【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修二单元测评二 点、直线、平面之间的位置关系
文档属性
| 名称 | 【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修二单元测评二 点、直线、平面之间的位置关系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-06 17:08:07 | ||
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文档简介
单元测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．垂直
解析：当直尺与地面垂直时，地面上的任意一条直线都和直尺所在的直线垂直；
当直尺所在的直线与地面不垂直时，过直尺所在的直线作一与地面垂直的平面，此平面与地面的交线设为a，则地面内任一与交线a垂直的直线都与直尺所在的直线垂直．21世纪教育网版权所有
答案：D
2．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析：由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：B
3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )【出处：21教育名师】
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.
答案：B
4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折
过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析：当AC＝1时，由DC＝1，AD＝，得∠ACD为直角，DC⊥AC，又因为DC⊥BC，所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.2-1-c-n-j-y
答案：B
5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m?α，n?β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
解析：选项A的已知条件中加上m?β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.
答案：D
6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )【版权所有：21教育】
A．90° B．45°
C．60° D．30°
解析：取BC中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，
可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，
∴∠EFH＝30°.
答案：D
7．点P是等腰△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝5，则P到BC的距离为( )
A．4 B.
C．3 D．2
解析：作AD⊥BC于D，连接PD，易证PD⊥BC，故PD的长即为P到BC的距离．
AD＝
＝
＝4.
∴PD＝
＝
＝4.
答案：A
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
解析：在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.
?C1E⊥平面BDD1B1，
∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值．
∵BC1＝＝，C1E＝＝，
∴sin∠C1BE＝＝＝.
答案：D
9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是( )
A．45° B．30°
C．60° D．90°
解析：如图，设正方形边长为a.
在△AMD中，AD＝a，AM＝a，
DM＝，
∴AD2＝DM2＋AM2，
∴∠AMD＝90°.
答案：D
10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )www.21-cn-jy.com
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，
AB?平面ABD，
∴AB⊥平面BCD，又AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
同理CD⊥BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
又∵CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD.
∴互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD，共3对．www-2-1-cnjy-com
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．
① ②
(1)图①可以用符号语言表示为__________．
(2)图②可以用符号语言表示为__________．
答案：(1)α∩β＝l，m?α，m∥l，n?β，n∩l＝P
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B
12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.21教育网
解析：当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.
设AC与BD的交点为O，连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．
∴OE∥SC.
∵SC?平面EBD，OE?平面EBD，
∴SC∥平面EBD.
答案：E是SA的中点
13．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与MN平行的是__________．21·世纪*教育网
解析：如图，设DC的中点为E，则重心M、N分别在中线AE、BE上，且＝＝，
∴MN∥AB，
而AB?面ABC，AB?面ABD
∴MN∥面ABD，MN∥面ABC.
答案：面ABD，面ABC
14．(2012·佛山高一检测)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．2·1·c·n·j·y
解析：当m⊥n，n⊥β时，m∥β，又m⊥α，所以α⊥β；
当α⊥β，n⊥β时，n∥α，又m⊥α，所以m⊥n.
答案：①③④?②(或②③④?①)
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.
求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，
PA⊥AC，AC＝平面ABC∩平面PAC，
PA?平面PAC，
∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.(6分)
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB.
BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.(12分)
16．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点，
∴EF∥PD.
又∵PD?平面PCD，EF?平面PCD.
∴直线EF∥平面PCD.(6分)
(2)连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为正三角形．
又∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
BF?平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD.又BF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD.(12分)
17．(12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. 21*cnjy*com
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明：(1)设AC与BD交于点G.
∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
∴四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
∵EG?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.(6分)
(2)连接FG.
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFG为菱形．
∴CF⊥EG.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF.
∴CF⊥BD.
又BD∩EG＝G，
∴CF⊥平面BDE.(12分)
18．(14分)△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．21cnjy.com
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD；
(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．
解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.
∵EF＝FB，AG＝GB，
∴FG綊EA.
又DC綊EA，∴FG綊DC.
∴四边形CDFG为平行四边形，
故DF∥CG.
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC.(4分)
(2)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG.
又△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
∴CG⊥AF.
又∵DF∥CG，
∴DF⊥AF.
又AE＝AB，F为BE中点，
∴AF⊥BE.又BE∩DF＝F，
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.(8分)
(3)延长ED交AC延长线于G′，连接BG′.
由CD＝AE，CD∥AE知D为EG′中点，
∴FD∥BG′.
由CG⊥平面ABE，FD∥CG，
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA为所求二面角的平面角．(12分)
在等腰直角三角形AEB中，易求∠ABE＝45°.
(14分)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．垂直
解析：当直尺与地面垂直时，地面上的任意一条直线都和直尺所在的直线垂直；
当直尺所在的直线与地面不垂直时，过直尺所在的直线作一与地面垂直的平面，此平面与地面的交线设为a，则地面内任一与交线a垂直的直线都与直尺所在的直线垂直．21世纪教育网版权所有
答案：D
2．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析：由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：B
3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )【出处：21教育名师】
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.
答案：B
4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折
过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析：当AC＝1时，由DC＝1，AD＝，得∠ACD为直角，DC⊥AC，又因为DC⊥BC，所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.2-1-c-n-j-y
答案：B
5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m?α，n?β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
解析：选项A的已知条件中加上m?β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.
答案：D
6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )【版权所有：21教育】
A．90° B．45°
C．60° D．30°
解析：取BC中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，
可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，
∴∠EFH＝30°.
答案：D
7．点P是等腰△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝5，则P到BC的距离为( )
A．4 B.
C．3 D．2
解析：作AD⊥BC于D，连接PD，易证PD⊥BC，故PD的长即为P到BC的距离．
AD＝
＝
＝4.
∴PD＝
＝
＝4.
答案：A
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
解析：在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.
?C1E⊥平面BDD1B1，
∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值．
∵BC1＝＝，C1E＝＝，
∴sin∠C1BE＝＝＝.
答案：D
9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是( )
A．45° B．30°
C．60° D．90°
解析：如图，设正方形边长为a.
在△AMD中，AD＝a，AM＝a，
DM＝，
∴AD2＝DM2＋AM2，
∴∠AMD＝90°.
答案：D
10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )www.21-cn-jy.com
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，
AB?平面ABD，
∴AB⊥平面BCD，又AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
同理CD⊥BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
又∵CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD.
∴互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD，共3对．www-2-1-cnjy-com
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．
① ②
(1)图①可以用符号语言表示为__________．
(2)图②可以用符号语言表示为__________．
答案：(1)α∩β＝l，m?α，m∥l，n?β，n∩l＝P
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B
12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.21教育网
解析：当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.
设AC与BD的交点为O，连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．
∴OE∥SC.
∵SC?平面EBD，OE?平面EBD，
∴SC∥平面EBD.
答案：E是SA的中点
13．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与MN平行的是__________．21·世纪*教育网
解析：如图，设DC的中点为E，则重心M、N分别在中线AE、BE上，且＝＝，
∴MN∥AB，
而AB?面ABC，AB?面ABD
∴MN∥面ABD，MN∥面ABC.
答案：面ABD，面ABC
14．(2012·佛山高一检测)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．2·1·c·n·j·y
解析：当m⊥n，n⊥β时，m∥β，又m⊥α，所以α⊥β；
当α⊥β，n⊥β时，n∥α，又m⊥α，所以m⊥n.
答案：①③④?②(或②③④?①)
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.
求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，
PA⊥AC，AC＝平面ABC∩平面PAC，
PA?平面PAC，
∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.(6分)
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB.
BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.(12分)
16．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点，
∴EF∥PD.
又∵PD?平面PCD，EF?平面PCD.
∴直线EF∥平面PCD.(6分)
(2)连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为正三角形．
又∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
BF?平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD.又BF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD.(12分)
17．(12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. 21*cnjy*com
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明：(1)设AC与BD交于点G.
∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
∴四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
∵EG?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.(6分)
(2)连接FG.
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFG为菱形．
∴CF⊥EG.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF.
∴CF⊥BD.
又BD∩EG＝G，
∴CF⊥平面BDE.(12分)
18．(14分)△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．21cnjy.com
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD；
(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．
解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.
∵EF＝FB，AG＝GB，
∴FG綊EA.
又DC綊EA，∴FG綊DC.
∴四边形CDFG为平行四边形，
故DF∥CG.
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC.(4分)
(2)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG.
又△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
∴CG⊥AF.
又∵DF∥CG，
∴DF⊥AF.
又AE＝AB，F为BE中点，
∴AF⊥BE.又BE∩DF＝F，
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.(8分)
(3)延长ED交AC延长线于G′，连接BG′.
由CD＝AE，CD∥AE知D为EG′中点，
∴FD∥BG′.
由CG⊥平面ABE，FD∥CG，
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA为所求二面角的平面角．(12分)
在等腰直角三角形AEB中，易求∠ABE＝45°.
(14分)