量b；
(2)若a与单位向量c＝(0，m，n)垂直，求m、n的值．
解：(1)设b＝(λ，2λ，－2λ)，而b为单位向量，
∴|b|＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.
∴λ＝±.(4分)
∴b＝或b＝.(6分)
(2)由题意，知?
解得或(12分)
16．(12分)如下(左)图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如下(右)图．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．
解：(1)∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC.
∴DE⊥A1C.
又∵A1C⊥CD，
∴A1C⊥平面BCDE.(4分)
(2)如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．21cnjy.com
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.
又＝(3,0，－2)，
＝(－1,2,0)，
∴
令y＝1，则x＝2，z＝，∴n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
∵＝(0,1，)，
∴sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝.
∴CM与平面A1BE所成角的大小为.(12分)
17．(12分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．21*cnjy*com
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.
解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，
则N，E(0,0,1)，
∴＝.
又A(，，0)，M，
∴＝.
∴＝，且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.(6分)
(2)设P(t，t,0)(0≤t≤)，
则＝(－t，－t,1)，＝(，0,0)．
又∵与所成的角为60°.
＝，
解之得t＝，或t＝(舍去)．
故点P为AC的中点．(12分)
18．(14分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．21教育网
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B-PA-C的余弦值．
解： (1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D. 21*cnjy*com
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，
得(4分)
∴z1＝0，x1＝y1.
取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·＝0，n2·＝0，
得
∴x2＝－z2，y2＝z2，
取z2＝1，得n2＝(－，，1)．
∵n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，
∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.(8分)
(2)∵y轴⊥平面PAB.
∴平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．21世纪教育网版权所有
设向量n2和n3的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝.
由图可知，二面角B-PA-C的平面角与θ相等，∴二面角B-PA-C的余弦值为.(14分)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )
①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
解析：∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－b，
∴a∥b；而①④中的向量不平行．
答案：B
2．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．www-2-1-cnjy-com
答案：C
3．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．2·1·c·n·j·y
则＝(b，a，－c)，＝(－b，a,0)，＝(0，－a，0)，＝(b,0，－c)，＝(0，a，－c)，＝(b,0,0)，＝(0,0，－c)，＝(－b,0,0)．
∴·＝－b2＋a2不一定为0.
·＝0，·＝0，·＝0.
答案：A
4．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·等于( )21·世纪*教育网
A．15 B．3
C．－3 D．5
解析：(6a)·＝3a·b＝3(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.
答案：B
5．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为( )2-1-c-n-j-y
A．1 B．2
C. D.
解析：||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴||＝.
答案：C
6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )21·cn·jy·com
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C. D.
解析：由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．【出处：21教育名师】
又BH⊥OA，∴·＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.
答案：C
7．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )【版权所有：21教育】
A．90° B．60°
C．30° D．0°
解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．21教育名师原创作品
答案：A
8．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，l所以＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则?
∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∵cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.
答案：C
9．在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A-PB-C的平面角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，
∴＝(0，－2,2)，
＝(，－1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．
则即
令y＝1，则x＝ ，z＝1.
即n＝.
易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．
则cos〈m，n〉＝＝＝.
∴正切值tan〈m，n〉＝.
答案：A
10．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B.
C. D.
解析：∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则＝(1－x,2－x,3－2x)，
＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，
∴x＝时，·最小，
这时Q.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．
解析：因为a与b的夹角为钝角，于是－1＜cos〈a，b〉＜0，因此a·b＜0，且a与b的夹角不为π，即cos〈a，b〉≠－1.
解得x∈∪.
答案：∪
12．如图所示，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为__________．
解析：＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
cos〈，〉＝
＝
＝.
答案：
13．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝__________.
解析：由题意知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
答案：(－64，－26，－17)
14．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝3，现用基向量、、表示向量，并设＝x·＋y·＋z·，则x、y、z的和为__________．www.21-cn-jy.com
解析：＝＋＝＋＝＋＝－＋＋－＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
∴x＋y＋z＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知a＝(1,2，－2)．
(1)求与a共线的单位向量b；
(2)若a与单位向量c＝(0，m，n)垂直，求m、n的值．
解：(1)设b＝(λ，2λ，－2λ)，而b为单位向量，
∴|b|＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.
∴λ＝±.(4分)
∴b＝或b＝.(6分)
(2)由题意，知?
解得或(12分)
16．(12分)如下(左)图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如下(右)图．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．
解：(1)∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC.
∴DE⊥A1C.
又∵A1C⊥CD，
∴A1C⊥平面BCDE.(4分)
(2)如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．21cnjy.com
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.
又＝(3,0，－2)，
＝(－1,2,0)，
∴
令y＝1，则x＝2，z＝，∴n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
∵＝(0,1，)，
∴sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝.
∴CM与平面A1BE所成角的大小为.(12分)
17．(12分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．21*cnjy*com
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.
解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，
则N，E(0,0,1)，
∴＝.
又A(，，0)，M，
∴＝.
∴＝，且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.(6分)
(2)设P(t，t,0)(0≤t≤)，
则＝(－t，－t,1)，＝(，0,0)．
又∵与所成的角为60°.
＝，
解之得t＝，或t＝(舍去)．
故点P为AC的中点．(12分)
18．(14分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．21教育网
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B-PA-C的余弦值．
解： (1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D. 21*cnjy*com
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，
得(4分)
∴z1＝0，x1＝y1.
取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·＝0，n2·＝0，
得
∴x2＝－z2，y2＝z2，
取z2＝1，得n2＝(－，，1)．
∵n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，
∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.(8分)
(2)∵y轴⊥平面PAB.
∴平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．21世纪教育网版权所有
设向量n2和n3的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝.
由图可知，二面角B-PA-C的平面角与θ相等，∴二面角B-PA-C的余弦值为.(14分)