【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1模块综合测评

模块综合测评　选修2－1(A版)
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a＞b，则＜.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是(　　)www.21-cn-jy.com
A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．
答案：B
2．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当α＝＋2kπ(k∈Z)时，
cos2α＝cos＝cos＝.
反之当cos2α＝时，有2α＝2kπ＋(k∈Z)?α＝kπ＋(k∈Z)，故应选A.
答案：A
3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)
A．b＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．b＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．b＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．b＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析：若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D选项正确．
答案：D
4．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．90° B．60°
C．30° D．0°
解析：∵|a|＝|b|＝，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.故向量a＋b与a－b的夹角是90°.21·世纪*教育网
答案：A
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)21·cn·jy·com
A．10 B．8
C．6 D．4
解析：由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：B
6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D(0,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，D1(0,0,1)，21cnjy.com
则＝(2,2,0)，＝(0,0,1)，＝(－2,0,1)．
设平面BD1的法向量n＝(x，y，z)．
∴∴取n＝(1，－1,0)．
设BC1与平面BD1所成的角为θ，
则sinθ＝cos〈n，〉＝＝＝.
答案：D
7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得y＝－.
∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案：B
8．三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．－2
B．2
C．－2
D．2
解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos90°－2×2×cos60°＝－2.【版权所有：21教育】
答案：A
9．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)2·1·c·n·j·y
A. B．2
C. D.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，∵y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±x＝0只有一个实根，21教育名师原创作品
∴－4＝0，∴＝4，∴＝5，∴e＝.
答案：C
10．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是(　　)21*cnjy*com
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：双曲线的离心率e＝，椭圆的离心率e＝，由已知ee＝1，即×＝1，化简，得a2＋b2＝m2.∴以a、b、m为边长的三角形为直角三角形．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．双曲线－＝1的焦距是__________．
解析：依题意a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c2＝a2＋b2＝16，c＝4,2c＝8.
答案：8
12．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的有__________．2-1-c-n-j-y
解析：依题意可知p假，q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．
答案：“p∨q”　“綈p”
13．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线x2＝y上的点到直线AB的最短距离为__________．　　21*cnjy*com
解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P(t，t2)，
d＝＝＝≥＝.
答案：.
14．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________．
解析：建立空间直角坐标系如图，则M，N，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
∴＝，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线－＝1的离心率e∈，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解：若p真，则有9－m＞2m＞0，
即0＜m＜3.若q真，则有m＞0，
且e2＝1＋＝1＋∈，即＜m＜5.
若p、q中有且只有一个为真命题，
则p、q一真一假．(4分)
①若p真、q假，
则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；(6分)
②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，
即3≤m＜5.(8分)
故所求m的范围为：0＜m≤或3≤m＜5.(12分)
16．(12分)设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，与另一个外切．【出处：21教育名师】
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上一动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．
解：(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，
圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.
由题意得或
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝2＞4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.(6分)
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，
|MP|－|FP|取得最大值|MF|，
且|MF|＝＝2.
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝.
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为.(12分)
17．(12分)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.21世纪教育网版权所有
(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
解：(1)方法一：由条件知，P.
故直线PF2的斜率为
kPF2＝＝.
∵PF2⊥F2Q.
∴直线F2Q的方程为y＝x－.
故Q.
由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
则b2＝a2－c2＝3.
故椭圆方程为＋＝1.(6分)
方法二：设直线x＝与x轴交于点M.
由条件知，P.
∵△PF1F2∽△F2MQ，
∴＝.
即＝，解得|MQ|＝2a.
∴解得a＝2，c＝1.则b2＝3.
故椭圆方程为＋＝1.(6分)
(2)直线PQ的方程为＝，
即y＝x＋a.
将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0，
解得x＝－c，y＝.
∴直线PQ与椭圆C只有一个交点．(12分)
18．(14分)如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A-CD-E的余弦值．
解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.21教育网
(1)＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
∴异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(4分)
(2)证明：由＝，＝(－1,0,1)，
＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.
而CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(8分)
(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则
于是
令z＝1，可得u＝(1,1,1)．
又∵由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
∴cos〈u，v〉＝＝＝.
∵二面角A-CD-E为锐角，
∴其余弦值为.(14分)