【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修二单元测评四　圆与方程

单元测评(四)　圆与方程
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．点A(2a，a－1)在以点C(0,1)为圆心，半径为的圆上，则a的值为(　　)
A．±1　　　　　　　　　 B．0或1
C．－1或 D．－或1
解析：由题意，已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，将点A的坐标代入圆的方程可得a＝1或a＝－.
答案：D
2．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．不能确定
解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2＋y2＝1上，所以直线与圆相交或相切．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：C
3．点P(x,2,1)到点A(1,1,2)、B(2,1,1)的距离相等，则x等于(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：由题意，|PA|＝|PB|，
即
＝，
即x＝1.
答案：B
4．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于(　　)
A．8 B．4
C．2 D．4
解析：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝2.
圆心(－2,2)在直线x－y＋4＝0上．
∴被截得的弦长为直径2.
答案：C
5．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为(　　)
A．m＜ B．m＜0
C．m＞ D．m≤
解析：∵(－1)2＋12－4m＞0，∴m＜，故选A.
答案：A
6．直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，弦AB的中点为D(0,1)，则直线l的方程为(　　)21教育网
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：圆C的圆心坐标为(－1,2)，弦AB中点D(0,1)，∴kCD＝＝－1，∴kAB＝－＝1，【出处：21教育名师】
∴直线l的方程为y－1＝x－0，即：x－y＋1＝0.
答案：A
7．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是(　　)21cnjy.com
A．(x－2)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x＋2)2＋(y－2)2＝2
解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.如图，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已
知直线时，半径最小，此时2r＋3等于已知圆圆心到已知直线的距离，即＝2r＋3，
解得：r＝，则
解得：a＝2，b＝2.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案：A
8．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．
答案：B
9．方程＝lgx的根的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
解析：设f(x)＝，g(x)＝lgx，则方程根的个数就是f(x)与g(x)两个函数图像交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像．21世纪教育网版权所有
由图可得函数f(x)＝与g(x)＝lgx仅有1个交点，所以方程仅有1个根．
答案：B
10．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．－3 B．3
C．－3或3 D．以上都不对
解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为，由题意得＝－1，解得a＝±3.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．
解析：原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.21·世纪*教育网
答案：x2＋y2＝25
12．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．www-2-1-cnjy-com
解析：由题意知A、B两点在圆上，
∴AB的垂直平分线x＝3过圆心，又圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，∴kBC＝－1，∴直线BC的方程为y＝－x＋3，　　21*cnjy*com
∴圆心坐标为(3,0)，∴r＝，
∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
答案：(x－3)2＋y2＝2
13．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有1个公共点，则b的取值范围是__________．
解析：曲线x＝可化为x2＋y2＝1(x≥0)，它表示单位圆的右半部分，在同一坐标系中画出直线与曲线的图像，如图，相切时b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.21·cn·jy·com
答案：b＝－或－1＜b≤1
14．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．2·1·c·n·j·y
解析：设圆心(a,0)(a＞0)，
∴2＋()2＝|a－1|2.
∴a＝3.∴圆心(3,0)．
∴所求直线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为6的弦所在的直线方程．21教育名师原创作品
解：设弦所在的直线方程为x＋y＋c＝0.①
则圆心(0,0)到此直线的距离为d＝＝.
(6分)
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以2＋(3)2＝20.(10分)
由此解得c＝±2，代入①得弦的方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.(12分)
16．(12分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，21*cnjy*com
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切．
解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.(4分)
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
∴d＝＝＝2.(8分)
m＝±2.(10分)
即m＝±2时，直线l与圆相切．(12分)
17．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B、C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【版权所有：21教育】
解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.(2分)
又∵∠BAC＝90°.
∴|MA|＝|BC|＝|MB|.(6分)
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，2-1-c-n-j-y
即x2＋(y－1)2＝7.(10分)
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆．
(12分)
18．(14分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
解：如图所示．
以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.(4分)www.21-cn-jy.com
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．
(8分)
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，
(10分)
设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|＝
＝，(12分)
故当z＝1时，|EC|取得最小值为，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．(14分)